Die scheinbare geozentrische Länge $\lambda_S$ der Sonne kann über die tägliche Variation $\Delta\lambda$ für ein festes Bezugssystem wie folgt berechnet werden.

Für diesen Algorithmus wird die Zeit $\tau$ ab Epoche $J2000.0$ ($JDE = 2451545.0$) in julianischen Jahrtausenden gemessen, also hat man $$T = \frac{JDE - 2451545.0}{36525}\tag{1}$$ $$\tau = \frac{T}{10} = \frac{JDE - 2451545.0}{36525\color{#cc0000}{0}}\tag{2}$$

angegeben. Die Argumente der Sinusfunktion sind in Grad [°], die Koeffizienten in Bogensekunden angegeben. \[\begin{align} \Delta\lambda =& +\Lambda\\ &+118\overset{''}{.}568\cdot \sin(87\overset{\circ}{.}5287 + 359993\overset{\circ}{.}7286\cdot \tau) \\ &+2\overset{''}{.}476\cdot \sin(85\overset{\circ}{.}0561 + 719987\overset{\circ}{.}4571\cdot \tau) \\ &+1\overset{''}{.}376\cdot \sin(27\overset{\circ}{.}8502 + 4452671\overset{\circ}{.}1152\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}119\cdot \sin(73\overset{\circ}{.}1375 + 450368\overset{\circ}{.}8564\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}114\cdot \sin(337\overset{\circ}{.}2264 + 329644\overset{\circ}{.}6718\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}086\cdot \sin(222\overset{\circ}{.}5400 + 659289\overset{\circ}{.}3436\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}078\cdot \sin(162\overset{\circ}{.}8136 + 9224659\overset{\circ}{.}7915\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}054\cdot \sin(82\overset{\circ}{.}5823 + 1079981\overset{\circ}{.}1857\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}052\cdot \sin(171\overset{\circ}{.}5189 + 225184\overset{\circ}{.}4282\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}034\cdot \sin(30\overset{\circ}{.}3214 + 4092677\overset{\circ}{.}3866\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}033\cdot \sin(119\overset{\circ}{.}8105 + 337181\overset{\circ}{.}4711\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}023\cdot \sin(247\overset{\circ}{.}5418 + 299295\overset{\circ}{.}6151\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}023\cdot \sin(325\overset{\circ}{.}1526 + 315559\overset{\circ}{.}5560\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}021\cdot \sin(155\overset{\circ}{.}1241 + 675553\overset{\circ}{.}2846\cdot \tau) \\ &+7\overset{''}{.}311\cdot \tau\cdot \sin(333\overset{\circ}{.}4515 + 359993\overset{\circ}{.}7286\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}305\cdot \tau\cdot \sin(330\overset{\circ}{.}9814 + 719987\overset{\circ}{.}4571\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}010\cdot \tau\cdot \sin(328\overset{\circ}{.}5170 + 1079981\overset{\circ}{.}1857\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}309\cdot \tau^2\cdot \sin(241\overset{\circ}{.}4518 + 359993\overset{\circ}{.}7286\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}021\cdot \tau^2\cdot \sin(205\overset{\circ}{.}0482 + 719987\overset{\circ}{.}4571\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}004\cdot \tau^2\cdot \sin(297\overset{\circ}{.}8610 + 4452671\overset{\circ}{.}1152\cdot \tau) \\ &+0\overset{''}{.}010\cdot \tau^3\cdot \sin(154\overset{\circ}{.}7066 + 359993\overset{\circ}{.}7286\cdot \tau) \\ \end{align}\tag{3}\]

mit $\Lambda = 3548\overset{''}{.}193$ und $\Delta\lambda = \Lambda +d\lambda$. Damit ist die scheinbare geozentrische Länge der Sonne gegeben mit

\[\begin{align} \lambda_S =& +280\overset{\circ}{.}466449 + \frac{36525^{d}}{3600\tfrac{''}{^\circ}}\cdot T\cdot\Lambda \\ &+ \frac{d\lambda}{3600''} - 0\overset{\circ}{.}00478\cdot\sin(125\overset{\circ}{.}04 - 1934\overset{\circ}{.}136\cdot T) \end{align}\tag{4}\]

Aufgrund der Wirkung des Mondes und der Planeten ist der Breitengrad $\beta_S$ der Sonne nicht genau $0^{\circ}$. Bezogen auf die Ekliptik des Datums überschreitet die Breite aber nie $1\overset{''}{.}2$. Sofern keine hohe Genauigkeit erforderlich ist, kann die ekliptikale Breite der Sonne $\beta_S = 0^{\circ}$ gesetzt werden.

Wenn eine Genauigkeit von $0\overset{\circ}{.}01 = 36''$ ausreicht, kann die geozentrische Position der Sonne unter der Annahme einer rein elliptischen Bewegung der Erde berechnet werden; das heißt, die Störungen durch den Mond und die Planeten können vernachlässigt werden. Diese Berechnung kann wie folgt durchgeführt werden.

Sei $JDE$ der julianische (Ephemeriden-)Tag, der wie hier beschrieben berechnet werden kann. Dann ist die Zeit $T$, gemessen in julianischen Jahrhunderten von 36525 Ephemeridentagen ab der Epoche $J2000.0$ (2000 Januar 1.5 TD), gegeben durch $$T = \frac{(JDE - 2451545.0)}{36525}\tag{5}$$

Die geometrische mittlere Länge der Sonne, bezogen auf das mittlere Äquinoktium des Datums, ist dann gegeben durch \[\begin{align} L =&\; 280\overset{\circ}{.}46646 \\ &+ 36000\overset{\circ}{.}76983\cdot T\\ &+ 0\overset{\circ}{.}0003032\cdot T^2 \end{align}\tag{6}\]

und weiter ist die mittlere Anomalie der Sonne \[\begin{align} M =&\; 357\overset{\circ}{.}52911\\ &+ 35999\overset{\circ}{.}05029\cdot T\\ &- 0\overset{\circ}{.}0001537\cdot T^2 \end{align}\tag{7}\]

Die Exzentrizität der Erdbahn ist gegeben durch \[\begin{align} \epsilon =&\; 0.016708634\\ &- 0.000042037\cdot T\\ &- 0.0000001267\cdot T^2 \end{align}\tag{8}\]

Mit Hilfe der Mittelpunktsgleichung $C$ findet man damit die wahre Länge $\odot$ sowie die wahre Anomalie $\nu$ der Sonne.
Die Mittelpunktsgleichung lautet \[\begin{align} C = &\;\nu - M =\\ &+(1\overset{\circ}{.}914602 - 0\overset{\circ}{.}004817\cdot T - 0\overset{\circ}{.}000014\cdot T^2)\cdot\sin(M)\\ &+(0\overset{\circ}{.}019993 - 0\overset{\circ}{.}000101\cdot T)\cdot\sin(2M)\\ &+0\overset{\circ}{.}000289\cdot\sin(3M) \end{align}\tag{9}\]

Damit ist die wahre Länge $\odot$ bzw. die wahre Anomalie $\nu$ der Sonne $$\odot = L + C\tag{10}$$ $$\nu = M + C\tag{11}$$

Mit der Exzentrizität $\epsilon$ der Erdbahn findet man nun auch den Radiusvektor $R$ (Entfernung Erde-Sonne) mit $$R = \frac{1.000001018\cdot(1 - \epsilon^2)}{1 + \epsilon\cdot\cos\nu}\tag{12}$$

in astronomischen Einheiten $AE$.

Die mit der hier beschriebenen Methode ermittelte Länge $\odot$ der Sonne ist der wahre geometrische Länge bezogen auf das mittlere Äquinoktium des Datums. Diese Länge ist jene Größe, die beispielsweise bei der Berechnung geozentrischer Planetenpositionen benötigt wird.

Wenn die scheinbare Länge $\lambda$ der Sonne, bezogen auf das wahre Äquinoktium des Datums, benötigt wird, sollte $\odot$ für die Nutation und die Aberration korrigiert werden. Sofern keine hohe Genauigkeit erforderlich ist, kann dies wie folgt durchgeführt werden. Man berechnet den Hilfswinkel (Länge des aufsteigenden Knotens ☊ der Mondbahn) $$\Omega = 125\overset{\circ}{.}04 - 1934\overset{\circ}{.}136\cdot T\tag{13}$$

und ermittelt dann $$\lambda = \odot - 0\overset{\circ}{.}00569 - 0\overset{\circ}{.}00478\cdot\sin\Omega\tag{14}$$

Mit den zuvor ermittelten Größen sowie der mittleren Schiefe der Ekliptik $\varepsilon_0$ kann nun die Rektaszension $\alpha_{\odot}$ und Deklination $\delta_{\odot}$ der Sonne bestimmt werden. Es ist \[\begin{align} \varepsilon_0 =&\; 23^{\circ} 26' 21\overset{''}{.}448\\ &- 46\overset{''}{.}8150\cdot T\\ &- 0\overset{''}{.}00059\cdot T^2\\ &+ 0\overset{''}{.}001813\cdot T^3 \end{align}\tag{16}\]

und damit

$$\tan\alpha_{\odot} = \frac{\cos \varepsilon_0\cdot\sin\odot}{\cos\odot}\tag{17}$$ $$\sin\delta_{\odot} = \sin\varepsilon_0\cdot\sin\odot\tag{18}$$

Für den Arcustangens der Rektaszension sollte hier die Methode für den korrekten Quadranten verwendet werden.

Wenn die scheinbare Position der Sonne gesucht wird, sollte in den obigen Formeln $\lambda$ anstatt $\odot$ verwendet werden, und die Ekliptikschiefe $\varepsilon_0$ muss um die Größe $\color{#cc00cc}{+0\overset{\circ}{.}00256\cdot\cos\Omega}$ korrigiert werden.

Eine höhere Genauigkeit der Sonnenkoordinaten wird dadurch erreicht, dass man die heliozentrischen Erdkoordinaten mithilfe einer Planetentheorie berechnet. Diese Koordinaten werden dann in geozentrische Koordinaten der Sonne umgerechnet, und daraus werden dann die scheinbaren, äquatorialen Koordinaten der Sonne ermittelt. Verwendet man z.B. die komplette VSOP87 Planetentheorie, erhält man die Sonnenkoordinaten in einer Genauigkeit, die für die allermeisten Anwendungen mehr als ausreichend ist.

J. Meeus verwendet in den „Astronomical Algorithms“ nicht die komplette VSOP87 Theorie, welche sehr viele Terme enthält, sondern eine gekürzte Theorie mit den wichtigsten Korrekturtermen. Die so berechneten Sonnenkoordinaten weichen im Zeitraum $-2000$ bis $+6000$ um maximal $1''$ ab.

Der Algorithmus läuft folgendermaßen ab:

0.) Ermittlung von $JD$, $T$ und $\tau$ aus den gegebenem Zeitpunkt.

Zuerst wird für den gesuchten Zeitpunkt der Julianische Tag bestimmt und durch Addition von $\Delta T$ der dynamische Zeitpunkt ermittelt. $\Delta T$ kann berechnet werden oder wird einer Tabelle entnommen.

\[\begin{align} T &= \frac{JDE - 2451545.0}{36525}\\ \tau &= \frac{T}{10} = \frac{JDE - 2451545.0}{36525\color{#ff0000}{0}} \end{align}\tag{19}\]

1.) Umrechnung heliozentrisch ⇒ geozentrisch

Man verwendet die gekürzten Tabellen der VSOP87D, um mithilfe von $\tau$ die heliozentrischen Koordinaten $L, B, R$ der Erde zu berechnen. Die entsprechenden Tabellen sind hier zu finden. Die erhaltenen Werte sind in Radiant für $L$ und $B$ bzw. in Astronomischen Einheiten $AU$ für den Radiusvektor $R$. Die Werte für $L, B$ sollten in Grad umgerechnet werden.
Für die geozentrische Länge der Sonne $\odot$ addiert man dann $180^{\circ}$ zum Wert von $L$, und für die geozentrische Breite $\beta$ muss das Vorzeichen von $B$ getauscht werden. Wie man sieht wird die geozentrische Breite der Sonne in diesem Algorithmus nicht vernachlässigt, im Gegensatz zur „Lower accuracy“ Methode.

\[\begin{align} \odot &= L + 180^{\circ}\\ \beta &= -B \end{align}\tag{20}\]

2.) Eine Umrechnung in das Standardsystem FK5 (Fundamentalkatalog) wird hier kaum zu wesentlichen Verbesserungen führen, diese Änderung ist minimal und sollte nur bei hochgenauen Berechnungen mittels der kompletten VSOP87 verwendet werden. Sie sollte dennoch erwähnt werden. Man berechne zunächst $\lambda'$ mittels

$$\lambda' = \odot - 1.397\cdot T - 0.00031\cdot T^2\tag{21}$$ und daraus die Änderungen (in Grad!)

\[\begin{align} \Delta\odot &= \frac{-0\overset{''}{.}09033}{3600\tfrac{''}{\circ}}\\ \Delta\beta &= \frac{0\overset{''}{.}03916\cdot\left(\cos \lambda' - \sin \lambda'\right)}{3600\tfrac{''}{\circ}}\tag{22} \end{align}\]

Werte addieren zu den zuvor berechneten Größen:

\[\begin{align} \odot_{corr} &= \odot + \Delta\odot\\ \beta &= \beta + \Delta\beta\tag{23} \end{align}\]

Man sieht, dass die Änderung $\Delta\odot$ nicht von $T$ abhängt (konstant).

3.) Für die scheinbaren Sonnenkoordinaten muss jetzt noch die Nutation in Länge bzw. Schiefe ($\Delta\lambda$ bzw. $\Delta\varepsilon$) berücksichtigt werden, sowie die Aberration. Die Aberrationskonstante $k$ erhält man mit ausreichender Genauigkeit über

\[k = \frac{-20\overset{''}{.}4898}{R}\tag{24}\]

mit $R$ in astronomischen Einheiten.

Die wahre Ekliptikschiefe $\varepsilon$ zum Äquinoktium des Datums erhält man über $\varepsilon_0$ (siehe Glg.$\eqref{glg_16a}$) mit

\[\varepsilon = \varepsilon_0 + \Delta\varepsilon\tag{25}\]

4.) Man erhält damit

$$\lambda = \odot_{corr} + \frac{\Delta\lambda + k}{3600\tfrac{''}{\circ}}\tag{26}$$

sowie $\beta$ (siehe oben).

5.) Die Koordinatentransformation in das äquatoriale System erfolgt über diese Beziehungen, welche geschrieben werden können als \[\begin{align} \alpha_{\odot} &= \textrm{arctan2}\left(\frac{\sin\lambda\cdot\cos\varepsilon - \tan\beta\cdot\sin\varepsilon}{\cos\lambda}\right)\\ \delta_{\odot} &= \arcsin\left(\sin\beta\cdot\cos\varepsilon + \cos\beta\cdot\sin\varepsilon\cdot\sin\lambda\right) \tag{27}\label{glg_27}\end{align}\]

Damit sind die scheinbaren, geozentrischen Koordinaten $\alpha_{\odot}, \delta_{\odot}$ bestimmt. Der Radiusvektor $R$ zur Sonne ändert sich bei der Umrechnung ins äquatoriale System nicht. Natürlich können diese äquatorialen Werte auf Wunsch noch in das topozentrische System (Beobachter auf der Erdoberfläche) umgerechnet werden.

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