Die Planetoiden

Die Planetoiden haben keine mittleren Bahnelemente, sondern oskulierende (anschmiegend, von lat. osculari = küssen) Bahnelemente, die aufgrund starker Störungen durch die Sonne und die Planeten nur für einen kurzen Zeitraum gültig sind. Das sind etwa 200 Tage vor und nach dem angegebenen Termin.

Position

Oskulierende Bahnelenemte

Abb. 1: Das Prinzip der oskulierenden Bahnelemente

Die gewünschten Planetoiden können einzeln oder alle (viel Spaß!) für jedweden Wunschtermin – sei es in der Vergangenheit, Gegenwart oder Zukunft – von dem Server des Jet Propulsion Laboratory (JPL) heruntergeladen werden. Der Link lautet:

https://ssd.jpl.nasa.gov/sb/orbits.html

Hat man die Bahnelemente $a, \varepsilon, i, \Omega, \varpi, \omega, n, M, \nu$ und die Perihelzeit $t_p$ erhalten, so kann man alle Koordinaten berechnen.

Helligkeit

Es folgt eine Auswahl der hellsten Planetoiden mit Magnitude $V(1,0)$, Phasenkoeffizient $k_\varphi$ und Helligkeitskoeffizient $H$ und $G$.

Tabelle 1
Nr.	Name	$V(1,0)[^m]$	$k_\varphi$	$H[^m]$	$G$
1	Ceres	3.63	38	3.34	0.12
2	Pallas	4.36	38	4.13	0.11
3	Juno	5.65	25	5.33	0.32
4	Vesta	3.46	26	3.20	0.32
5	Astraea	7.43	15	6.85	0.15
6	Hebe	6.02	28	5.71	0.24
7	Iris	5.77	38	5.71	0.15
8	Flora	6.73	28	6.49	0.28
9	Metis	6.62	34	6.28	0.17
10	Hygiea	5.63	39	5.43	0.15
11	Parthenope	6.91	30	6.55	0.15
12	Victoria	7.48	30	7.24	0.22
14	Irene	6.71	23	6.30	0.15
15	Eunomia	5.50	38	5.28	0.23
16	Psyche	6.20	28	5.90	0.20
18	Melpomene	6.61	39	6.51	0.25
19	Fortuna	7.42	39	7.13	0.10
20	Massalia	6.77	31	6.50	0.25
23	Thalia	7.00	39	6.95	0.15
25	Phocaea	8.08	39	7.83	0.15
27	Euterpe	7.22	39	7.00	0.15
29	Amphitrite	6.18	31	5.85	0.20
39	Laetitia	6.56	27	6.10	0.15
40	Harmonia	7.32	39	7.00	0.15
41	Daphne	7.43	53	7.12	0.10
42	Isis	7.71	39	7.53	0.15
43	Ariadne	8.15	47	7.93	0.11
44	Nysa	7.25	19	7.03	0.46
80	Sappho	8.19	39	7.98	0.15
89	Julia	6.84	38	6.60	0.15
115	Thyra	7.71	39	7.51	0.12
192	Nausikaa	7.48	39	7.13	0.03
216	Kleopatra	7.33	39	7.30	0.29
324	Bamberga	7.06	44	6.82	0.09
344	Desiderata	8.36	39	8.08	0.15
349	Dembowska	6.20	22	5.93	0.37
433	Eros	11.00	24	11.16	0.46
471	Papagena	6.77	39	6.73	0.37
532	Herkulina	5.90	39	5.81	0.26

Die Helligkeiten der Planetoiden werden im Astronomical Almanac bis 1988 mit der alten Version und seit 1989 mit der neuen Version berechnet. Für bessere Vergleiche mit den alten Ephemeriden sind beide Darstellungen sinnvoll. Ist der Erdabstand $\Delta$ bekannt, so ermittelt man die Helligkeit der Asteroiden deshalb auf zweierlei Weise:

Alte Version

$$V(a,\varphi) = V(1,0) + 5\cdot \log_{10}(r \Delta) + F(\varphi,k_{\varphi})\tag{1}$$

mit

$$F(\varphi,k_{\varphi}) = \varphi\cdot k_{\varphi}\cdot a (\varphi) + \big(7\overset{\circ}{.}0 \ k_{\varphi} - 0\overset{m}{.}538 + 0\overset{m}{.}134\cdot \varphi^{0.714}\big)\cdot b(\varphi)\tag{2}$$

und

$$a(\varphi) = \left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right) \qquad \varphi > 7\overset{\circ}{.}0\tag{3}$$ $$b(\varphi) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right) \qquad \varphi \leq 7\overset{\circ}{.}0\tag{4}$$

Neue Version

$$m_V = H + 5\cdot \log_{10}(r \Delta) - 2.5\cdot \log_{10}\big((1 - G)\cdot \Phi_1 + G\cdot \Phi_2\big)\tag{5}$$

mit

$$\Phi_1(\varphi) = \exp(- 3.33\cdot \tan\left[ \left( \frac{\varphi}{2} \right)^{0.63} \right]\tag{6}$$

und

$$\Phi_2(\varphi) = \exp(- 1.87\cdot \tan\left[ \left( \frac{\varphi}{2} \right)^{1.22} \right]\tag{7}$$

$F(\varphi , k_{\varphi})$ steht hier für den Oppositionseffekt der Planetoiden. Ist $\varphi$ < $7\overset{\circ}{.}0$, so steigt die Helligkeit häufig um $0\overset{m}{.}4$ an. Der Wert von $V(a,\varphi)$ wird kleiner.

Wird die mittlere Oppositionshelligkeit $V(a,0)$ benötigt, so berechnet man (G.D. Roth):

$$V(a,0) = V(1,0) + 5\cdot \log_{10}\big(a\cdot (a - 1)\big)\tag{8}$$

$V(1,0)$ ist die absolute Helligkeit der Planetoiden. $V(1,0)$ wurde mit der Relation

$$V(1,0) = B(1,0) + 0\overset{m}{.}176 - 1.090\cdot (B-V)\tag{0}$$

berechnet. W. Wepner schlägt für die Kleinplaneten den mittleren Phasenkoeffizienten k$_{\varphi}$ = $0\overset{\frac{m}{\circ}}{.}023$ mit $a$ als der großen Halbachse des Kleinplaneten vor:

$$V(a,0) = V(1,0) + 5\cdot \log_{10} \big(a\cdot (a - 1)\big) + 0\overset{^{\frac{m}{\circ}}}{.}023\cdot \varphi\tag{10}$$