Iteration (lateinisch iterare = wiederholen) ist eine Methode, bei der eine Berechnung mehrmals wiederholt wird, bis der Wert einer unbekannten Größe ermittelt wird. Im Allgemeinen erhält man nach jeder Wiederholung der Berechnung ein Ergebnis, das näher an der exakten Lösung liegt. Die Iteration kommt beispielsweise dann zum Einsatz, wenn es keine Methode gibt, die unbekannte Größe direkt und auf einfache Weise zu berechnen.

Anwendungsbeispiele sind:

• Lösen einer Gleichung höreren Grades, z.B. $x^5 + 17\cdot x - 8 = 0$;
• die Berechnung der Anfangs- und Endzeiten einer Sonnenfinsternis oder einer Sternbedeckung durch den Mond für einen bestimmten Ort auf der Erdoberfläche;
• lösen der Keplergleichung $E = M + e\cdot \sin E$, wobei $E$ die unbekannte Größe ist.

Um eine Iteration durchzuführen, beginnt man mit einem Näherungswert für die unbekannte Größe und verwendet dann eine Formel (oder eine Reihe von Formeln), um einen besseren Wert für die Unbekannte zu erhalten. Dieser Vorgang wird dann so oft wiederholt, bis die erforderliche Genauigkeit erreicht ist.

Abb. 1: Verfahren nach Newton Raphson

$$x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$

Mit einem vorgegebenen Startwert $x_0$ wird die Funktion $f(x_0)$ und deren Ableitung (momentane Steigung von $f(x_0)$) $f'(x_0)$ berechnet, man erhält den neuen Wert $x_1$ und setzt diesen erneut in $f(x)$ und $f'(x)$ ein, bis $|x_{i+1} - x_i|$ ein gewünschtes Minimum erreicht hat. In der obigen Graphik ist zu sehen, wie sich der Wert $x_i$ dem wahren Wert $\zeta$ annähert.

Dieses Verfahren taucht in der Keplergleichung zur Lösung der exzentrischen Anomalie $E$ wieder auf.

Abb. 2: Prinzip der Regula Falsi

$$x_{i+1} = x_i - \frac{x_i - x_{i-1}}{f(x_i) - f(x_{i-1})}\cdot f(x_i)$$

Die Regula Falsi benutzt zwei Stützstellen und iteriert langsamer und schlechter als die Newton Iteration. Stabilisierend ist die Weiterverwendung des Vorzeichenwechsels. Neben der Beibehaltung des neuen Werts $x_{i+1}$ wird vom alten Wert derjenige weiterverwendet, bei dem der Vorzeichenwechsel der Funktion $f$ erhalten bleibt. Ist $f(x_i)\cdot f(x_{i+1}) > 0$, so wird $x_i$ durch $x_{i-1}$ ersetzt. Als Ergänzung zieht man das Pegasus Verfahren hinzu.

Eine Abwandlung der stabilisierten Regula Falsi ist das Pegasus Verfahren. Ausgangspunkt sind wiederum beiden Startwerte $x_0$ und $x_1$ mit der Bedingung $f(x_0)\cdot f(x_1) < 0$. Zu jedem (iterierten) Wert $x_i$ wird ein Wert der Funktion $f$ zugeordnet ($f_0 = f(x_0)$ und $f_1 = f(x_1)$). Dies setzt man in die Gleichung der Regula Falsi ein und ermittelt daraus wieder $x_{i+1}$ und $f(x_{i+1})$.

Falls $f(x_i)\cdot f(x_{i+1}) > 0$ gilt, wird wie bei der stabilisierten Regula Falsi mit dem vorletzten iterierten Wert weiter gerechnet (Ersetzung von $x_i$ durch $x_{i-1}$). Der entsprechende Funktionswert $f(x_i)$ muss dann durch den nachfolgenden Ausdruck ersetzt werden:

$$\frac{f(x_{i-1})\cdot f(x_i)}{f(x_i) + f(x_{i+1})}$$

Das Pegasus Verfahren kommt bei den Finsternissen und Sternbedeckungen zum Einsatz.