Abb. 1

Die numerische Exzentrizität $\epsilon$ gibt die Abweichung von der Kreisbahn ($\epsilon = 0$) an.

Abb. 2

Der Hilfskreis hat den Radius der großen Halbachse $a$.

Die Keplergleichung nimmt den Umweg über die exzentrische Anomalie $E$:

$$M = E - \epsilon \cdot \sin(E)\tag{1}$$

Diese Gleichung muss nach $E$ aufgelöst werden. Das erfolgt über die Newtonsche Iteration.

$$E_{i+1} = E_i + \frac{M + \epsilon \cdot \sin(E_i) - E_i}{1 - \epsilon \cdot \cos(E_i)}\tag{2}$$ mit $|E_{i+1} - E_i| = h_{i+1}$. Man startet mit $E_0 = M$ und iteriert etwa 6mal, dann ist die Differenz $h_{i+1} \lt 0.00001$. Die wahre Anomalie $\nu$ wird dann mit der Barkerschen Gleichung berechnet:

$$\tan \left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \epsilon}{1 - \epsilon}} \cdot \tan\left(\frac{E}{2}\right)\tag{3}$$

Für kleine Exzentrizitäten $\epsilon$ kann man - anstatt einer iterativen Lösung der Keplergleichung - auf die Mittelpunktsgleichung zurückgreifen. Die Mittelpunktsgleichung wird für gewöhnlich mit $C$ bezeichnet („equation of the center“) und ist eine Reihenentwicklung mit den Variablen $\epsilon$ und $M$. Es gilt

$$C = \nu - M\tag{4}$$

Die Reihenentwicklung lautet

Für sehr kleine Exzentrizitäten kann man auch die höheren Potenzen von $\epsilon$, z.B. $\epsilon^4,\,\epsilon^5\ldots$ usw. weglassen. Das Ergebnis erhält man in Radiant, durch Multiplikation mit dem Faktor $\frac{180}{\pi}$ kann es in Grad umgerechnet werden. Die Mittelpunktsgleichung $C$ wird dann zur mittleren Anomalie $M$ addiert und man erhält sofort die wahre Anomalie $\nu$.

Tabelle: Fehlergröße für die Mittelpunktsgleichung, in Bogensekunden

Der Radiusvektor $r$ wird mit der folgenden Gleichung ermittelt:

$$r = \frac{a \cdot (1 - \epsilon^2)}{1 + \epsilon \cdot \cos(\nu)}\tag{5}$$

Das Argument der Breite $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim aufsteigenden Knoten. Den Wert braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.

Abb. 3

Eine Parabel hat eine numerische Exzentrizität $\epsilon$ = 1.

Die Barkersche Gleichung bestimmt die wahre Anomalie $\nu$ als Funktion der Zeit.

\[\begin{align} \frac{1}{3}\cdot\tan^3\left(\frac{\nu}{2}\right) + \tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{G\cdot (M_S + m)}{2\cdot q^3}}\cdot(t - t_0) \end{align}\tag{6}\]

$G$ und $M_S$ werden in den Wichtige Konstanten erläutert. $m$ ist hier die Masse des Kometen. Diese obige Gleichung muss jetzt aufgelöst werden. Mit den Hilfswerten

$$A = \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{G\cdot (M_S + m)}{2\cdot q^3}}\tag{6}$$

\[\begin{align} B = \sqrt[3]{A + \sqrt{A^2 + 1}} \quad \text{und} \quad \frac{1}{B} = \sqrt[3]{\sqrt{A^2 + 1} - A} \end{align}\tag{8}\]

gilt

$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = B - \frac{1}{B}\tag{9}$$

und für $A \neq 0$ schreibt man:

\[\begin{align} \tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \pm\frac{2}{\tan\left[2\cdot \arctan\left(\sqrt[3]{\tan\left(\frac{1}{2}\cdot \arctan\left(\frac{1}{|A|}\right)\right)}\right)\right]} \end{align}\tag{10}\]

Der Radiusvektor $r$ lautet: $$r = \frac{2\cdot q}{1 + \cos(\nu)}\tag{11}$$

Das Argument der Breite $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim aufsteigenden Knoten. Den Wert braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.

Abb. 4

Bei der Hyperbelbahn wird die exzentrische Anomalie mit $H$ bezeichnet. Die Berechnung von $H$ und des Radiusvektors $r$ erfolgt analog zur Ellipse. Startwert ist wieder die mittlere Anomalie $M_h$:

$$H_{i+1} = H_i - \frac{\epsilon\cdot \sinh(H_i) - H_i - M_h}{\epsilon\cdot \cosh(H_i) - 1}\tag{12}$$

Die Iteration ist solange zu wiederholen, bis $|H_{i+1} − H_i| \lt 10^{−8}$ gilt. Hat man die exzentrische Anomalie $H$ gefunden, so ist die korrespondierende wahre Anomalie $\nu$:

$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{\epsilon + 1}{\epsilon - 1}}\cdot \tanh\left(\frac{H}{2}\right)\tag{13}$$

Der Radius lautet:

$$r = a\cdot \frac{1 - \epsilon^2}{1 + \epsilon\cdot \cos(\nu)}\tag{14}$$

Das Argument der Breite $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie $M_h$ vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim aufsteigenden Knoten. Den Wert braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.