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Mondposition nach Meeus

Mondposition nach Meeus

Im Folgenden werden die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten des Mondes nach dem Algoithmus von J. Meeus in Astronomical Algorithms ermittelt. Um die Position des Mondes für einen bestimmten Zeitpunkt exakt zu berechnen, müssten hunderte periodischer Terme in Länge, Breite und in der Entfernung (Radiusvektor) des Mondes berücksichtigt werden. Da dies den Rahmen sprengen würde, beschränken wir uns hier auf die wichtigsten periodischen Terme. Die Genauigkeit des vorgestellten Algorithmus beträgt etwa $10''$ in ekliptikaler Länge des Mondes und $4''$ in der ekliptikalen Breite. Eine noch genauere Methode findet der interessierte Leser in Chapront's Lunar Tables and Programs.

Mit dem hier beschriebenen Algorithmus erhält man die geozentrischen Länge $\lambda$ und Breite $\beta$ des Mondmittelpunkts, bezogen auf das mittlere Äquinoktium des Datums, sowie den Abstand $\Delta$ in Kilometer zwischen den Mittelpunkten von Erde und Mond. Daraus lässt sich dann die äquatoriale Horizontalparallaxe $\pi$ des Mondes ermitteln mit

$\pi = \arcsin\left(\frac{6378.14}{\Delta}\right)\tag{1}$

Die Horizontalparallaxe ist wichtig für die spätere Berechnung der topozentrischen Koordinaten (für einen Beobachter auf der Erdoberfläche).

Benötigte Größen

Zunächst werden die julianischen Jahrhunderte $T$ bezüglich des Standardäquinoktiums $J2000$ aus dem julianischen Tag ermittelt. Für das $JD$ gilt hier die dynamische Zeit $TD$ , daher sollte ein Zeitpunkt in Weltzeit $UT$ mittels $\Delta T$ umgerechnet werden! $T$ ist vor dem Jahr 2000 negativ und danach positiv.

$T = \frac{(JD - 2451545.0)}{36525}\tag{2}$

Man sollte die Größe $T$ mit mindestens 9 Nachkommastellen berechnen, denn $0.000000001$ Jahrhunderte sind ca. $3^{s}$ . In dieser Zeit bewegt sich der Mond bereits um $1\overset{''}{.}7$ auf seiner Bahn weiter!

Benötigt werden hier die folgenden Winkelgrößen:

Tabelle 1 (zum Aufklappen)

Tabelle 1
Größe	Wert
Mittlere Länge des Mondes, bezogen auf das mittlere Äquinoktium des Datums, einschließlich des konstanten Terms der Lichtlaufzeit ( $-0.70^{s}$ ):	$\begin{align} l &= 218\overset{\circ}{.}3164477 \\ &+481267\overset{\circ}{.}88123421\cdot T \\ &-0\overset{\circ}{.}0015786\cdot T^2 \\ &-\tfrac{1^{\circ}}{538841}\cdot T^3 \\ &-\tfrac{1^{\circ}}{65194000}\cdot T^4 \end{align}$
Mittlere Elongation des Mondes	$\begin{align} D &= 297\overset{\circ}{.}8501921\\ &+445267\overset{\circ}{.}1114034\cdot T\\ &-0\overset{\circ}{.}0018819\cdot T^2\\ &+\tfrac{1^{\circ}}{545868}\cdot T^3\\ &-\tfrac{1^{\circ}}{113065000}\cdot T^4 \end{align}$
Mittlere Anomalie der Sonne	$\begin{align} M &= 357\overset{\circ}{.}5291092\\ &+35999\overset{\circ}{.}0502909\cdot T\\ &-0\overset{\circ}{.}0001536\cdot T^2\\ &+\tfrac{1^{\circ}}{24490000}\cdot T^3 \end{align}$
Mittlere Anomalie des Mondes	$\begin{align} m &= 134\overset{\circ}{.}9633964\\ &+ 477198\overset{\circ}{.}8675055\cdot T\\ &+ 0\overset{\circ}{.}0087414\cdot T^2\\ &+ \frac{1^{\circ}}{69699}\cdot T^3\\ &- \frac{1^{\circ}}{14712000}\cdot T^4 \end{align}$
Argument der Breite des Mondes (= mittlere Entfernung des Mondes von seinem aufsteigenden Knoten ☊):	$\begin{align} F &= 93\overset{\circ}{.}2720950\\ &+ 483202\overset{\circ}{.}0175233\cdot T\\ &- 0\overset{\circ}{.}0036539\cdot T^2\\ &- \tfrac{1^{\circ}}{3526000}\cdot T^3\\ &- \tfrac{1^{\circ}}{863310000}\cdot T^4 \end{align}$
Hilfswinkel (Terme für Störungen durch die Planeten)	$\begin{align} A_1 &= 119\overset{\circ}{.}775 + 131\overset{\circ}{.}849\cdot T\\ A_2 &= 53\overset{\circ}{.}09 + 479264\overset{\circ}{.}290\cdot T\\ A_3 &= 313\overset{\circ}{.}45 + 481266\overset{\circ}{.}484\cdot T \end{align}$

Alle Größen sind hier in Grad gegeben, für Programmiersprachen empfiehlt sich eine Umrechnung in Radiant.
Man erhält zuweilen große Winkelwerte, diese sollten mit der Reduktions-Funktion in das Intervall [0°-360°] gebracht werden.

Tabellenwerte der periodschen Terme

In den folgenden beiden Tabellen sind die 60 wichtigsten periodischen Terme zur Berechnung der Mondkoordinaten wiedergegeben. Die jeweils erste Spalte ist nur zur Nummerierung der Terme gedacht und dient der Referenzierung, diese Spalte enthält keine Rechenwerte!

Die Tabelle 2 zeigt die periodischen Terme für die Länge $\Sigma l$ und die Entfernung $\Sigma r$ des Mondes. Die Einheiten der Koeffizienten sind $10^{-6}$ Grad für $\Sigma l$ und $10^{-3}$ km für $\Sigma r$ .

Tabelle 2 (zum Aufklappen)

Tabelle 2
	Argument (Vielfache des Winkels)				$\Sigma l$	$\Sigma r$
Nr.	$D$	$M$	$m$	$F$	Koeffizient des $\color{#cc0000}\sin$	Koeffizient des $\color{#cc0000}\cos$
$01$	$0$	$0$	$1$	$0$	$6288774$	$-20905355$
$02$	$2$	$0$	$-1$	$0$	$1274027$	$-3699111$
$03$	$2$	$0$	$0$	$0$	$658314$	$-2955968$
$04$	$0$	$0$	$2$	$0$	$213618$	$-569925$
$05$	$0$	$1$	$0$	$0$	$-185116$	$48888$
$06$	$0$	$0$	$0$	$2$	$-114332$	$-3149$
$07$	$2$	$0$	$-2$	$0$	$58793$	$246158$
$08$	$2$	$-1$	$-1$	$0$	$57066$	$-152138$
$09$	$2$	$0$	$1$	$0$	$53322$	$-170733$
$10$	$2$	$-1$	$0$	$0$	$45758$	$-204586$
$11$	$0$	$1$	$-1$	$0$	$-40923$	$-129620$
$12$	$1$	$0$	$0$	$0$	$-34720$	$108743$
$13$	$0$	$1$	$1$	$0$	$-30383$	$104755$
$14$	$2$	$0$	$0$	$-2$	$15327$	$10321$
$15$	$0$	$0$	$1$	$2$	$-12528$	$0$
$16$	$0$	$0$	$1$	$-2$	$10980$	$79661$
$17$	$4$	$0$	$-1$	$0$	$10675$	$-34782$
$18$	$0$	$0$	$3$	$0$	$10034$	$-23210$
$19$	$4$	$0$	$-2$	$0$	$8548$	$-21636$
$20$	$2$	$1$	$-1$	$0$	$-7888$	$24208$
$21$	$2$	$1$	$0$	$0$	$-6766$	$30824$
$22$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$-5163$	$-8379$
$23$	$1$	$1$	$0$	$0$	$4987$	$-16675$
$24$	$2$	$-1$	$1$	$0$	$4036$	$-12831$
$25$	$2$	$0$	$2$	$0$	$3994$	$-10445$
$26$	$4$	$0$	$0$	$0$	$3861$	$-11650$
$27$	$2$	$0$	$-3$	$0$	$3665$	$14403$
$28$	$0$	$1$	$-2$	$0$	$-2689$	$-7003$
$29$	$2$	$0$	$-1$	$2$	$-2602$	$0$
$30$	$2$	$-1$	$-2$	$0$	$2390$	$10056$
$31$	$1$	$0$	$1$	$0$	$-2348$	$6322$
$32$	$2$	$-2$	$0$	$0$	$2236$	$-9884$
$33$	$0$	$1$	$2$	$0$	$-2120$	$5751$
$34$	$0$	$2$	$0$	$0$	$-2069$	$0$
$35$	$2$	$-2$	$-1$	$0$	$2048$	$-4950$
$36$	$2$	$0$	$1$	$-2$	$-1773$	$4130$
$37$	$2$	$0$	$0$	$2$	$-1595$	$0$
$38$	$4$	$-1$	$-1$	$0$	$1215$	$-3958$
$39$	$0$	$0$	$2$	$2$	$-1110$	$0$
$40$	$3$	$0$	$-1$	$0$	$-892$	$3258$
$41$	$2$	$1$	$1$	$0$	$-810$	$2616$
$42$	$4$	$-1$	$-2$	$0$	$759$	$-1897$
$43$	$0$	$2$	$-1$	$0$	$-713$	$-2117$
$44$	$2$	$2$	$-1$	$0$	$-700$	$2354$
$45$	$2$	$1$	$-2$	$0$	$691$	$0$
$46$	$2$	$-1$	$0$	$-2$	$596$	$0$
$47$	$4$	$0$	$1$	$0$	$549$	$-1423$
$48$	$0$	$0$	$4$	$0$	$537$	$-1117$
$49$	$4$	$-1$	$0$	$0$	$520$	$-1571$
$50$	$1$	$0$	$-2$	$0$	$-487$	$-1739$
$51$	$2$	$1$	$0$	$-2$	$-399$	$0$
$52$	$0$	$0$	$2$	$-2$	$-381$	$-4421$
$53$	$1$	$1$	$1$	$0$	$351$	$0$
$54$	$3$	$0$	$-2$	$0$	$-340$	$0$
$55$	$4$	$0$	$-3$	$0$	$330$	$0$
$56$	$2$	$-1$	$2$	$0$	$327$	$0$
$57$	$0$	$2$	$1$	$0$	$-323$	$1165$
$58$	$1$	$1$	$-1$	$0$	$299$	$0$
$59$	$2$	$0$	$3$	$0$	$294$	$0$
$60$	$2$	$0$	$-1$	$-2$	$0$	$8752$

Die Tabelle 3 zeigt die periodischen Terme für die Breite $\Sigma b$ des Mondes. Die Einheiten der Koeffizienten sind $10^{-6}$ Grad.

Tabelle 3 (zum Aufklappen)

Tabelle 3
	Argument (Vielfache des Winkels)				$\Sigma b$
Nr.	$D$	$M$	$m$	$F$	Koeffizient des $\color{#cc0000}\sin$
$01$	$0$	$0$	$0$	$1$	$5128122$
$02$	$0$	$0$	$1$	$1$	$280602$
$03$	$0$	$0$	$1$	$-1$	$277693$
$04$	$2$	$0$	$0$	$-1$	$173237$
$05$	$2$	$0$	$-1$	$1$	$55413$
$06$	$2$	$0$	$-1$	$-1$	$46271$
$07$	$2$	$0$	$0$	$1$	$32573$
$08$	$0$	$0$	$2$	$1$	$17198$
$09$	$2$	$0$	$1$	$-1$	$9266$
$10$	$0$	$0$	$2$	$-1$	$8822$
$11$	$2$	$-1$	$0$	$-1$	$8216$
$12$	$2$	$0$	$-2$	$-1$	$4324$
$13$	$2$	$0$	$1$	$1$	$4200$
$14$	$2$	$1$	$0$	$-1$	$-3359$
$15$	$2$	$-1$	$-1$	$1$	$2463$
$16$	$2$	$-1$	$0$	$1$	$2211$
$17$	$2$	$-1$	$-1$	$-1$	$2065$
$18$	$0$	$1$	$-1$	$-1$	$-1870$
$19$	$4$	$0$	$-1$	$-1$	$1828$
$20$	$0$	$1$	$0$	$1$	$-1794$
$21$	$0$	$0$	$0$	$3$	$-1749$
$22$	$0$	$1$	$-1$	$1$	$-1565$
$23$	$1$	$0$	$0$	$1$	$-1491$
$24$	$0$	$1$	$1$	$1$	$-1475$
$25$	$0$	$1$	$1$	$-1$	$-1410$
$26$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$-1344$
$27$	$1$	$0$	$0$	$-1$	$-1335$
$28$	$0$	$0$	$3$	$1$	$1107$
$29$	$4$	$0$	$0$	$-1$	$1021$
$30$	$4$	$0$	$-1$	$1$	$833$
$31$	$0$	$0$	$1$	$-3$	$777$
$32$	$4$	$0$	$-2$	$1$	$671$
$33$	$2$	$0$	$0$	$-3$	$607$
$34$	$2$	$0$	$2$	$-1$	$596$
$35$	$2$	$-1$	$1$	$-1$	$491$
$36$	$2$	$0$	$-2$	$1$	$-451$
$37$	$0$	$0$	$3$	$-1$	$439$
$38$	$2$	$0$	$2$	$1$	$422$
$39$	$2$	$0$	$-3$	$-1$	$421$
$40$	$2$	$1$	$-1$	$1$	$-366$
$41$	$2$	$1$	$0$	$1$	$-351$
$42$	$4$	$0$	$0$	$1$	$331$
$43$	$2$	$-1$	$1$	$1$	$315$
$44$	$2$	$-2$	$0$	$-1$	$302$
$45$	$0$	$0$	$1$	$3$	$-283$
$46$	$2$	$1$	$1$	$-1$	$-229$
$47$	$1$	$1$	$0$	$-1$	$223$
$48$	$1$	$1$	$0$	$1$	$223$
$49$	$0$	$1$	$-2$	$-1$	$-220$
$50$	$2$	$1$	$-1$	$-1$	$-220$
$51$	$1$	$0$	$1$	$1$	$-185$
$52$	$2$	$-1$	$-2$	$-1$	$181$
$53$	$0$	$1$	$2$	$1$	$-177$
$54$	$4$	$0$	$-2$	$-1$	$176$
$55$	$4$	$-1$	$-1$	$-1$	$166$
$56$	$1$	$0$	$1$	$-1$	$-164$
$57$	$4$	$0$	$1$	$-1$	$132$
$58$	$1$	$0$	$-1$	$-1$	$-119$
$59$	$4$	$-1$	$0$	$-1$	$115$
$60$	$2$	$-2$	$0$	$1$	$107$

Summieren der Terme

Man berechnet nun die Summen $\Sigma l$ und $\Sigma r$ der in Tabelle 2 angegebenen Terme und die Summe $\Sigma b$ der in Tabelle 3 angegebenen Terme. Das Argument jedes Sinus (für $\Sigma l$ und $\Sigma b$ ) bzw. des Cosinus (für $\Sigma r$ ) ist eine Linearkombination der vier Grundargumente $D$ , $M$ , $m$ und $F.$

Beispiele

Das Argument in der 8. Zeile von Tabelle 2 ist $(2\cdot D - M - m)$ , und die Beiträge zu $\Sigma l$ und $\Sigma r$ betragen demnach $+57066\cdot \sin(2\cdot D - M - m)$ bzw. $-152138\cdot \cos(2\cdot D - M - m).$
Das Argument in der 12. Zeile von Tabelle 3 ist $(2\cdot D - 2\cdot m - F)$ , und der Beitrag zu $\Sigma b$ beträgt $+4324\cdot \sin(2\cdot D - 2\cdot m - F)$

Allerdings hängen die Terme, deren Argument den Winkel $M$ enthält, von der Exzentrizität der Erdumlaufbahn um die Sonne ab, die derzeit mit der Zeit abnimmt. Aus diesem Grund ist die Amplitude dieser Terme tatsächlich variabel. Um diesen Effekt zu berücksichtigen, multipliziert man jene Terme, deren Argument $M$ oder $-M$ enthält mit $E$ , und diejenigen, die $2M$ oder $-2M$ enthalten, mit $E^2$ , wobei für den Wert $E$ gilt:

$E = 1 - 0.002516\cdot T - 0.0000074\cdot T^2\tag{3}$

Der Koeffizient, nicht das Argument des Sinus oder Cosinus, sollte mit $E$ multipliziert werden! Beispielsweise beträgt der 8. Term der Tabelle 2 in Länge tatsächlich $+57066\cdot \color{#cc0000}{E}\cdot \sin (2\cdot D – M – m)$ , weil hier ein $M$ vorkommt.

Hat man alle Terme in Tabelle 2 und Tabelle 3 summiert, dann fügt man zusätzlich die folgenden additiven Terme zu $\Sigma l$ und $\Sigma b$ aus Tabelle 4 hinzu:

Tabelle 4
Addieren zu $\Sigma l$	Addieren zu $\Sigma b$
$\begin{align} &+3958\cdot \sin(A_1)\\ &+1962\cdot \sin(l - F)\\ &+318\cdot \sin(A_2)\\ \end{align}$	$\begin{align} &-2235\cdot \sin(l)\\ &+382\cdot \sin(A_3)\\ &+175\cdot \sin(A_1 - F)\\ &+175\cdot \sin(A_1 + F)\\ &+127\cdot \sin(l - m)\\ &-115\cdot \sin(l + m)\\ \end{align}$

Die geozentrischen ekliptikalen Mondkoordinaten $\lambda, \beta, \Delta$ sind nun gegeben durch $\begin{align} \lambda &= l + \frac{\Sigma l}{10^6}\quad\textrm{in Grad}\\ \beta &= \frac{\Sigma b}{10^6}\quad\textrm{in Grad}\\ \Delta &= 385000.56 + \frac{\Sigma r}{10^3}\quad\textrm{in km} \end{align}\tag{4}$

Die Divisionen durch $10^6$ bzw. durch $10^3$ dürfen nicht vergessen werden, da die Koeffizienten für $\Sigma l$ und $\Sigma b$ in Einheiten von $10^{-6}$ Grad und die Koeffizienten für $\Sigma r$ in Einheiten von $10^{-3}$ km in den Tabellen angegeben sind.

Beispiel

Man berechne die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten des Mondes für den 15.4.2023 um 22:15 mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ)

Aus Gründen der Nachvollziehbarkeit der einzelnen Rechenschritte werden nachfolgend alle Kommastellen stehen gelassen. Bei einer praktischen Berechnung sollten die Werte natürlich vernünftig gerundet werden!

Für den gegebenen Zeitpunkt wurde der Julianische Tag hier bereits ermittelt zu $JD=2460050.34375$ . Im Jahr 2023 war der Wert von $\Delta T = 69^{s}$ , diese müssen hinzugefügt werden, um die Position der Mondes in der gleichmäßigen Skala der dynamischen Zeit $TD$ zu erhalten. Ein Tag hat 86400 Sekunden, daher folgt

$\begin{align} JDE &= 2460050.34375 + \frac{69^{s}}{86400\frac{s}{d}}\\ &= 2460050.344548611 \end{align}$

Daraus erhält man die julianischen Jahrhunderte zu

$\begin{align} T &= \frac{(2460050.344548611 - 2451545.0)}{36525}\\ &= 0.23286364267244272 \end{align}$

Für die Hauptwinkel $l$ , $D$ , $M$ , $m$ und $F$ erhält man:

$\begin{align} l &= 112288\overset{\circ}{.}10828756973 = 328\overset{\circ}{.}10828756973206\\ D &= 103984\overset{\circ}{.}37161370827 = 304\overset{\circ}{.}3716137082665\\ M &= 8740\overset{\circ}{.}399084358916 = 100\overset{\circ}{.}3990843589163\\ m &= 111257\overset{\circ}{.}23043708263 = 17\overset{\circ}{.}230437082631397 \\ F &= 112613\overset{\circ}{.}45384401109 = 293\overset{\circ}{.}45384401109186 \end{align}$

Für große Winkel wurde die Reduktionsfunktion verwendet.

Für den Faktor $E$ bzw. $E^2$ ergibt sich

$\begin{align} E &= 0.9994137138065131\\ E^2 &= 0.9988277713445269 \end{align}$

Die Hilfwinkel $A1, A2, A3$ berechnen sich zu

$\begin{align} A_1 &= 150\overset{\circ}{.}4528384227189\\ A_2 &= 111656\overset{\circ}{.}31837222195 = 56\overset{\circ}{.}31837222195463\\ A_3 &= 112382\overset{\circ}{.}91656039887 = 62\overset{\circ}{.}91656039886584 \end{align}$

Nun zu den Summen der Korrekturterme aus den Tabellen A und B. Summiert man jeweils alle 60 Terme, gelangt man zu

$\begin{align} \Sigma l &= +275572\overset{\circ}{.}2162040365\\ \Sigma r &= -17004717\overset{\circ}{.}5126011\\ \Sigma b &= -4807535\overset{\circ}{.}946447014\\ \end{align}$

Die additiven Terme mit den Hilfswinkeln müssen noch zu $\Sigma l$ und $\Sigma b$ addiert werden, nämlich

zu $\Sigma l$

$\begin{align} &+3958\cdot \sin(150.45)\\ &+1962\cdot \sin(328.108306 - 293.453862)\\ &+318\cdot \sin(56.32)\\ &=3332\overset{\circ}{.}108843107891\\ &=92\overset{\circ}{.}10884310789106 \end{align}$

zu $\Sigma b$

$\begin{align} &-2235\cdot \sin(328.108306)\\ &+382\cdot \sin(62.92)\\ &+175\cdot \sin(150.45 - 293.453862)\\ &+175\cdot \sin(150.45 + 293.453862)\\ &+127\cdot \sin(328.108306 - 17.230455)\\ &-115\cdot \sin(328.108306 + 17.230455)\\ &=1522\overset{\circ}{.}674361402996\\ &=82\overset{\circ}{.}67436140299606 \end{align}$

$\begin{align} \Sigma l =&\;275572\overset{\circ}{.}2162040365 \\ & +92\overset{\circ}{.}10884310789106\\ &= 278904\overset{\circ}{.}3250471444 \\\\ \Sigma b =& -4807535\overset{\circ}{.}946447014\\ &+82\overset{\circ}{.}67436140299606\\ &= -4806013\overset{\circ}{.}272085611 \end{align}$

$\Sigma r$ hat keine additiven Terme und bleibt so. Damit ergeben sich für die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten $\lambda, \beta, \Delta$ die Werte

$\begin{align}{\;} \lambda &= 328\overset{\circ}{.}10828756973206 + \frac{278904\overset{\circ}{.}3250471444}{10^6}\\ &= 328\overset{\circ}{.}38719189478434 \\\\ \beta &= \frac{-4806013\overset{\circ}{.}272085611}{10^6} = -4\overset{\circ}{.}806013272085611\\\\ \Delta &= 385000.57 + \frac{-17004717.5126011}{10^3}\\ &= 367995.8424873989\,\textrm{km}\\ \end{align}$

Schließlich erhält man die Horizontalparallaxe $\pi$ des Mondes mit

$\pi = \arcsin\left(\frac{6378.14}{367995.8424873989}\right) = 0\overset{\circ}{.}9931057906351756$

Zum Vergleich die Daten, die von der Astronomie-Software SOLEX 12.1 angegeben werden. Die Einstellungen in SOLEX wurden ebenfalls auf $\Delta T = 69^s$ gesetzt.

	Dieses Beispiel	SOLEX 12.1	Differenz
$\lambda=$	$328\overset{\circ}{.}387192$	$328\overset{\circ}{.}3869343$	$0\overset{''}{.}93$
$\beta=$	$-4\overset{\circ}{.}806013$	$-4\overset{\circ}{.}8055938$	$1\overset{''}{.}51$
$\Delta=$	$367995.8 \textsf{ km}$	$367995.46 \textsf{ km}$	$0.34 \textsf{ km}$

Man vergleiche diese Werte mit jenen aus Mondposition nach Montenbruck.