Es wird als erstes der scheinbare Durchmesser des Planetenscheibchens am Himmel berechnet, wie man diese durch ein Teleskop erkennen kann.

Tabelle 1
Objekt	Radius $\rho\,[km]$
$\odot$ Sonne:	696000.0
Merkur:	2439.7
Venus:	6051.9
Erde:	6378.14
Mars:	3396.2
Jupiter:	71492.0
Saturn:	60268.0
Uranus:	25559.0
Neptun:	24764.0

Ringe des Saturn: 136600.0 km

Daraus berechnet man mit Hilfe des Abstands $\Delta$ und des Planetenradius $\rho$ den scheinbaren Durchmesser $\varnothing$:

$$\varnothing = 2\cdot 3600''\cdot \arctan\left(\frac{\rho}{\Delta}\right)\tag{1}$$

Dabei ist $\Delta$ in astronomischen Einheiten $AE$ zu setzen.

Die Phase $k$ gibt den prozentual beleuchteten Anteil des Himmelsobjekts wieder. Der Beleuchtungsdefekt $d$ gibt den unbeleuchteten Anteil in Bogensekunden ($''$) an.

Abb. 1

Als erstes benötigt man den Phasenwinkel $\varphi$:

Abb. 2

\[\begin{align} \cos(\sigma) &= - \cos(L_S - l) \cdot \cos(b)\\ \cos (\eta) &= \cos(L_S - \lambda) \cdot \cos(\beta)\\ \varphi &= 180^{\circ} - (\sigma + \eta) \end{align}\tag{2}\]

Weiter gilt für den Phasenwinkel

$$\cos(\varphi) = \frac{\Delta^2 + r^2 - R^2}{2\cdot \Delta \cdot r}\tag{3}$$

Die Phase $k$ und der Beleuchtungsdefekt $d$ sind dann gegeben durch:

$$k = \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos(\varphi)) \cdot 100\%\tag{4}$$

$$d = \frac{\varnothing}{2}\cdot (1 - \cos(\varphi))\tag{5}$$

Die Schiefe der Ekliptik ist für Beobachtungen (insbesondere für Merkur, Venus und das Zodiakallicht) am Ost- oder Westhimmel wichtig, denn sie variiert im Laufe eines Sterntages und auch über das gesamte Jahr.

Abb. 3: Ekliptikschiefe zum Horizont

Die Transformationsmatrix lautet (J. Meeus): \[\left( \begin{aligned} & \cos(90^{\circ} - \beta_e) \cdot \cos(90^{\circ} + \lambda_e) \\ & \cos(90^{\circ} - \beta_e) \cdot \sin(90^{\circ} + \lambda_e) \\ & \sin(90^{\circ} - \beta_e) \end{aligned} \right) = \left( \begin{aligned} & + \cos(\Theta) \cdot \cos(\beta_0) \\ & + \sin(\Theta) \cdot \cos(\beta_0) \cdot \cos(\varepsilon) + \sin(\beta_0) \cdot \sin(\varepsilon) \\ & - \sin(\Theta) \cdot \cos(\beta_0) \cdot \sin(\varepsilon) + \sin(\beta_0) \cdot \cos(\varepsilon) \end{aligned} \right)\tag{6}\]

mit $\vec{e}$($\Theta$, $\beta_0$) als geozentrisch - äquatoriale Koordinaten des Zenits. Der Azimut der Horizontpunkte $A_e$ der Ekliptik ist dann laut G.D. Roth:

$$A_e = \arcsin\left(- \frac{\sin(\lambda_e) \cdot \sin(\varepsilon)}{\cos(\beta_0)}\right)\tag{7}$$

Die Elongation $\eta$ kennzeichnet den Abstand des Himmelsobjekts von der Sonne. Die Formel wurde in der Phasenberechnung schon vorausgegriffen:

Abb. 4

$$\cos(\eta) = \cos(L_S - \lambda)\cdot \cos(\beta)\tag{8}$$

Der Sonnenpositionswinkel $\theta$ gibt die Richtung an, aus der der Planet beleuchtet wird. Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über sphärische Koordinaten. Bei der Transformation muss diesmal darauf geachtet werden, dass die erhaltenen Werte noch nachträglich von 90$^{\circ}$ abgezogen werden.

\[\begin{align} \cos(90^{\circ} - \eta) \cdot \cos(90^{\circ} - \theta) =&\, x = \cos(B_S) \cdot \sin(L_S - \lambda) \\ \cos(90^{\circ} - \eta) \cdot \sin(90^{\circ} - \theta) =&\, y = -\cos(B_S) \cdot \cos(L_S - \lambda) \cdot \sin(\beta) + \sin(B_S) \cdot \cos(\beta) \\ \sin(90^{\circ} - \eta) =&\, z = \cos(B_S) \cdot \cos(L_S - \lambda) \cdot \cos(\beta) + \sin(B_S) \cdot \sin(\beta)\end{align}\tag{9}\]

Der parallaktische Winkel $q$ ist die Neigung der beleuchteten Planeten- oder Mondscheibe relativ zum Horizont und $z$ ist die Zenitdistanz.

Abb. 5: Die Neigung der Sichel zum Horizont

Hat man die geozentrisch äquatorialen Koordinaten $\alpha$, $\delta$ des Planeten oder Mondes, die geographische Breite $\beta_0$ des Beobachters und die lokale Sternzeit $\theta$, so kann man mit dem folgenden Ausdruck den parallaktischen Winkel $q$ berechnen:

\[\begin{align} \cos(90^{\circ} - z) \cdot \cos(90^{\circ} - q) &= x = + \cos(\beta_0) \cdot \sin(\theta - \alpha) \\ \cos(90^{\circ} - z) \cdot \sin(90^{\circ} - q) &= y = - \cos(\beta_0) \cdot \cos(\theta - \alpha) \cdot \sin(\delta) + \sin(\beta_0) \cdot \cos(\delta) \\ \sin(90^{\circ} - z) &= z = + \cos(\beta_0) \cdot \cos(\theta - \alpha) \cdot \cos(\delta) + \sin(\beta_0) \cdot \sin(\delta) \end{align}\tag{10}\]

Bei Auf- und Untergängen reduziert sich $q$ auf die Gleichung: $$\cos(q) = \frac{\sin(\beta_0)}{\cos(\delta)}\tag{11}$$

Der parallaktische Winkel $q$ wird vom Zenit aus im Uhrzeigersinn gezählt. $q$ ist negativ vor der Kulmination und positiv nach der Kulmination. Im Zenit selbst ist $q$ jedoch nicht definiert.

Den Auf- und Untergangspunkt $A$ am Horizont findet man mit: $$\cos(A) = -\frac{\sin(\delta)}{\cos(\beta_0)}\tag{12}$$

$A$ wird auch als die Morgenweite beim Aufgang oder als Abendweite beim Untergang bezeichnet, unabhängig davon wann der Auf- und Untergang stattfindet.

Die nachfolgenden Gleichungen beschreiben die absolute Helligkeit $m_0$ der Planeten in $1 AE$ Abstand. Wichtig ist hier auch der Phasenwinkel $\varphi$.

Die scheinbare Helligkeit $m$ aus $\Delta AE$ Entfernung berechnet man mit der folgenden Gleichung:

$$m = m_0 + 5\cdot \log_{10}\left(\frac{r\cdot \Delta}{1 AE^2}\right)\tag{13}$$

Die Helligkeit ist dem Explanatory Supplement entnommen worden. Die scheinbare Helligkeit der Erde stammt aus D.L. Harris (Photometry and Colormetry of Planets and Satellites), die Phasenterme für Uranus und Neptun haben ihren Ursprung in dem Paper von G.W. Lockwood, D.T. Thomson et al..

Zur Berechnung der Rotationen der Sonne und der Planeten benötigt man vorab die Rotationselemente. $T$ bezieht sich auf die Epoche J2000.0. Siehe auch den Abschnitt über den Julianischer Tag JD.

mit $\color{#ff00ff}N = 357\overset{\circ}{.}85 + 52\overset{\circ}{.}316\cdot T$.

Die Rotationselemente $\alpha_0$ und $\delta_0$ bezeichnen die erdäquatoriale Lage der Rotationsachsen der Planeten. Es folgt die Tabelle mit den Nullmeridianen $W$:

Der Nullmeridian ist ein willkürlicher, aber festgelegter Wert auf der Oberfläche des Planeten. Er berechnet sich mit

$$W = W_0 + \textrm{d}W \cdot T + \Delta W\tag{14}$$

Die hier präsentierten Rotationselemente haben nur einen begrenzten Gültigkeitszeitraum. In einem eigenen Beitrag wird die Situation näher illustriert.

Abb. 6

\(\begin{align} \cos(D_E) \cdot \cos(K) =&\, x = +\cos(\delta) \cdot \sin(\alpha_0 - \alpha) \\ \cos(D_E) \cdot \sin(K) =&\, y = +\cos(\delta) \cdot \cos(\alpha_0 - \alpha) \cdot \sin(\delta_0) - \sin(\delta) \cdot \cos(\delta_0) \\ \sin(D_E) =&\, z = -\cos(\delta) \cdot \cos(\alpha_0 - \alpha) \cdot \cos(\delta_0) - \sin(\delta) \cdot \sin(\delta_0) \end{align}\tag{15}\)

$D_E$ ist die planetozentrische Breite der Erde über dem planetaren Äquator. Damit ergibt sich planetozentrische Länge der Erde $A_E$ vom Nullmeridian des Planeten. $$A_E = (W - K)\cdot \text{sgn}\left(\frac{\textrm{d}W}{\textrm{d}T}\right)\tag{16}$$

Die Signum-Funktion stammt aus dem Abschnitt über die Vorzeichenfunktion. Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über sphärische Koordinaten. Man erhält die planetozentrisch äquatorialen Koordinaten $A_E$ (Länge) und $D_E$ (Breite) der Erde vom Planeten aus gesehen. Abb. 7

\(\begin{align} \cos(D_E) \cdot \cos(P) =&\, x = -\cos(\delta_0) \cdot \cos(\alpha_0 - \alpha) \cdot \sin(\delta) + \cos(\delta) \cdot \sin(\delta_0) \\ \cos(D_E) \cdot \sin(P) =&\, y = +\cos(\delta_0) \cdot \sin(\alpha_0 - \alpha) \\ \sin(D_E) =&\, z = -\cos(\delta) \cdot \cos(\alpha_0 - \alpha) \cdot \cos(\delta_0) - \sin(\delta) \cdot \sin(\delta_0) \end{align}\tag{17}\)

$D_E$ ist wieder die planetozentrische Breite der Erde. Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über sphärische Koordinaten. Man erhält den Positionswinkel der planetaren Rotationsachse $P$.

Die Rotationselemente (samt Nullmeridian) stammen aus dem Explanatory Supplement und aus dem Report der IAU/IAG Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements of the Planets and Satellites. Der Nullmeridian für das System III Jupiters und für das System II Saturns stammen von K.H. Bücke; siehe auch die Literaturhinweise.

• System I: Rotation an den Polkappen
• System II: Rotation am Äquator
• System III: Rotation von Radiostrahlungsemissionen

Das gewaltige Hochdrucksystem besteht schon seit Jahrhunderten und ist reizvoll zu beobachten.

Abb. 8: Großer, roter Fleck

Die jovigraphische Länge $\Lambda$ wird westwärts gezählt. Liegt diese zwischen $90^{\circ}$ und $270^{\circ}$, so befindet sich der GRF auf der erdabgewandten Seite des Jupiter. Die jovigraphische Breite $B$ liegt nahezu konstant bei $-22\overset{\circ}{.}5$. Zieht man die planetozentrische Länge $A_E$ der Erde (Jupiters Zentralmeridian) von der aktuellen Länge $S$ ab,

$$\Lambda = \textrm{red}(S - A_E;360^{\circ})\tag{18}$$

so bekommt man die derzeitige und ungefähre Lage des großen, roten Flecks $\Lambda$. Die Transitzeiten sind dann: $$JDE = 2451545.0 + \frac{\Lambda}{dW} - \tau\tag{19}$$

mit der Reduktionsfunktion, der Lichtlaufzeit $\tau$ und $dW = 870\overset{\circ}{.}1869147$ als der synodischen Rotation Jupiters im System II. $S$ erhält man aus der nachfolgenden Tabelle 5:

Die Tabelle stammt von JUPOS.org und wird laufend aktualisiert. Der aktuelle Stand ist der 25. Oktober 2024.

Bei einer genauen Beobachtung des Saturn fällt auf, daß der Schatten des Planeten auf seinen Ringen sich vor der Opposition leicht westlich vom Planeten befindet, nach der Opposition etwas östlich. Der Ring ist dann an dieser Stelle nicht sichtbar. Es handelt sich nur um einen wenige Bogensekunden breiter Bereich der Sichtbarkeit des Schattens. Einen ersten Hinweis auf den Schattenwurf liefert auch der Beleuchtungsdefekt $d''$. K.H. Bücke beschrieb 1990 erstmalig dieses Phänomen im Mitteilungen für Planetenbeobachter.

Abb. 9: Saturns Schatten (Erdansicht)

Der Wert $b$ schwankt zwischen Eins und Null bei einer planetozentrischen Deklination $D_E$ zwischen Null (Durchgang durch die Ringebene) bzw. $23\overset{\circ}{.}66$. Bei größerer Öffnung erreicht $b$ komplexe Werte. Der Schatten liegt dann hinter dem Planeten. Der Ringabstand $s$ liegt in der Ringebene. Der Halbmesser $b$ des Schattens auf der Ringebene lautet: $$b = \sqrt{1 - \frac{s^2 \cdot \sin^2(D_S)}{1 - \epsilon \cdot \cos^2(D_S)}}$$

Es handelt sich um den am weitesten vom Saturn entfernten Punkt des Terminators (Abb. 8). $s$ ist der Ringabstand in Planetenradien und reicht laut K.H. Bücke von 1.509 bis 2.269. Mit $\epsilon = 0.2037$ ist hier die numerische Exzentrizität des Saturnkörpers (Abplattung) gemeint. Der scheinbare Poldurchmesser $\varnothing_P$ (in Bogensekunden) berechnet sich mit $$\varnothing_P = \varnothing\sqrt{1 - \epsilon\cdot\cos^2(D_E)}$$

Nun wird der modifizierte Phasenwinkel $\psi$ gesucht: $$\psi(s) = \Delta A + \gamma \qquad \text{mit} \qquad \gamma = \arcsin\left(\frac{b}{s}\right)$$

Er dient zur Berechnung der Koordinaten $x(s)$, $y(s)$ auf der Projektionsebene.

Abb. 10: Saturns Schatten von oben

Die Ansicht von oberhalb des Saturn. Der Schattenhalbmesser $b$ steht senkrecht auf der Sichtlinie zur Erde. Der Abstand der Schattengrenze $s$ erstreckt sich von dem Zentrum des Planeten bis zum Terminator auf der Ringbene. Der Winkel $\gamma$ ist nicht die Längendifferenz $\Delta$A der Zentralmeridiane, sondern der Winkel zwischen der Schattengrenze und der Erdposition. $\Delta$A = A$_E$ $-$ A$_S$ sind die planetozentrischen Längen der Erde bzw. der Sonne (Abb. 9). $\Delta$A kann in erster Näherung durch den Phasenwinkel $\varphi$ ersetzt werden. Daraus resultieren die Koordinaten als Funktionen von $s$ für die Schattengrenze in Abb. 8: \[\begin{split} x(s) &= s \cdot \varnothing \cdot \sin(\psi(s)) \\ y(s) &= s \cdot \varnothing \cdot \cos(\psi(s)) \cdot \sin(D_E) \end{split}\]