Die in diesem Kapitel angegebenen Formeln basieren auf den von R. Carrington (1863) ermittelten und seit vielen Jahren verwendeten Elementen. Für einen bestimmten Zeitpunkt sind die erforderlichen Größen dafür:

Abb. 1: Physische Größen für die Sonne

Obwohl Positionswinkel im Allgemeinen von $0^{\circ}$ bis $360^{\circ}$ gezählt werden (dies ist beim Mond, den Planeten, Doppelsternen usw. der Fall), ist es im Fall der Sonne üblich, $P$ im absoluten Wert unter $90^{\circ}$ zu halten, und um ihm ein Plus- oder Minuszeichen zuzuordnen: $P$ ist positiv, wenn das nördliche Ende der Rotationsachse der Sonne nach Osten geneigt ist, und negativ, wenn es nach Westen geneigt ist. Himmels- und Sonnennord können sich um bis zu $26^{\circ}$ unterscheiden. $P$ erreicht um den 7. April ein Minimum von $-26\overset{\circ}{.}3$, um den 11. Oktober ein Maximum von $+26\overset{\circ}{.}3$ und liegt in der Nähe des 5. Januar und 7. Juli bei $0^{\circ}$.

$B_0$ stellt die Neigung des Nordpols der Sonne in Richtung $(+)$ oder weg $(-)$ von der Erde dar. Sie liegt um den 6. Juni und 7. Dezember bei $0^{\circ}$ und erreicht um den 6. März ($-7\overset{\circ}{.}25$) und den 8. September ($+7\overset{\circ}{.}25$) einen Maximalwert.

$L_0$ vermindert sich um etwa $13\overset{\circ}{.}2$ pro Tag. Die mittlere synodische Periode beträgt $27\overset{d}{.}2752$ Tage. Der Beginn jeder „synodischen Rotation“ ist der Zeitpunkt, an dem $L_0 = 0^{\circ}$ durchläuft. Die Sonnenrotation Nr. 1 begann am 9. November 1853.

Es ist $JD$ der julianische Ephemeridentag, der wie in diesem Kapitel beschriebenen Methode berechnet werden kann. Wenn der gegebene Zeitpunkt in Weltzeit $UT$ gegeben ist, addiert man zu $JD$ den in Tagen ausgedrückten Wert $\Delta T = TD — UT$ (siehe hier). Wenn $\Delta T$ in Sekunden ausgedrückt wird, beträgt die Korrektur zu $JD$

$$JD = JD + \frac{\Delta T}{86400}\tag{1}$$

Nun berechnet man die folgenden Größen: \(\begin{align} \theta &= (JD - 2398220)\cdot \frac{360^{\circ}}{25.38}\\ I &= 7\overset{\circ}{.}25 = 7^{\circ}15'\\ K &= 73\overset{\circ}{.}6667 + 1\overset{\circ}{.}3958333\cdot\frac{(JD - 2396758)}{36525} \end{align}\tag{2}\)

Dabei ist $I$ die Neigung des Sonnenäquators gegen die Ekliptik und $K$ die Länge des aufsteigenden Knotens des Sonnenäquators auf der Ekliptik. In der Formel für $\theta$ ist $25\overset{d}{.}38$ Tage die siderische Rotationsperiode der Sonne. Dieser Wert wurde von Carrington als fix festgelegt. Er definiert den Nullmeridian der heliographischen Länge der Sonne und muss daher als exakt betrachtet werden. Streng genommen variiert der Winkel $I$ langsam im Laufe der Zeit, da sich die Ebene der Ekliptik langsam dreht (derzeit um etwa $47''$ pro Jahrhundert), während die Rotationsachse der Sonne im Raum fixiert sein soll. Es ist jedoch astronomische Praxis, dies als konstant zu betrachten mit dem Wert $I = 7\overset{\circ}{.}25$.

Nun berechnet man die scheinbare Länge $\lambda$ der Sonne (korrigiert um die Auswirkung der Aberration, aber nicht der Nutation) mit der in diesem Kapitel beschriebenen Methode, den Radiusvektor $R$ (Erde-Sonne) sowie die Neigung der Ekliptik $\varepsilon$, korrigiert um die Nutation $\Delta \varepsilon$.
$\lambda'$ ist im Weiteren der um die Nutation $\Delta \lambda$ korrigierte Wert von $\lambda$, also

$$\lambda' = \lambda+ \Delta \lambda$$

Die Berechnung der Nutationswerte $\Delta \lambda$ und $\Delta \varepsilon$ werden hier beschrieben.

Damit erhält man die Hilfswinkel $x$ und $y$ mit

\[\begin{align} \tan x &= -\cos \lambda'\cdot\tan \varepsilon\\ \tan y &= -\cos (\lambda - K)\cdot\tan I \end{align}\tag{3}\]

Sowohl $x$ als auch $y$ sollten in das Intervall [–90°,+90°] gebracht werden.

Damit erhält man dann die gewünschten Größen

\[\begin{align} P &= x + y\\\\ \sin B_0 &= -\sin (\lambda - K)\cdot\sin I\\\\ \tan\eta &= \frac{-\sin (\lambda - K)\cdot\cos I}{-\cos (\lambda - K)}\\ &= \tan (\lambda - K)\cdot\cos I \end{align}\tag{4}\]

Der Winkel $\eta$ befindet sich im selben Quadranten wie $\lambda - K \pm 180^{\circ}$

Schließlich ergibt sich $L_0$ mit

$$L_0 = \eta - \theta\tag{5}$$

und wird mit der Reduktions-Funktion in das Intervall [0°-360°] gebracht.

Die Sonne rotiert im Schnitt alle $27.28$ Tage einmal um ihre Achse. Die Sonne ist ein „Gaskugel“ und rotiert daher nicht wie ein starrer Körper, sondern differentiell. Das bedeutet, Schichten, die näher am Sonnenäquator liegen, rotieren schneller als Schichten, die nahe den Sonnenpolen liegen. Dies wurde im 19. Jahrhundert von R.C. Carrington untersucht. Er führte den „Carrington-Nullmeridian“ der Sonne ein und begann seine Zählung der Sonnenrotationen am 9. November 1853 mit der Rotation $C = 1$.

Eine solare „synodische Rotation“ $C$ beginnt , wenn die Größe $L_0 = 0^{\circ}$ ist. Diese Zählung der Sonnenrotationen wurde seither beibehalten. Ein ungefährer Zeitpunkt für den Beginn von Carringtons synodischer Rotation $C$ ist

$$JDE = 2398140.2270 + 27.2752316\cdot C\tag{6}$$

wobei $C$ natürlich eine ganze Zahl sein muss. Der so ermittelte mittlere Zeitpunkt weicht höchstens um $0.16$ Tage vom genauen Wert ab. Die aus der obigen Formel ermittelte Zeit kann jedoch wie folgt korrigiert werden. Man berechne den Winkel $M$ (in Grad) aus

$$M = 281\overset{\circ}{.}96 + 26\overset{\circ}{.}882476\cdot C\tag{7}$$

Damit beträgt die Korrektur in Tagen

\[\begin{align} \Delta JDE =& +0.1454\cdot \sin(M)\\ &- 0.0085\cdot \sin(2\cdot M)\\ &- 0.0141\cdot \cos(2\cdot M) \end{align}\tag{8}\]

Zwischen den Jahren 1850 und 2100 hat der daraus ermittelte Wert einen Fehler von weniger als $0.002$ Tagen ($\approx 3^{m}$). Natürlich kann ein exakter Wert für den Zeitpunkt des Beginns einer synodischen Rotation erhalten werden, indem man $L_0$ für zwei Zeitpunkte in der Nähe des durch die obige Formel angegebenen Zeitpunkts berechnet und dann eine inverse Interpolation durchgeführt wird, um herauszufinden, wann $L_0 = 0$ ist.