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Die Phasen des Mondes
Per Definition sind die Zeiten des Neumondes, des ersten Viertels, des Vollmonds und des letzten Viertels die Zeiten, in denen die Differenz der scheinbaren geozentrischen Länge des Mondes über den scheinbaren geozentrischen Länge der Sonne genau $0^{\circ}, 90^{\circ}, 180^{\circ}$ bzw. $270^{\circ}$ beträgt.
Um die Zeitpunkte dieser Mondphasen zu berechnen, ist es daher notwendig, die scheinbaren Längengrade von Mond und Sonne getrennt zu berechnen. Allerdings kann der Effekt der Nutation hier vernachlässigt werden, da die Nutation im Längengrad keinen Einfluss auf den Unterschied zwischen den Längengraden von Mond und Sonne hat. Dies könne mit einer iterativen Berechnung erfolgen.
Wenn keine hohe Genauigkeit erforderlich ist, können die Zeitpunkte der Mondphasen mit der hier beschriebenen Methode nach J. Meeus berechnet werden. Die Ausdrücke basieren auf Chapronts ELP-2000/82-Theorie für den Mond (mit verbesserten Ausdrücken für die Argumente $M$, $m$ usw.) und auf Bretagnons und Francous VSOP87-Theorie für die Sonne. Die resultierenden Zeiten werden in Julianischen Ephemeridentagen ($JDE$) ausgedrückt, also in dynamischer Zeit $TD$.
Abweichungen von der mittleren Lunation
Das mittlere Zeitintervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Neumonden (= Lunation) beträgt $29\overset{d}{.}530589$ Tage oder $29^d 12^h 44^m 03^s$. Dies ist die Länge der (mittleren) synodischen Periode des Mondes. Allerdings schwankt der tatsächliche Zeitabstand zwischen aufeinanderfolgenden Neumonden vor allem aufgrund der störenden Wirkung der Sonne stark.
| Tabelle 1: Kürzeste und längste Lunationen im Zeitraum 1900-2100 | |||
|---|---|---|---|
| Von Neumond am | zum Neumond vom | Dauer der Lunation | Jahreszeit |
| 25. Juni 1903 | 24. Juli 1903 | $29^d 06^h 35^m$ | Sommer |
| 6. Juni 2035 | 5. Juli 2035 | $29^d 06^h 39^m$ | Sommer |
| 16. Juni 2053 | 15. Juli 2053 | $29^d 06^h 35^m$ | Sommer |
| 27. Juni 2071 | 27. Juli 2071 | $29^d 06^h 36^m$ | Sommer |
| 14. Dezember 1955 | 13. Januar 1956 | $29^d 19^h 54^m$ | Winter |
| 24. Dezember 1973 | 23. Januar 1974 | $29^d 19^h 55^m$ | Winter |
Wie aus dieser Tabelle ersichtlich ist kann die Dauer einer Lunation um über $6^h$ kürzer und über $7^h$ länger sein als der mittlere Wert.
Berechnung der Mondphasen
Mit dem nachstehenden Verfahren nach J. Meeus können die Zeitpunkte der Mondphasen mit ausreichender Genauigkeit ermittelt werden.
Die Zeiten der mittleren Mondphasen, die bereits die Aberration der Sonne und der Lichtlaufzeit des Mondes berücksichtigt, sind gegeben durch
\[\begin{align} JDE_0 &= 2451550.09766 + 29.530588861\cdot k\\ &+0.00015437\cdot T^2\\ &-1.50\cdot 10^{-7}\cdot T^3\\ &+7.3\cdot 10^{-10}\cdot T^4 \end{align}\tag{1}\]
wobei $k$ ein ganzzahliger Wert (Integer) für einen Neumond bedeutet. Erhöht man diese Zahl um jeweils $0.25$, erhält man
- für $+0.25$ → das erste Viertel,
- für $+0.50$ → den Vollmond,
- für $+0.75$ → das letzte Viertel.
Jeder andere Wert für $k$ liefert ein falsches Ergebnis!
Der Wert $k$ definiert in diesem Zusammenhang die jeweilige Phase des Mondes. Er sollte nicht mit dem Beleuchtungsgrad verwechselt werden!
Der Wert $k = 0$ entspricht dem Neumond vom 6. Januar 2000, 18:13 $UT$. Negative Werte von $k$ ergeben Mondphasen vor dem Jahr 2000. Ein ungefährer Wert für $k$ kann zunächst berechnet werden durch
$$k\approx (\textsf{Jahr} - 2000)\cdot 12.3685\tag{2}$$
wobei das „Jahr“ mit Dezimalstellen angegeben werden sollte, zum Beispiel 2024.25 für Ende März 2024 (da dies 0.25 Jahre seit Beginn des Jahres 2024 ist). Weiters erhält man $T$, die Zeit in julianischen Jahrhunderten seit der Epoche $J2000$, mit ausreichender Genauigkeit durch
$$T = \frac{k}{1236.85}\tag{3}$$
Auch $T$ ist daher vor der Epoche $J2000$ negativ. Es folgen nun die modifizierten Bahnelemente des Mondes.
Grundwinkel
Die folgenden Grundwinkel werden nun für die Störungsterme benötigt.
| Tabelle 2 | |
|---|---|
| Größe | Wert |
| Mittlere Anomalie des Mondes: | \(\begin{align} m =&\; 201\overset{\circ}{.}5643 + 385\overset{\circ}{.}81693528\cdot k\\ &+0\overset{\circ}{.}0107582\cdot T^2\\ &+1\overset{\circ}{.}238\cdot 10^{-5}\cdot T^3\\ &-5\overset{\circ}{.}8\cdot 10^{-8}\cdot T^4 \end{align}\) |
| Länge des Mondknotens: | \(\begin{align} \Omega =&\; 124\overset{\circ}{.}7746 - 1\overset{\circ}{.}56375588\cdot k\\ &+2\overset{\circ}{.}0672\cdot 10^{-3}\cdot T^2\\ &+2\overset{\circ}{.}15\cdot 10^{-6}\cdot T^3 \end{align}\) |
| Argument der Breite des Mondes: | \(\begin{align} F =&\; 160\overset{\circ}{.}7108 + 390\overset{\circ}{.}67050284\cdot k\\ &-1\overset{\circ}{.}6118\cdot 10^{-3}\cdot T^2\\ &-2\overset{\circ}{.}27\cdot 10^{-6}\cdot T^3\\ &+1\overset{\circ}{.}1\cdot 10^{-8}\cdot T^4 \end{align}\) |
| Mittlere Anomalie der Sonne: | \(\begin{align} M =&\; 2\overset{\circ}{.}5534 + 29\overset{\circ}{.}1053567\cdot k\\ &-1\overset{\circ}{.}4\cdot 10^{-6}\cdot T^2\\ &-1\overset{\circ}{.}1\cdot 10^{-7}\cdot T^3 \end{align}\) |
| Exzentrizitätsfaktor: | \(\begin{align} E =&\; 1 - 0.002516\cdot T \\ &- 0.0000074\cdot T^2 \end{align}\) |
Man beachte, dass einige Faktoren mit $E$ bzw. $E^2$ multipliziert werden müssen:
| Tabelle 3 | ||
|---|---|---|
| Für Neumond $\Delta JDE_N$ | Für Vollmond $\Delta JDE_V$ | $\cdot \sin(\dots)$ |
| $-0.40720 $ | $-0.40614 $ | $m $ |
| $+0.17241\cdot E $ | $+0.17302\cdot E $ | $M $ |
| $+0.01608 $ | $+0.01614 $ | $2\cdot m $ |
| $+0.01039 $ | $+0.01043 $ | $2\cdot F $ |
| $+0.00739\cdot E $ | $+0.00734\cdot E $ | $m - M $ |
| $-0.00514\cdot E $ | $-0.00515\cdot E $ | $m + M $ |
| $+0.00208\cdot E^2$ | $+0.00209\cdot E^2$ | $2\cdot M $ |
| $-0.00111 $ | $-0.00111 $ | $m - 2\cdot F $ |
| $-0.00057 $ | $-0.00057 $ | $m + 2\cdot F $ |
| $+0.00056\cdot E $ | $+0.00056\cdot E $ | $2\cdot m + M $ |
| $-0.00042 $ | $-0.00042 $ | $3\cdot m $ |
| $+0.00042\cdot E $ | $+0.00042\cdot E $ | $M + 2\cdot F $ |
| $+0.00038\cdot E $ | $+0.00038\cdot E $ | $M - 2\cdot F $ |
| $-0.00024 $ | $-0.00024 $ | $2\cdot m - M $ |
| $-0.00017 $ | $-0.00017 $ | $\Omega $ |
| $-0.00007 $ | $-0.00007 $ | $m + 2\cdot M $ |
| $+0.00004 $ | $+0.00004 $ | $2\cdot m - 2\cdot F$ |
| $+0.00004 $ | $+0.00004 $ | $3\cdot M $ |
| $+0.00003 $ | $+0.00003 $ | $m + M - 2\cdot F $ |
| $+0.00003 $ | $+0.00003 $ | $2\cdot m + 2\cdot F$ |
| $-0.00003 $ | $-0.00003 $ | $m + M + 2\cdot F $ |
| $+0.00003 $ | $+0.00003 $ | $m - M + 2\cdot F $ |
| $-0.00002 $ | $-0.00002 $ | $m - M - 2\cdot F $ |
| $-0.00002 $ | $-0.00002 $ | $3\cdot m + M $ |
| $+0.00002 $ | $+0.00002 $ | $4\cdot m $ |
| Tabelle 4 | |
|---|---|
| Für Erstes/Letzes Viertel $\Delta JDE_H$ | $\cdot \sin(\dots)$ |
| $-0.62801 $ | $ m $ |
| $+0.17172\cdot E $ | $ M $ |
| $-0.01183\cdot E $ | $ m + M $ |
| $+0.00862 $ | $ 2\cdot m $ |
| $+0.00804 $ | $ 2\cdot F $ |
| $+0.00454\cdot E $ | $ m - M $ |
| $+0.00204\cdot E^2 $ | $ 2\cdot M $ |
| $-0.00180 $ | $ m - 2\cdot F $ |
| $-0.00070 $ | $ m + 2\cdot F $ |
| $-0.00040 $ | $ 3\cdot m $ |
| $-0.00034\cdot E $ | $ 2\cdot m - M $ |
| $+0.00032\cdot E $ | $ M + 2\cdot F $ |
| $+0.00032\cdot E $ | $ M - 2\cdot F $ |
| $-0.00028\cdot E^2 $ | $ m + 2\cdot M $ |
| $+0.00027\cdot E $ | $ 2\cdot m + M $ |
| $-0.00017 $ | $ \Omega $ |
| $-0.00005 $ | $ m - M - 2\cdot F $ |
| $+0.00004 $ | $ 2\cdot m + 2\cdot F $ |
| $-0.00004 $ | $ m + M + 2\cdot F $ |
| $+0.00004 $ | $ m - 2\cdot M $ |
| $+0.00003 $ | $ m + M - 2\cdot F $ |
| $+0.00003 $ | $ 3\cdot M $ |
| $+0.00002 $ | $ 2\cdot m - 2\cdot F $ |
| $+0.00002 $ | $ m - M + 2\cdot F $ |
| $-0.00002 $ | $ 3\cdot m + M $ |
Nur für die Viertelphasen, also das 1.Viertel bzw. letzte Viertel, addiert man die Größe $W$ mit
\[\begin{align} W =& +0.00306 - 0.00038\cdot E\cdot \cos(m) \\ &+ 0.00026\cdot \cos(m) \\ &- 0.00002\cdot \cos(m - M) \\ &+ 0.00002\cdot \cos(m + M) \\ &+ 0.00002\cdot \cos(2\cdot F) \end{align}\tag{4}\]
wie folgt:
- für das 1. Viertel: $+W$
- für das letzte Viertel: $-W$
Natürlich stören auch die Planeten die Mondbahn erheblich, für alle Mondphasen wird Summe der folgenden Störterme $\Psi = 10^{-6}\cdot \chi$ hinzugefügt: \[\begin{align} \chi =& +325\cdot \sin(299.77 + 0.107408\cdot k - 0.009173\cdot T^2)\\ &+ 165\cdot \sin(251.88 + 0.016321\cdot k)\\ &+ 164\cdot \sin(251.83 + 26.651886\cdot k)\\ &+ 126\cdot \sin(349.42 + 36.412478\cdot k)\\ &+ 110\cdot \sin(84.66 + 18.206239\cdot k)\\ &+ 62 \cdot \sin(141.74 + 53.303771\cdot k)\\ &+ 60 \cdot \sin(207.14 + 2.453732\cdot k)\\ &+ 56 \cdot \sin(154.84 + 7.306860\cdot k)\\ &+ 47 \cdot \sin(34.52 + 27.261239\cdot k)\\ &+ 42 \cdot \sin(207.19 + 0.121824\cdot k)\\ &+ 40 \cdot \sin(291.34 + 1.844379\cdot k)\\ &+ 37 \cdot \sin(161.72 + 24.198154\cdot k)\\ &+ 35 \cdot \sin(239.56 + 25.513099\cdot k)\\ &+ 23 \cdot \sin(331.55 + 3.592518\cdot k) \end{align}\tag{5}\]
Die Argumente des Sinus sind hier in Grad gegeben, zur Programmierung müssen diese Werte meist in Radiant durch Multiplikation mit $\frac{\pi}{180}$ umgerechnet werden. Man erhält dann die Termine für die vier Phasen des Mondes:
 Für Neumond | $JDE_N = JDE_0 + \Delta JDE_N + \Psi$ |
 Für Vollmond | $JDE_V = JDE_0 + \Delta JDE_V + \Psi$ |
 Für erstes Viertel | $JDE_E = JDE_0 + \Delta JDE_H + \Psi + W$ |
 Für letztes Viertel | $JDE_L = JDE_0 + \Delta JDE_H + \Psi − W$ |
Der so erhaltene julianische Ephemeridentag $JDE_X$ kann in ein Kalenderdatum zurück gerechnet werden, man erhält den Zeitpunkt der Mondphase in dynamischer Zeit $TD$. Um den Zeitpunkt in Weltzeit $UT$ zu erhalten muss noch der Wert von $\Delta T$ abgezogen werden. Werte für $\Delta T$ für den entsprechenden Zeitraum können hier nachgelesen werden.
Beispiel 1
Man berechne den Zeitpunkt des Vollmonds vor dem Ostersonntag am 31. März 2024!
2024 ist ein Schaltjahr mit 366 Tagen, der Februar hat 29 Tage, daher ist der 31. März 2024 der
$31 + 29 + 31 = 91$. Tag des Jahres 2024.
Für die „dezimale Jahreszahl“ erhält man daher
$Y = 2024 + \frac{91}{366} = 2024.248634$
Damit ermittelt man mithilfe der Trunc-Funktion den $k$-Wert für Neumond zu
\(\begin{align} k &= \textrm{trunc}\big((2024.248634 - 2000)\cdot 12.3685\big)\\ &= \textrm{trunc}(299.919228)\\ &= 299 \end{align}\)
Dies ist der $k$-Wert für Neumond, für den Vollmund muss $+0.5$ addiert werden, daher
$k = 299.5$
Für dieses $k$ berechnet man nun sukzessive $T,\;JDE_{0},\; m,\; \Omega,\; F,\; M,\; E$ und erhält
\(\begin{align} T &= \frac{299.5}{1236.85}\\ &= 0.24214739054857098 \end{align}\)
$JDE_{0} = 2460394.509033$
\(\begin{align} m &= 115946\overset{\circ}{.}64551709534\\ &= 193\overset{\circ}{.}737047 \end{align}\)
\(\begin{align} \Omega &= -343\overset{\circ}{.}57016481845983\\ &= 16\overset{\circ}{.}429835 \end{align}\)
\(\begin{align} F &= 117166\overset{\circ}{.}52630603933\\ &= 166\overset{\circ}{.}526306 \end{align}\)
\(\begin{align} M &= 8719\overset{\circ}{.}60773156635\\ &= 79\overset{\circ}{.}607732 \end{align}\)
$ E = 0.99939032$
Für große Winkel wurde wie immer die Reduktions-Funktion angewendet.
Für die Störungen durch die Sonne erhält man mit den Tabellenwerten in der Spalte „Für Vollmond“ $\Delta JDE_{V}$ die Summe (in Tagen) zu
\(\begin{align} \Delta JDE_{V} =& -0.40614\cdot\sin(m)\\ &+0.17302\cdot E\cdot\sin(M)\\ &+0.01614\cdot\sin(2\cdot m)\\ &\quad\vdots\quad\quad\vdots\\ &=0\overset{d}{.}284119 \end{align}\)
Man beachte hier die Multiplikation einiger Terme mit $E$ bzw. $E^2$! Die Störungen durch die Planeten erhält man über die Summe der Planetenterme $\Psi = \chi\cdot 10^{-6}$ (in Tagen)
\(\begin{align} \chi =& +325\cdot\sin(299.77 + 0.107408\cdot k\\ &-0.009173\cdot T^2)\\ &+ 165\cdot \sin(251.88 + 0.016321\cdot k)\\ &+ 164\cdot \sin(251.83 + 26.651886\cdot k)\\ &\quad\vdots\quad\quad\vdots\\ &=-439.8528 \end{align}\)
$\Psi = \chi\cdot 10^{-6} = -0\overset{d}{.}00043985$
Schließlich korrigiert man den julianischen Ephemeridentag mit allen Störgrößen und erhält für den Zeitpunkt des Vollmonds
\(\begin{align} JDE_{V} =&\; JDE_{0} + \Delta JDE_{V} + \Psi\\ =&\; 2460394.509033\\ &+ 0\overset{d}{.}284119\\ &- 0\overset{d}{.}00043985\\ =&\; 2460394.7927123453 \end{align}\)
Eine Rückrechnung des julianischen Ephemeridentags in das Kalenderdatum liefert den $\textrm{25.3.2024, 07:01:30}\;TD$. Im Jahr 2024 beträgt der Wert von $\Delta T = 69^s = 1^{m}09^{s}$, für die Umrechnung in Weltzeit muss diese Größe noch von der dynamischen Zeit $TD$ abgezogen werden, also
$07^{h}01^{m}30^{s} - 1^{m}09^{s} = 07^{h}00^{m}21^{s}\;UT$.
Der Vollmond vor dem Ostersonntag 2024 findet also am $\textrm{25.3.2024, 07:00:21}\;UT$ statt. Die Weltzeit kann jetzt in die entsprechende Zeitzone umgerechnet werden, z.B.
$07^{h}00^{m}21^{s}\;UT + 1^{h} = 08^{h}00^{m}21^{s}\;MEZ$.
Beispiel 2
Man berechne den Zeitpunkt des letzen Viertels des Mondes im Oktober 2025!
2025 ist ein Gemeinjahr mit 365 Tagen, der Februar hat 28 Tage. Man nimmt für Mitte Oktober den 15. Oktober 2025, also den
\(\begin{align} &31 + 28 + 31 + 30 + 31 \\ &+ 30 + 31 + 31 + 30 + 15 \\ & = 288 \end{align}\)
288. Tag des Jahres 2025.
Dies kann auch bequemer mit der Formel von J. Meeus erledigt werden:
Mit $k = 2$ für ein Gemeinjahr und $M = 10$ (Oktober) sowie $D = 15$ erhält man
\(\begin{align} Z &= \textrm{floor}((275\cdot M)/9)\\ &- k\cdot (\textrm{floor}((M + 9)/12)) + D - 30\\ &=\textrm{floor}((275\cdot 10)/9)\\ &- 2\cdot (\textrm{floor}((10 + 9)/12)) + 15 - 30\\ &= 305 - 2 + 15 - 30\\ &= 288 \end{align}\)
Für die „dezimale Jahreszahl“ erhält man daher
$Y = 2025 + \frac{288}{365} = 2025.786301$
Damit ermittelt man mithilfe der Trunc-Funktion den $k$-Wert für Neumond zu
\(\begin{align} k &= \textrm{trunc}\big((2025.786301 - 2000)\cdot 12.3685\big)\\ &= \textrm{trunc}(318.937864)\\ &= 318 \end{align}\)
Dies ist der $k$-Wert für Neumond, für das letzte Viertel muss $+0.75$ addiert werden, daher ist
$k = 318.75$
Für dieses $k$ berechnet man nun sukzessive $T,\;JDE_{0},\; m,\; \Omega,\; F,\; M,\; E$ und erhält
\(\begin{align} T &= \frac{318.75}{1236.85}\\ &= 0.257711120993 \end{align}\)
$JDE_{0} = 2460962.972870$
\(\begin{align} m &= 123180\overset{\circ}{.}71313521772\\ &= 60\overset{\circ}{.}713135 \end{align}\)
\(\begin{align} \Omega &= -373\overset{\circ}{.}6724494200676\\ &= 346\overset{\circ}{.}327551 \end{align}\)
\(\begin{align} F &= 124686\overset{\circ}{.}93347316346\\ &= 126\overset{\circ}{.}933473 \end{align}\)
\(\begin{align} M &= 9279\overset{\circ}{.}885848030137\\ &= 279\overset{\circ}{.}885848 \end{align}\)
$ E = 0.99935110734842$
Für große Winkel wurde wie immer die Reduktions-Funktion angewendet.
Für die Störungen durch die Sonne erhält man mit den Tabellenwerten in der Spalte „Für Erstes/Letztes Viertel $JDE_{H}$“ die Summe (in Tagen) zu
\(\begin{align} \Delta JDE_{H} =& -0.62801\cdot\sin(m)\\ &+0.17172\cdot E\cdot\sin(M)\\ &-0.01183\cdot E\cdot\sin(m + M)\\ &\quad\vdots\quad\quad\vdots\\ &=-0\overset{d}{.}710069 \end{align}\)
Man beachte hier die Multiplikation einiger Terme mit $E$ bzw. $E^2$!
Die Störungen durch die Planeten erhält man über die Summe der Planetenterme $\Psi = \chi\cdot 10^{-6}$ (in Tagen)
\(\begin{align} \chi =& +325\cdot\sin(299.77 + 0.107408\cdot k\\ &- 0.009173\cdot T^2)\\ &+ 165\cdot \sin(251.88 + 0.016321\cdot k)\\ &+ 164\cdot \sin(251.83 + 26.651886\cdot k)\\ &\quad\vdots\quad\quad\vdots\\ &=-18.6121 \end{align}\)
$\Psi = \chi\cdot 10^{-6} = -0\overset{d}{.}00001861$
Für eine Viertel-Phase muss noch der Wert von $W$ berechnet werden, daher
\(\begin{align} W &= 0.00306 - 0.00038\cdot E\cdot \cos m \\ &=+0.00026\cdot\cos m - \dots\\ &\quad\vdots\\ &=0\overset{d}{.}0031508 \end{align}\)
Schließlich korrigiert man den julianischen Ephemeridentag mit allen Störgrößen und erhält für den Zeitpunkt des letzten Viertels
\(\begin{align} JDE_{L} =&\; JDE_{0} + \Delta JDE_{H} + \Psi - W\\ =&\; 2460962.972870\\ &- 0\overset{d}{.}710069\\ &- 0\overset{d}{.}00001861\\ &- 0.0031508\\ =&\; 2460962.259630929 \end{align}\)
Zu beachten ist, dass für das letzte Viertel der Wert von $W$ subtrahiert werden muss!
Eine Rückrechnung des julianischen Ephemeridentags in das Kalenderdatum liefert den $\textrm{13.10.2025, 18:13:52}\;TD$. Im Jahr 2025 beträgt der Wert von $\Delta T = 69^s = 1^{m}09^{s}$, für die Umrechnung in Weltzeit muss diese Größe noch von der dynamischen Zeit $TD$ abgezogen werden, also
$18^{h}13^{m}52^{s} - 1^{m}09^{s} = 18^{h}12^{m}43^{s}\;UT$.
Das letzte Viertel des Mondes im Oktober 2025 findet also am $\textrm{13.10.2025, 18:12:43}\;UT$ statt. Die Weltzeit kann jetzt in die entsprechende Zeitzone umgerechnet werden, z.B. in mitteleuropäische Sommerzeit:
$18^{h}12^{m}43^{s}\;UT + 2^{h} = 20^{h}12^{m}43^{s}\;MESZ$.
