Dieses Kapitel ist ein Novum im Internet. Es ist der erste Abschnitt über die Berechnung der hellsten Planetenmonde. Herangezogen werden die Ephemeriden von Hempe & Molt (Jupiter I), J. Meeus (Jupiter II) für die Jupitermonde Io, Europa, Ganymed und Kallisto und Dan Bruton (Saturn I) und K.H. Bücke (Saturn II) für die Saturnmonde Tethys, Dione, Rhea, Titan und Japetus. Alle Monde haben synodische Umlaufszeiten. Nur Saturn II verwendet siderische Umlaufszeiten.

Diese Theorie setzt voraus, dass die Mondbahnen kreisförmig sind und mit dem Jupiteräquator zusammenfallen. Die Epoche ist 1900 Januar 0.5 und das Äquinoktium ist $J1900.0$.

$$\color{#cc0000}{d = JDE − 2415020.0}\tag{1}$$

Es gilt wieder für die mittlere tägliche Bewegung die synodische Umlaufszeit. Die Längen l$_k$ der Jupitermonde Io (1), Europa (2), Ganymed (3) und Kallisto (4) sind dann:

$$\color{#cc0000}{d = JDE − 2451545.0}\tag{2}$$

$$G = 331\overset{\circ}{.}18 + 50\overset{\circ}{.}310482 \cdot (d - \tau)\tag{3}$$ $$H = 87\overset{\circ}{.}45 + 21\overset{\circ}{.}569231 \cdot (d - \tau)\tag{4}$$

Zu $l_k$ werden dann die Korrekturen G und H hinzuaddiert. Die Radiusvektoren $r_k$ und die korrigierten Längen $l_k'$ der einzelnen Satelliten sind:

Es werden weiter unten dann $l_k'$ statt $l_k$ eingesetzt.

Es wird ein Zusammenfallen aller kreisförmigen Mondbahnen (bis auf Japetus) mit dem Saturnäquator postuliert. Die Epoche ist 1980 Januar 0.5 und das Äquinoktium ist $J1980.0$.

$$\color{#cc0000}{d = JDE − 2444238.5}\tag{5}$$

Spezialfall Japetus:

Die Neigung $\gamma$ der Japetusbahn zum Saturnäquator (Ringebene) ist gegeben mit:

$$\begin{align} \sin(\gamma) = &+\cos(\delta) \cdot \Big[\cos(83\overset{\circ}{.}51) \cdot \sin(40\overset{\circ}{.}27- \alpha) \cdot\\ &\cdot\sin(75\overset{\circ}{.}6)\sin(\alpha - 320\overset{\circ}{.}1) \cdot \cos(75\overset{\circ}{.}6) \cdot \sin(83\overset{\circ}{.}51)\Big]\\ &+\sin(\delta) \cdot \cos(83\overset{\circ}{.}51) \cdot \cos(75\overset{\circ}{.}6) \cdot \sin(320\overset{\circ}{.}1 - 40\overset{\circ}{.}27) \end{align}\tag{6}$$

$$\begin{align} \sin(V) =& - \cos(75\overset{\circ}{.}6)\cdot \cos(320\overset{\circ}{.}1- \alpha)\cdot \cos(\delta)\\ &- \sin(75\overset{\circ}{.}6)\cdot \sin(\delta) \end{align}\tag{7}$$

$$\tan(U) = \dfrac{\sin(\delta_0)\cdot \cos(\alpha_0 - \alpha) - \cos(\delta_0)\cdot \tan(\delta)} {\sin(\alpha_0 - \alpha)}\tag{8}$$

mit den planetozentrisch planetoäquatorialen Koordinaten der Japetusbahn:

$$\alpha_0 = 318\overset{\circ}{.}16 − 3\overset{\circ}{.}949\cdot T\tag{9}$$ $$\delta_0 = 75\overset{\circ}{.}03 − 1\overset{\circ}{.}143\cdot T\tag{10}$$ und $$T = \frac{JDE - 2451545}{36525}\tag{11}$$

Bei $U$ ist auf die quadrantentreue Wiedergabe zu achten.

Es gilt allein in diesem Abschnitt für die mittlere tägliche Bewegung die siderische Umlaufszeit. Zuerst braucht man die mittleren Anomalien und die Radien von Titan und Japetus.

$$\color{#cc0000}{d = JD - 2451545.0}\tag{12}$$

$$\begin{align} dl_1 &= 2\overset{\circ}{.}065 \cdot \sin(0\overset{\circ}{.}013926 (d - 2857.2))\\ M_4 &= 163\overset{\circ}{.}7 + 22\overset{\circ}{.}575585 \cdot (d - \tau)\\ M_5 &= 207\overset{\circ}{.}7 + 4\overset{\circ}{.}537626 \cdot (d - \tau)\\ \nu_4 - M_4 &= 3\overset{\circ}{.}33 \cdot \sin(M_4) + 0\overset{\circ}{.}06 \cdot \sin(2 \ M_4)\\ \nu_5 - M_5 &= 3\overset{\circ}{.}24 \cdot \sin(M_5) + 0\overset{\circ}{.}06 \cdot \sin(2 \ M_5)\\ \Delta r_4 &= 20.38 - 0.593 \cdot \cos(M_4)\\ \Delta r_5 &= 59.39 - 1.679 \cdot \cos(M_5) - 0.024 \cdot \cos(2 \ M_5) \end{align}\tag{13}$$

$dl_1$ ist die Bahnstörung von Tethys. $\nu_k - M_k$ sind die Mittelpunktsgleichungen von Titan und Japetus (nicht zu verwechseln mit den Mittelpunktsgleichungen von Saturn C). $M_4$ und $M_5$ sind die mittleren Anomalien von Titan und Japetus. $\Delta r_k$ sind die korrespondierenden Korrekturen des Abstands vom Planeten. Die planetozentrische Länge K der Erde wird für die Saturnsatelliten gebraucht und muss als nächstes berechnet werden. Es gilt

$$\tan(K) = \left(\frac{\sin(\delta_0) \cdot \cos(\alpha_0 - \alpha) - \cos(\delta_0) \cdot \tan(\delta)}{\sin(\alpha_0 - \alpha)}\right)\tag{14}$$

mit $\alpha_0$, $\delta_0$ für Saturn, Tethys, Dione und Rhea. $\alpha$, $\delta$ sind die geozentrisch - äquatorialen Koordinaten Saturns. Für Titan und Japetus benötigt man separate Werte:

$$T = \frac{d}{36525}\tag{15}$$

mit $G$ für Titan: $$G = 29\overset{\circ}{.}80 - 52\overset{\circ}{.}1 \cdot T\tag{16}$$

Setzt man in die Gleichung für K ein, so bekommt man $K_4$ bzw. $K_5$. Die Radiusvektoren $r_k$ und die Längen $l_k$ der Saturnmonde Tethys (1), Dione (2), Rhea (3), Titan (4) und Japetus (5) sind dann mit der planetozentrischen Länge K, $K_4$ und $K_5$:

Die Neigungen $D_4$ und $D_5$ der Titan- und Japetusbahnen zum Beobachter auf der Erde sind:

$$\begin{align} \sin(D_4) &= - \cos(83\overset{\circ}{.}69) \cdot \cos(37\overset{\circ}{.}77 - \alpha) \cdot \cos(\delta) - \sin(83\overset{\circ}{.}69) \cdot \sin(\delta)\\ \sin(D_5) &= - \cos(75\overset{\circ}{.}49) \cdot \cos(318\overset{\circ}{.}56 - \alpha) \cdot \cos(\delta) - \sin(75\overset{\circ}{.}49) \cdot \sin(\delta) \end{align}\tag{17}$$

$$\begin{align} \sin(\gamma_4) =& + \cos(\delta) \cdot \big[\cos(83\overset{\circ}{.}52 \cdot \sin(40\overset{\circ}{.}66 - \alpha) \cdot \sin(83\overset{\circ}{.}69^{\circ}) \\ &+ \sin(\alpha - 37\overset{\circ}{.}77) \cdot \cos(83\overset{\circ}{.}69) \cdot \sin(83\overset{\circ}{.}52)\big] \\ &+ \sin(\delta) \cdot \cos(83\overset{\circ}{.}52) \cdot \cos(75\overset{\circ}{.}49) \cdot \sin(37\overset{\circ}{.}77 - 40\overset{\circ}{.}66)\\ \sin(\gamma_5) =& + \cos(\delta) \cdot \big[\cos(83\overset{\circ}{.}52) \cdot \sin(40\overset{\circ}{.}66 - \alpha) \cdot \sin(75\overset{\circ}{.}49) \\ &+ \sin(\alpha - 318\overset{\circ}{.}56) \cdot \cos(75\overset{\circ}{.}49) \cdot \sin(83\overset{\circ}{.}52)\big] \\ & + \sin(\delta) \cdot \cos(83\overset{\circ}{.}52) \cdot \cos(75\overset{\circ}{.}49) \cdot \sin(318\overset{\circ}{.}56 - 40\overset{\circ}{.}66) \end{align}\tag{18}$$

Das Postulat ist die Kreisförmigkeit der Mondbahnen und das die Monde in der Ringebene des Uranus liegen. Die Epoche ist 2000 Januar 1.5 und das Äquinoktium ist $J2000.0$.

$$\color{#cc0000}{d = JDE − 2451545.0}\tag{19}$$

Die Bahn von Triton wird als kreisförmig angenommen. Die Epoche ist 1950 Januar 1.0 und das Äquinoktium ist $J1950.0$.

$$\color{#cc0000}{d = JD − 2433282.5}\tag{20}$$

Bahnneigung Tritons (retrograde Bewegung): $\gamma = 157\overset{\circ}{.}6852321$

Abb. 1: Koordinaten der Monde

Man berechne für alle Planetenmonde

$$\begin{align} X_k &= + r_k \cdot \sin(l_k)\\ &= s \cdot \cos(p - 90^{\circ}) \\ Y_k &= - r_k \cdot \cos(l_k) \cdot \sin(D_E)\\ &= s \cdot \sin(p - 90^{\circ}) \end{align}\tag{21}$$

und zusätzlich für Titan (Saturn II), Japetus und Triton:

$$\begin{align} X_j &= X_k \cdot \cos(\gamma) + Y_k \cdot \sin(\gamma)\\ &= s \cdot \cos(p - 90^{\circ}) \\ Y_j &= Y_k \cdot \cos(\gamma) - X_k \cdot \sin(\gamma)\\ &= s \cdot \sin(p - 90^{\circ}) \end{align}\tag{22}$$

Den Abstand $s$ und den Positionswinkel $p - 90^{\circ}$ erhält man im Abschnitt über die sphärische Darstellung.

$D_E$ = planetozentrische Deklination der Erde über der Äquatorebene des Planeten.

Die absolute Helligkeit der natürlichen Satelliten aus $1\,AE$ Entfernung sind in der nachstehenden Tabelle angegeben.

mit $$\color{#ff00ff}{H} = 0\overset{m}{.}571 - 0\overset{m}{.}429 \cdot \cos(V) \cdot \cos(l_5 - U)\tag{23}$$

Die scheinbare Helligkeit der Planetenmonde berechnet sich mit der Formel aus dem Abschnitt über die Helligkeit der Planeten. Die Gleichungen stammen aus dem Explanatory Supplement.