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Zeiteingabe
Die Einteilung in Stunden $h$ wird zwischen $0^h$ und $23^h$ bestimmt, die Minute $m$ erfolgt zwischen $0^m$ und $59^m$, die Sekunde $s$ ist wiederum zwischen $0^s$ und $59^s$. Hat man die Sommerzeit vorliegen oder man befindet sich an einem anderen geographischem Ort, so ist die Zeit in $MESZ$ (mitteleuropäische Sommerzeit) statt $MEZ$ (mitteleuropäische Zeit) zu wählen, bzw. eine andere Zonenzeit zu bestimmen.
Geographische Koordinaten
Man hat die geographische Position $\lambda_0$ (geographische Länge) und $\beta_0$ (geographische Breite). Daraus wird die Zeitzone via Zonenmeridian $\lambda_1$ und damit die Zonenzeit wie $MEZ$, $MESZ$ oder $UT$ bestimmt. \[\begin{aligned} \lambda_1 &= + 15^h\lfloor\frac{\lambda_0 + 7\overset{\circ}{.}5}{15^h}\rfloor \quad\textrm{falls}\quad \lambda_0 > - 7\overset{\circ}{.}5 \\ \lambda_1 &= - 15^h\lfloor -\frac{\lambda_0 - 7\overset{\circ}{.}5}{15^h}\rfloor \quad\textrm{falls}\quad \lambda_0 \leq - 7\overset{\circ}{.}5 \end{aligned}\tag{1}\]
Dabei ist $\lfloor\;\rfloor$ die Floor Funktion.
Zeitzone
Aus dem Zonenmeridian ist wiederum die mittlere Ortszeit $MOZ$ (= Zeit am Beobachtungsort) errechenbar: $$MOZ = Z + \frac{\lambda_1 - \lambda_0}{15^h} = UT - \frac{\lambda_0}{15^h}\tag{2}$$
$Z$ ist die Zonenzeit wie $MEZ$ und $UT$.
Abkürzungen von Zeitzonen
| Tabelle 1 | ||
|---|---|---|
| Abkürzung | Bedeutung | $UT\pm h$ |
| MOZ | Mittlere Orzszeit (berechnet aus der geografischen Länge des Beobachters) | siehe hier |
| ACTD | Australische Central Daylight Time | $+10:30$ |
| ACST | Australische Central Standard Time | $+09:30$ |
| ADT | Atlantic Daylight Time (Nordamerika) | $-03:00$ |
| AEDT | Australische Eastern Daylight Time | $+11:00$ |
| AEST | Australische Eastern Standard Time | $+10:00$ |
| AKDT | Alaska Daylight Time | $-08:00$ |
| AKST | Alaska Standard Time | $-09:00$ |
| AST | Atlantic Standard Time (Nordamerika) | $-04:00$ |
| AWDT | Australische Western Daylight Time | $+09:00$ |
| AWST | Australische Western Standard Time | $+08:00$ |
| BST | British Summer Time | $+01:00$ |
| CDT | Central Daylight Time (Nordamerika) | $-05:00$ |
| CEST | Central European Summer Time (Mitteleuropäische Sommerzeit) | $+02:00$ |
| CET | Central European Time (Mitteleuropäische Zeit) | $+01:00$ |
| CST | Central Standard Time (Nordamerika) | $-06:00$ |
| CSTA | Central Standard Time (Australien) | $+09:30$ |
| CXT | Christmas Island Time (Australien) | $+07:00$ |
| EDT | Eastern Daylight Time (Nordamerika) | $-04:00$ |
| EEDT | Eastern European Daylight Time | $+03:00$ |
| ESTA | Eastern Standard Time (Australien) | $+10:00$ |
| EST | Eastern Standard Time (Nordamerika) | $-05:00$ |
| GMT | Greenwich Mean Time (GMT) (London) | $+12:00$ |
| HADT | Hawaii-Aleutian Daylight Time | $-09:00$ |
| HAST | Hawaii-Aleutian Standard Time | $-10:00$ |
| IST | Irish Summer Time | $+01:00$ |
| MEZ | Mitteleuropäische Zeit | $+01:00$ |
| MESZ | Mitteleuropäische Sommerzeit | $+02:00$ |
| MDT | Mountain Daylight Time (Nordamerika) | $-06:00$ |
| MST | Mountain Standard Time (Nordamerika) | $-07:00$ |
| NDT | Newfoundland Daylight Time (Nordamerika) | $-02:30$ |
| NST | Newfoundland Standard Time (Nordamerika) | $-03:30$ |
| NFT | Norfolk (Island) Time (Australien) | $+11:30$ |
| PDT | Pacific Daylight Time (Nordamerika) | $-07:00$ |
| PST | Pacific Standard Time (Nordamerika) | $-08:00$ |
| WEDT | Western European Daylight Time | $+01:00$ |
| WEST | Western European Summer Time | $+01:00$ |
| WET | Western European Time | $+00:00$ |
| WST | Western Standard Time (Australien) | $+08:00$ |
| UTC | Koordinierte Weltzeit | $UT$ + Schaltsekunde |
Dynamische Zeit
Aufgrund des Umfangs wird auf das Thema Dynamische Zeit $\Delta T$ in einem eigenen Artikel eingegangen.
Sternzeit
Die Sternzeit ist der Stundenwinkel des Frühlingspunktes 
. Die Sternzeit beträgt $0^h$, wenn sich der Frühlingspunkt im Mittagsmeridian befindet. Die mittlere Greenwich-Sternzeit („Greenwich Mean Siderial Time“) in Stunden beträgt:
\[\begin{align}
GMST =&\; 6\overset{h}{.}6563064033\\
&+ 0\overset{h}{.}06570982442\cdot (JD(0^h\,UT) - 2445700.5)\\
&+ 1\overset{h}{.}00273790931\cdot UT
\end{align}\tag{3}\]
$JD(0^h)$ = Julianischer Tag um $\textrm{00:00}\;UT$
$1\overset{h}{.}00273790931$ = Korrekturfaktor für beliebige Tageszeit in $UT$
Beispiel 1
Man berechne die mittlere Sternzeit in Greenwich für den 15.4.2023 um 22:15 mitteleuropäische Sommerzeit ($MESZ$)
Die Differenz der $MESZ$ zur Weltzeit $UT$ beträgt $2^h$, also ist der Zeitpunkt
$ \textrm{22:15} - 2^h = \textrm{20:15}\;UT$
Der julianische Tag für den 15.4.2023 um 20:15 $UT$ wurde bereits in diesem Beispiel berechnet zu $JD = 2460050.34375$. Der Tag begann aber um 00:00 Uhr, das ist dann $JD = 2460049.5$ (Daten für Mitternacht haben in $JD$ immer die Endung $.5$). Mit der Uhrzeit
$20^h15^m = 20 + \frac{15}{60} = 20\overset{h}{.}25\,$ folgt daher
| \( \begin{align} GMST =&\; 6\overset{h}{.}6563064033\\ &+ 0\overset{h}{.}06570982442\cdot (2460049.5 - 2445700.5)\\ &+ 1\overset{h}{.}00273790931\cdot 20\overset{h}{.}25\\ &= 969\overset{h}{.}83201966941 \end{align} \) |
Durch Abziehen eines geeigneten Vielfachen von $24^h$ erhält man
$\textrm{trunc}\left(\frac{969.83201966941}{24} \right) = 40$
$969\overset{h}{.}83201966941 - 40\cdot 24^h = 9\overset{h}{.}8320197$
Die Umrechnung in Stunden/Minuten/Sekunden liefert unter Zuhilfenahme der trunc- und frac-Funktionen
$\textrm{trunc}(9\overset{h}{.}8320197) = 9^h$
$\textrm{frac}(9\overset{h}{.}8320197) = 0\overset{h}{.}8320197$
$0\overset{h}{.}8320197\cdot 60\tfrac{m}{h} = 49\overset{m}{.}921182$
$\textrm{trunc}(49\overset{m}{.}921182) = 49^m$
$\textrm{frac}(49\overset{m}{.}921182) = 0\overset{m}{.}921182$
$ 0\overset{m}{.}921182\cdot 60\tfrac{s}{m} = 55\overset{s}{.}27092$
$GMST = 9^h49^m55\overset{s}{.}3$
Der Frühlingspunkt hat also in Greenwich für den gegebenen Zeitpunkt den Ortsmeridian vor $9^h49^m55\overset{s}{.}3$ durchlaufen.
Ortssternzeit
Die lokale Sternzeit („Local Mean Siderial Time“) berechnet sich mit der geographischen Länge $\lambda_0$ des Beobachters am Ort:
$$LMST = GMST - \frac{\lambda_0}{15\tfrac{\circ}{h}}\tag{4}$$
Zu beachten ist hier, dass östliche Längengrade negativ und westliche Längengrade positiv gezählt werden! Leider wird diese Festlegung in der einschlägigen Literatur nicht einheitlich verwendet.
Sternzeit in Grad
Die mittlere Sternzeit $\theta_0$ für Greenwich (London) kann auch direkt in Grad ermittelt werden: \[\begin{align} GMST = \theta_0 &= 280\overset{\circ}{.}46061837\\ & + 360\overset{\circ}{.}98564736629\cdot\left( JD - 2451545.0 \right)\\ &+ 0\overset{\circ}{.}000387933\cdot T^2\\ &- \frac{T^3}{38710000} \end{align}\tag{5}\label{glg3_5}\]
$JD$ = Julianischer Tag für die gegebene Uhrzeit in $UT$, siehe hier
$T$ = Julianische Jahrhunderte bezüglich Epoche $J2000$, $T=\frac{(JD - 2451545.0)}{36525}$
Diese Formel gilt für beliebige Tageszeiten in Weltzeit ($UT$), es muss nur der Julianische Tag $JD$ entsprechend der gegebenen Uhrzeit berechnet werden. Die Umrechnung der Sternzeit in Stunden erfolgt durch Division mit 15:
$$\theta_0^{(h)} = \frac{\theta_0}{15\tfrac{^\circ}{h}}\tag{6}$$
Beispiel 2
Man berechne die mittlere lokale Sternzeit für München ($\lambda = 11\overset{\circ}{.}6$ Ost) für den 15.4.2023 um 22:15 mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ)
Wie bereits in Beispiel 1 gezeigt erhält man für $\textrm{22:15} - 2^h = \textrm{20:15}\;UT$ den julianischen Tag mit $JD = 2460050.34375$. Hier nehmen wir die alternative Berechnung der mittleren Sternzeit in Grad. Zuerst berechnet man
\(\begin{align} T &= \frac{JD - 2451545.0}{36525}\\ &= \frac{2460050.34375 - 2451545.0}{36525}\\ &= 0.23286362080767 \end{align}\)
und erhält dann ohne den Umweg über $UT(0^h)$ direkt die Sternzeit in Grad mit
| \(\begin{align} GMST = \theta_0 &= 280\overset{\circ}{.}46061837\\ & + 360\overset{\circ}{.}98564736629\cdot\left(2460050.34375 - 2451545.0 \right)\\ &+ 0\overset{\circ}{.}000387933\cdot (0.23286362080767)^2\\ &- \frac{(0.23286362080767)^3}{38710000}\\ &= 3070587\overset{\circ}{.}480306 \end{align}\) |
Die Reduktion auf das Intervall [0°-360°] erhält man mit der Reduktions-Funktion zu
$\textrm{trunc}\left(\frac{3070587.480306}{360} \right) = 8529$
$3070587\overset{\circ}{.}480306 - 8529\cdot 360^{\circ} =$
$= 147\overset{\circ}{.}480306$
Die Umrechnung in Stunden erfolgt mit Division durch $15\frac{\circ}{h}$ zu
$GMST = \frac{147\overset{\circ}{.}480306}{15\frac{\circ}{h}} = 9\overset{h}{.}8320204$
Dies ist nun die mittlere Sternzeit in Greenwich für den gegebenen Zeitpunkt.
Die Ortssternzeit in München mit einer geografischen Länge von $11\overset{\circ}{.}6$ Ost erhält man durch
\(\begin{align} LMST &= GMST - \frac{\lambda_0}{15\frac{\circ}{h}}\\ &= 9\overset{h}{.}8320204 - \frac{-11\overset{\circ}{.}6}{15\frac{\circ}{h}}\\ &= 10\overset{h}{.}60535373 \end{align}\)
Wie man sieht werden östliche Längengrade negativ gezählt und westliche Längengrade positiv.
Die weitere Umrechnung in Stunden/Minuten/Sekunden liefert unter Zuhilfenahme der trunc- und frac-Funktionen
$\textrm{trunc}(10\overset{h}{.}60535373) = 10^h$
$\textrm{frac}(10\overset{h}{.}60535373) = 0\overset{h}{.}60535373$
$0\overset{h}{.}60535373\cdot 60\tfrac{m}{h} = 36\overset{m}{.}3212238$
$\textrm{trunc}(36\overset{m}{.}3212238) = 36^m$
$\textrm{frac}(36\overset{m}{.}3212238) = 0\overset{m}{.}32122384$
$0\overset{m}{.}3212238\cdot 60\tfrac{s}{m} = 19\overset{s}{.}273428$
$LMST = 10^h36^m19\overset{s}{.}3$
Der Frühlingspunkt hat also in München für den gegebenen Zeitpunkt den Ortsmeridian vor $10^h36^m19\overset{s}{.}3$ durchlaufen. Mit anderen Worten stand der Frühlingspunkt vor $10^h36^m19\overset{s}{.}3$ im Ortsmeridian von München, also um $\textrm{22:15} - 10^h36^m19\overset{s}{.}3 = \textrm{11:38:40.7}$ Uhr.
Wahre Sternzeit
Die wahre Sternzeit oder den Greenwich-Stundenwinkel des wahren Frühlings-Äquinoktiums erhält man durch Addition der Korrektur $\Delta\lambda\cdot\cos \varepsilon$, wobei $\Delta\lambda$ die Nutation in Länge und $\varepsilon$ die wahre Schiefe der Ekliptik ist. Diese Nutationskorrektur wird auch Äquinoktialgleichung genannt. Wenn $\Delta\lambda$ in Bogensekunden ausgedrückt wird, ist die Korrektur der mittleren Sternzeit in Sekunden gegeben durch
$$\frac{\Delta\lambda\cdot\cos \varepsilon}{15}\tag{7}$$
Die wahre Ekliptikschiefe $\varepsilon$ ist die um die Nutation in Schiefe $\Delta\varepsilon$ korrigierte mittlere Ekliptikschiefe $\varepsilon_0$, also
$$\varepsilon = \varepsilon_0 + \frac{\Delta\varepsilon}{3600\tfrac{''}{\circ}}\tag{8}$$
Zur Berechnung der Nutationswerte in Länge und Schiefe siehe hier.
Für die praktische Berechnung hat dies in den meisten Fällen wenig Bedeutung, da die absolute Differenz von mittlerer und wahrer Sternzeit den Wert von $\approx 1\overset{s}{.}2$ nicht übersteigt.
Abb. 1: Differenz wahre zu mittlerer Sternzeit im Zeitraum 1900-2100
Abb. 2: Differenz wahre zu mittlerer Sternzeit im Zeitraum 2020-2030