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Konstellationen der Planeten

Konstellationen der Planeten

Perihel und Aphel

Die Perihelzeit ist der Zeitpunkt, an der der Planet im sonnennächsten Punkt steht. Die folgenden Gleichungen stammen aus J. Meeus' Astronomical Algorithms. Der Gleichungen für den Hilfswert $k$ in der Tabelle 1 haben die folgende Struktur:

$$k = \frac{U_t}{360^{\circ}} \cdot n_m \cdot (J - J_p)\tag{1}$$

mit $J_p$ als Perihelzeit, J in dezimalen Jahren und $n_m$ als die mittlere tägliche Bewegung des Planeten um die Sonne, sowie das tropische Jahr $U_t$. $k$ ist dann eine Ganzzahl (Integer) für das Perihel, sowie eine Ganzzahl vermehrt um $0.5$ für das Aphel. Andere $k$-Werte liefern nur sinnlose Ergebnisse! Es folgt die genäherte Berechnung des Hilfswerts $k$:

Tabelle 1
Planet	$k\approx$	Planet	$k\approx$
Merkur:	$4\overset{\circ}{.}1519255426 \cdot (J - 2000.12)$	Jupiter:	$0\overset{\circ}{.}0842951458 \cdot (J - 2011.20)$
Venus:	$1\overset{\circ}{.}6254599858 \cdot (J - 2000.53)$	Saturn:	$0\overset{\circ}{.}0339312984 \cdot (J - 2003.52)$
Erde:	$0\overset{\circ}{.}9999522363 \cdot (J - 2000.01)$	Uranus:	$0\overset{\circ}{.}0118991255 \cdot (J - 2051.10)$
Mars:	$0\overset{\circ}{.}5316512813 \cdot (J - 2001.78)$	Neptun:	$0\overset{\circ}{.}0060681206 \cdot (J - 2047.50)$

Mit dem Erhalt von $k$ kann man nun den Zeitpunkt des Periheldurchgangs (Perihelzeit) bzw. des Apheldurchgangs (Aphelzeit) bestimmen:

Tabelle 2
Planet	$JDE=$
Merkur:	$2451590\overset{d}{.}257 + 87.96934963 \cdot k$
Venus:	$2451738\overset{d}{.}233 + 224.7008188 \cdot k - 3.27 \cdot 10^{-8} \cdot k^2$
Erde:	$2451547\overset{d}{.}507 + 365.2596358 \cdot k + 1.56 \cdot 10^{-8} \cdot k^2$
Mars:	$2452195\overset{d}{.}026 + 686.9957857 \cdot k - 1.187 \cdot 10^{-7} \cdot k^2$
Jupiter:	$2455636\overset{d}{.}936 + 4332.8970652 \cdot k + 1.367 \cdot 10^{-4} \cdot k^2$
Saturn:	$2452830\overset{d}{.}12 + 10764.21676 \cdot k + 8.27 \cdot 10^{-4} \cdot k^2$
Uranus:	$2470213\overset{d}{.}5 + 30694.8767 \cdot k - 0.00541 \cdot k^2$
Neptun:	$2468895\overset{d}{.}1 + 60190.33 \cdot k + 0.03429 \cdot k^2$

Das $JDE(k)$ kann hier in das entsprechende Kalenderdatum umgerechnet werden, das Resultat ist dann in dynamischer Zeit.

Die dargestellten Terme geben nur Näherungen wieder. Die Abweichungen können bis zu einem halben Jahr und mehr betragen. Es empfiehlt sich daher, die kleinsten und größten Radien der Planeten zur Sonne iterativ zur entsprechenden Zeit zu berechnen. Nur bei der Erde können die erhaltenen Werte noch zusätzlich mit der folgenden Tabelle 3 korrigiert werden. Die so erhaltenen Korrekturen werden zur Perihelzeit $JDE$ der Erde hinzuaddiert.

Tabelle 3
Perihel	Aphel	Multiplikator
$+1\overset{d}{.}278$	$-1\overset{d}{.}352$	$\sin(328\overset{\circ}{.}41 + 132\overset{\circ}{.}788585 \cdot k)$
$-0\overset{d}{.}055$	$+0\overset{d}{.}061$	$\sin(316\overset{\circ}{.}13 + 584\overset{\circ}{.}903153 \cdot k)$
$-0\overset{d}{.}091$	$+0\overset{d}{.}062$	$\sin(346\overset{\circ}{.}20 + 450\overset{\circ}{.}380738 \cdot k)$
$-0\overset{d}{.}056$	$+0\overset{d}{.}029$	$\sin(136\overset{\circ}{.}95 + 659\overset{\circ}{.}306737 \cdot k)$
$-0\overset{d}{.}045$	$+0\overset{d}{.}031$	$\sin(249\overset{\circ}{.}52 + 329\overset{\circ}{.}653368 \cdot k)$

Beispiel 1

Man berechne den Zeitpunkt des Periheldurchgangs von Mars für das Jahr 2024!

Aus der Tabelle 1 erhält man mit der dezimalen Jahreszahl $J = 2024.0$ den auf die nächste Ganzzahl gerundeten Wert von $k$ mit

$\begin{align} k &= \textrm{round}(0.5316512813\cdot(J − 2001.78))\\ &= \textrm{round}(0.5316512813\cdot(2024.0 − 2001.78))\\ &= 12 \end{align}$

Damit erhält man den julianischen Ephemeridentag des Periheldurchgangs für Mars aus Tabelle 2 mit

$\begin{align} JDE &= 2452195.026 + 686.9957857\cdot k - 1.187\cdot 10^{-7}\cdot k^2\\ &= 2452195.026 + 686.9957857\cdot 12 - 1.187\cdot 10^{-7}\cdot 12^2\\ &= 2460438.975411307 \end{align}$

Der erhaltene julianische Tag ist in der Zeitskala der dynamischen Zeit gegeben. Die Umwandlung des julianischen Tages in ein Kalenderdatum ergibt dann den $8.5.2024, \textrm{11:25}\;TD$. Auf eine Rückrechnung in Weltzeit $UT$ kann im Rahmen der Genauigkeit dieses Algorithmus verzichtet werden.

J. Meeus bemerkt zu den gegebenen Formeln: »Die angegebenen Formeln zur Berechnung des $JDE$ basieren auf ungestörten elliptischen Umlaufbahnen. Aus diesem Grund können die für Mars ermittelten Zeitpunkte um einige Stunden fehlerhaft sein.«
Die Fehler für Jupiter und Saturn können auch noch wesentlich größer sein.

Die Astronomiesoftware Alcyone gibt den minimalen heliozentrischen Abstand von Mars nur auf die Stunde genau mit $8.5.2024,\textrm{11:00}\;TD$ an.
Eine Berechnung mittels der vollständigen Planetentheorie VSOP87D zeigt, dass der geringste Abstand von Mars in den Zeitraum vom $8.5.2024,\textrm{10:08} - \textrm{11:20}\;TD$ fällt. Der Mittelwert ist $\textrm{10:44}\;TD$ mit einem Abstand von $R = 1.38150448\; AU$.
Die Astronomiesoftware SOLEX 12.1 gibt die folgenden Daten: $8.5.2024,\textrm{10:05} - \textrm{11:23}\;TD$, $R = 1.38150448\; AU$.

Perihelzeitpunkt von Mars 2024
Dieses Beispiel	Alcyone	VSOP87	SOLEX 12.1
$8.5.2024,\textrm{11:25}\;TD$	$8.5.2024,\textrm{11:00}\;TD$	$8.5.2024,\textrm{10:44}\;TD$	$8.5.2024,\textrm{10:44}\;TD$

Knotendurchgänge

Nach der Perihel- und Aphelzeit liegt es nahe, die Zeiten der Knotendurchgänge zu ermitteln. Es gilt für den aufsteigenden Knoten: $$\nu = 360^{\circ} - \omega \quad\textsf{oder}\quad \nu = - \omega\tag{2}$$

Und für den absteigenden Knoten: $$\nu = 180^{\circ} - \omega\tag{3}$$

Die »Knotenzeit« ist von der Bahnform abhängig. $G$ und $M_S$ kann man aus der Liste für die Konstanten entnehmen.

Ellipse:

$$E = 2 \cdot \arctan\left(\sqrt{\frac{1 - \epsilon}{1 + \epsilon}} \cdot \tan\left(\frac{\nu}{2}\right)\right)\tag{4}$$ $$M = E - \frac{180^\circ}{\pi}\cdot \epsilon \cdot \sin(E)\tag{5}$$

Die Zeit $t$ des Knotendurchgangs ist dann: $$t = t_0 + \frac{M}{n_m}\tag{6}$$

Parabel:

Es gilt: $q\neq 0$: $$t = t_0 + \sqrt{\frac{2\cdot q^3}{G\cdot (M_S + m)}} \cdot\left(\frac{1}{3}\cdot \tan^3\left(\frac{\nu}{2}\right) + \tan\left(\frac{\nu}{2}\right)\right)\tag{7}$$

Für geradlinige (entartete) Parabelbahnen gibt es eine modifizierte Gleichung: $$t = t_0 \pm \sqrt{\frac{2}{9}\cdot \frac{r^3}{G\cdot (M_S + m)}}\tag{8}$$

Die negative Wurzel ist zu wählen, wenn sich $M_S$ und $m$ aufeinander zubewegen. Das positive Vorzeichen gilt umgekehrt analog.

Hyperbel:

$$H = 2 \cdot \operatorname{artanh}\left(\sqrt{\frac{1 - \epsilon}{1 + \epsilon}} \cdot \tan\left(\frac{\nu}{2}\right)\right)\tag{9}$$ $$M_h = H - \epsilon \cdot \sinh(H)\tag{10}$$

mit dem Areatangens. Die Zeit $t$ des Knotendurchgangs ist dann: $$t = t_0 + \sqrt{\frac{|a|^3}{G\cdot (M_S + m)}} \cdot M_h\tag{11}$$

Aspekte

Mit der Rundungsfunktion round(x;y) und der dezimalen Jahreszahl $J$ gilt für das Integer $k$:

$$k = \textrm{round}\left(\frac{365.2425 \cdot J + 1721060 - A}{B};\;0\right)\tag{12}$$

$k$ muss ganzzahlig sein (Integer), sonst bekommt man sinnlose Ergebnisse. Die nachfolgenden Polynome haben die Form:

$$JDE_0 = A + B \cdot k + C \cdot k^2 + D \cdot k^3\tag{13}$$

Tabelle 4
Planet	$JDE_0 = $
Merkur	$\begin{pmatrix} 2451612\overset{d}{.}023 \\\ 2451554\overset{d}{.}084\end{pmatrix} + 115\overset{d}{.}8774770754 \cdot k - 9\overset{d}{.}1200 \cdot 10^{-11}\cdot k^2 + 2\overset{d}{.}0 \cdot 10^{-13} \cdot k^3$
Venus	$\begin{pmatrix}2451996\overset{d}{.}706 \\\ 2451704\overset{d}{.}746\end{pmatrix} + 583\overset{d}{.}9213608964 \cdot k - 2\overset{d}{.}8698 \cdot 10^{-7}\cdot k^2 + 3\overset{d}{.}4 \cdot 10^{-10} \cdot k^3$
Mars	$\begin{pmatrix}2452097\overset{d}{.}382 \\\ 2451707\overset{d}{.}414\end{pmatrix} + 779\overset{d}{.}9361034331 \cdot k - 7\overset{d}{.}2133 \cdot 10^{-7}\cdot k^2 - 9\overset{d}{.}3 \cdot 10^{-10} \cdot k^3$
Jupiter	$\begin{pmatrix}2451870\overset{d}{.}628 \\\ 2451671\overset{d}{.}186\end{pmatrix} + 398\overset{d}{.}8840471630 \cdot k + 2\overset{d}{.}5 \cdot 10^{-10}\cdot k^2 + 2\overset{d}{.}1 \cdot 10^{-11} \cdot k^3$
Saturn	$\begin{pmatrix}2451870\overset{d}{.}170 \\\ 2451681\overset{d}{.}124\end{pmatrix} + 378\overset{d}{.}0919054060 \cdot k - 5\overset{d}{.}6 \cdot 10^{-10}\cdot k^2 - 3\overset{d}{.}7 \cdot 10^{-11} \cdot k^3$
Uranus	$\begin{pmatrix}2451764\overset{d}{.}317 \\\ 2451579\overset{d}{.}489\end{pmatrix} + 369\overset{d}{.}6560361099 \cdot k + 7\overset{d}{.}2 \cdot 10^{-9}\cdot k^2 + 6\overset{d}{.}7 \cdot 10^{-11} \cdot k^3$
Neptun	$\begin{pmatrix}2451753\overset{d}{.}122 \\\ 2451569\overset{d}{.}379\end{pmatrix} + 367\overset{d}{.}4867033108 \cdot k + 5\overset{d}{.}79 \cdot 10^{-8}\cdot k^2 - 2\overset{d}{.}1 \cdot 10^{-11} \cdot k^3$

Jetzt wird die mittlere Anomalie $M$ der Erde zur Erscheinung der Planeten benötigt:

Tabelle 5
Planet	$M =$
Merkur	$\begin{pmatrix}63\overset{\circ}{.}5870964337 \\\ 6\overset{\circ}{.}4824017093\end{pmatrix} + 114\overset{\circ}{.}2088723823 \cdot k$
Venus	$\begin{pmatrix}82\overset{\circ}{.}7307695973 \\\ 154\overset{\circ}{.}9749113563\end{pmatrix} + 215\overset{\circ}{.}5130493748 \cdot k$
Mars	$\begin{pmatrix}181\overset{\circ}{.}9570635522 \\\ 157\overset{\circ}{.}6044929080\end{pmatrix} + 48\overset{\circ}{.}7052321139 \cdot k$
Jupiter	$\begin{pmatrix}318\overset{\circ}{.}4682572856 \\\ 121\overset{\circ}{.}8981659021\end{pmatrix} + 33\overset{\circ}{.}1402235009 \cdot k$
Saturn	$\begin{pmatrix}318\overset{\circ}{.}0168523565 \\\ 131\overset{\circ}{.}6930615015\end{pmatrix} + 12\overset{\circ}{.}6474830277 \cdot k$
Uranus	$\begin{pmatrix}213\overset{\circ}{.}6881057382 \\\ 31\overset{\circ}{.}5215768674\end{pmatrix} + 4\overset{\circ}{.}3330879947 \cdot k$
Neptun	$\begin{pmatrix}202\overset{\circ}{.}6543105847 \\\ 21\overset{\circ}{.}5571580191 \end{pmatrix} + 2\overset{\circ}{.}1949930081 \cdot k$

Die in den Klammern angegebenen Werte bezeichnen den julianischen Tag $JDE_0$ oder die mittlere Anomalie $M$ der Erde, in der die Planeten in einer relativen Position (Aspekte) zur Erde stehen. Für die oberen Werte sind das die untere Konjunktion für Merkur und Venus bzw. die Opposition von Mars bis Neptun und für die unteren Werte sind das die obere Konjunktion für Merkur und Venus bzw. die (normale) Konjunktion von Mars bis Neptun.

Man berechne nun die Zeit $T(JDE_0)$ von der Gleichung oben und dann die Störungsterme der vier größten Planeten:

Tabelle 6: Zusätzliche Störungsterme für die Gasplaneten
Planet	Störungsterm	Planet	Störungsterm
Jupiter:	$a = 82\overset{\circ}{.}74 + 40\overset{\circ}{.}76 \cdot T$	Uranus:	$e = 207\overset{\circ}{.}83 + 8\overset{\circ}{.}51 \cdot T$
Saturn:	$a = 82\overset{\circ}{.}74 + 40\overset{\circ}{.}76 \cdot T$		$f = 108\overset{\circ}{.}84 + 419\overset{\circ}{.}96 \cdot T$
	$b = 29\overset{\circ}{.}86 + 1181\overset{\circ}{.}36 \cdot T$	Neptun:	$e = 207\overset{\circ}{.}83 + 8\overset{\circ}{.}51 \cdot T$
	$c = 14\overset{\circ}{.}13 + 590\overset{\circ}{.}68 \cdot T$		$g = 276\overset{\circ}{.}74 + 209\overset{\circ}{.}98 \cdot T$
	$d = 220\overset{\circ}{.}02 + 1262\overset{\circ}{.}87 \cdot T$

Opposition und Konjunktion

Abb. 1: Opposition und Konjunktion am Beispiel Mars

Die ermittelten Werte $M$ bzw. $a$ bis $g$ werden in diese periodischen Terme eingesetzt. Die periodischen Terme sind in Tagen angegeben und werden zu $JDE_0$ addiert. Das so erhaltene $JDE_0$ kann dann in das entsprechende Kalenderdatum umgerechnet werden. Das Resultat gibt dann den Zeitpunkt des Ereignisses in dynamischer Zeit an.

Tabellen 7 - 13

Tabelle 7: Merkur
untere Konjunktion: $\Delta JDE_{uk}[^d]$	obere Konjunktion: $\Delta JDE_{ok}[^d]$
$+ 0.0545 + 0.0002 \cdot T$	$- 0.0548 - 0.0002 \cdot T$
$- 6.2008 + 0.0074 \cdot T + 0.00003 \cdot T^2$	$+ 7.3894 - 0.0100 \cdot T - 0.00003 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$- 3.2750 - 0.0197 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$+ 3.2200 + 0.0197 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$\cos(M)$
$+ 0.4737 - 0.0052 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$+ 0.8383 - 0.0064 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$\sin(2\cdot M)$
$+ 0.8111 + 0.0033 \cdot T - 0.00002 \cdot T^2$	$+ 0.9666 + 0.0039 \cdot T - 0.00003 \cdot T^2$	$\cos(2\cdot M)$
$+ 0.0037 + 0.0018 \cdot T$	$+ 0.0770 - 0.0026 \cdot T$	$\sin(3\cdot M)$
$- 0.1768 + 0.00001 \cdot T^2$	$+ 0.2758 + 0.0002 \cdot T - 0.00002 \cdot T^2$	$\cos(3\cdot M)$
$- 0.0211 - 0.0004 \cdot T$	$- 0.0128 - 0.0008 \cdot T$	$\sin(4\cdot M)$
$+ 0.0326 - 0.0003 \cdot T$	$+ 0.0734 - 0.0004 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$\cos(4\cdot M)$
$+ 0.0083 + 0.0001 \cdot T$	$- 0.0122 - 0.0002 \cdot T$	$\sin(5\cdot M)$
$- 0.0004 + 0.0001 \cdot T$	$+ 0.0173 - 0.0002 \cdot T$	$\cos(5\cdot M)$

Tabelle 8: Venus
untere Konjunktion: $\Delta JDE_{uk}[^d]$	obere Konjunktion: $\Delta JDE_{ok}[^d]$
$- 0.0096 + 0.0002 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$+ 0.0099 - 0.0002 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$
$+ 2.0009 - 0.0033 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$+ 4.1991 - 0.0121 \cdot T - 0.00003 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$+ 0.5980 - 0.0104 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$- 0.6095 + 0.0102 \cdot T - 0.00002 \cdot T^2$	$\cos(M)$
$+ 0.0967 - 0.0018 \cdot T - 0.00003 \cdot T^2$	$+ 0.2500 - 0.0028 \cdot T - 0.00003 \cdot T^2$	$\sin(2\cdot M)$
$+ 0.0913 + 0.0009 \cdot T - 0.00002 \cdot T^2$	$+ 0.0063 + 0.0025 \cdot T - 0.00002 \cdot T^2$	$\cos(2\cdot M)$
$+ 0.0046 - 0.0002 \cdot T$	$+ 0.0232 - 0.0005 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$\sin(3\cdot M)$
$+ 0.0079 + 0.0001 \cdot T$	$+ 0.0031 + 0.0004 \cdot T$	$\cos(3\cdot M)$

Tabelle 9: Mars
Opposition: $\Delta JDE_o[^d]$	Konjunktion: $\Delta JDE_k[^d]$
$- 0.3088 + 0.00002 \cdot T^2$	$+ 0.3102 - 0.0001 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$
$- 17.6965 + 0.0363 \cdot T + 0.00005 \cdot T^2$	$+ 9.7273 - 0.0156 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$+ 18.3131 + 0.0467 \cdot T - 0.00006 \cdot T^2$	$- 18.3195 - 0.0467 \cdot T + 0.00009 \cdot T^2$	$\cos(M)$
$- 0.2162 - 0.0198 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$- 1.6488 - 0.0133 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$\sin(2\cdot M)$
$- 4.5028 - 0.0019 \cdot T + 0.00007 \cdot T^2$	$- 2.6117 - 0.0020 \cdot T + 0.00004 \cdot T^2$	$\cos(2\cdot M)$
$+ 0.8987 + 0.0058 \cdot T - 0.00002 \cdot T^2$	$- 0.6827 - 0.0026 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$\sin(3\cdot M)$
$+ 0.7666 - 0.0050 \cdot T - 0.00003 \cdot T^2$	$+ 0.0281 + 0.0035 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$\cos(3\cdot M)$
$- 0.3636 - 0.0001 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$	$- 0.0823 + 0.0006 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$\sin(4\cdot M)$
$+ 0.0402 + 0.0032 \cdot T$	$+ 0.1584 + 0.0013 \cdot T$	$\cos(4\cdot M)$
$+ 0.0737 - 0.0008 \cdot T$	$+ 0.0270 + 0.0005 \cdot T$	$\sin(5\cdot M)$
$- 0.0980 - 0.0011 \cdot T$	$+ 0.0433$	$\cos(5\cdot M)$

Tabelle 10: Jupiter
Opposition: $\Delta JDE_o[^d]$	Konjunktion: $\Delta JDE_k[^d]$
$- 0.1029 - 0.00009 \cdot T^2$	$+ 0.1027 + 0.0002 \cdot T - 0.00009 \cdot T^2$
$- 1.9658 - 0.0056 \cdot T + 0.00007 \cdot T^2$	$- 2.2637 + 0.0163 \cdot T - 0.00003 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$+ 6.1537 + 0.0210 \cdot T - 0.00006 \cdot T^2$	$- 6.1540 - 0.0210 \cdot T + 0.00008 \cdot T^2$	$\cos(M)$
$- 0.2081 - 0.0013 \cdot T$	$- 0.2021 - 0.0017 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$\sin(2\cdot M)$
$- 0.1116 - 0.0010 \cdot T$	$+ 0.1310 - 0.0008 \cdot T$	$\cos(2\cdot M)$
$+ 0.0074 + 0.0001 \cdot T$	$+ 0.0086$	$\sin(3\cdot M)$
$- 0.0097 - 0.0001 \cdot T$	$+ 0.0087 + 0.0002 \cdot T$	$\cos(3\cdot M)$
$+ 0.0144 \cdot T - 0.00008 \cdot T^2$	$+ 0.0144 \cdot T - 0.00008 \cdot T^2$	$\sin(a)$
$+ 0.3642 - 0.0019 \cdot T - 0.00029 \cdot T^2$	$+ 0.3642 - 0.0019 \cdot T - 0.00029 \cdot T^2$	$\cos(a)$

Tabelle 11: Saturn
Opposition: $\Delta JDE_o[^d]$	Konjunktion: $\Delta JDE_k[^d]$
$- 0.0209 + 0.0006 \cdot T + 0.00023 \cdot T^2$	$+ 0.0172 - 0.0006 \cdot T + 0.00023 \cdot T^2$
$+ 4.5795 - 0.0312 \cdot T - 0.00017 \cdot T^2$	$- 8.5885 + 0.0411 \cdot T + 0.00020 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$+ 1.1462 - 0.0351 \cdot T + 0.00011 \cdot T^2$	$- 1.1470 + 0.0352 \cdot T - 0.00011 \cdot T^2$	$\cos(M)$
$+ 0.0985 - 0.0015 \cdot T$	$+ 0.3331 - 0.0034 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$\sin(2\cdot M)$
$+ 0.0733 - 0.0031 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$+ 0.1145 - 0.0045 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$	$\cos(2\cdot M)$
$+ 0.0025 - 0.0001 \cdot T$	$- 0.0169 + 0.0002 \cdot T$	$\sin(3\cdot M)$
$+ 0.0050 - 0.0002 \cdot T$	$- 0.0109 + 0.0004 \cdot T$	$\cos(3\cdot M)$
$- 0.0337 \cdot T + 0.00018 \cdot T^2$	$- 0.0337 \cdot T + 0.00018 \cdot T^2$	$\sin(a)$
$- 0.8510 + 0.0044 \cdot T + 0.00068 \cdot T^2$	$- 0.8510 + 0.0044 \cdot T + 0.00068 \cdot T^2$	$\cos(a)$
$- 0.0064 \cdot T + 0.00004 \cdot T^2$	$- 0.0064 \cdot T + 0.00004 \cdot T^2$	$\sin(b)$
$+ 0.2397 - 0.0012 \cdot T - 0.00008 \cdot T^2$	$+ 0.2397 - 0.0012 \cdot T - 0.00008 \cdot T^2$	$\cos(b)$
$- 0.0010 \cdot T$	$- 0.0010 \cdot T$	$\sin(c)$
$+ 0.1245 + 0.0006 \cdot T$	$+ 0.1245 + 0.0006 \cdot T$	$\cos(c)$
$+0.0024\cdot T - 0.00003\cdot T^2$	$+ 0.0024 \cdot T - 0.00003 \cdot T^2$	$\sin(d)$
$+0.0477 - 0.0005\cdot T - 0.00006\cdot T^2$	$+ 0.0477 - 0.0005 \cdot T - 0.00006 \cdot T^2$	$\cos(d)$

Tabelle 12: Uranus
Opposition: $\Delta JDE_o[^d]$	Konjunktion: $\Delta JDE_k[^d]$$
$+ 0.0844 - 0.0006 \cdot T$	$- 0.0859 + 0.0003 \cdot T$
$- 0.1048 + 0.0246 \cdot T$	$- 3.8179 - 0.0148 \cdot T + 0.00003 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$- 5.1221 + 0.0104 \cdot T + 0.00003 \cdot T^2$	$+ 5.1228 - 0.0105 \cdot T - 0.00002 \cdot T^2$	$\cos(M)$
$- 0.1428 + 0.0005 \cdot T$	$- 0.0803 + 0.0011 \cdot T$	$\sin(2\cdot M)$
$- 0.0148 - 0.0013 \cdot T$	$- 0.1905 - 0.0006 \cdot T$	$\cos(2\cdot M)$
$+ 0.0$	$+ 0.0088 + 0.0001 \cdot T$	$\sin(3\cdot M)$
$+ 0.0055$	$+ 0.0$	$\cos(3\cdot M)$
$+ 0.8850$	$+ 0.8850$	$\cos(e)$
$+ 0.2153$	$+ 0.2153$	$\cos(f)$

Tabelle 13: Neptun
Opposition: $\Delta JDE_o[^d]$	Konjunktion: $\Delta JDE_k[^d]$
$- 0.0140 + 0.00001 \cdot T^2$	$+ 0.0168$
$- 1.3486 + 0.0010 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$- 2.5606 + 0.0088 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$+ 0.8597 + 0.0037 \cdot T$	$- 0.8611 - 0.0037 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$	$\cos(M)$
$- 0.0082 - 0.0002 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$+ 0.0118 - 0.0004 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$\sin(2\cdot M)$
$+ 0.0037 - 0.0003 \cdot T$	$+ 0.0307 - 0.0003 \cdot T$	$\cos(2\cdot M)$
$- 0.5964$	$- 0.5964$	$\cos(e)$
$+ 0.0728$	$+ 0.0728$	$\cos(g)$

Beispiel 2

Man berechne den Oppositionszeitpunkt von Jupiter für das Jahr 2024!

In den Tabellen 4 & 5 für die Aspekte findet man für Jupiter die folgenden Beziehungen für den mittleren Zeitpunkt $JDE_0$ und die mittlere Anomalie $M$ der Erde: (jeweils obere Werte für Opposition)

$\begin{align} JDE_0 =&\;2451870.628\\ &+398.8840471630\cdot k\\ &+2.5\cdot 10^{−10}\cdot k^2\\ &+2.1\cdot 10^{−11}\cdot k^3\\ M =&\;318\overset{\circ}{.}4682572856 + 33\overset{\circ}{.}1402235009\cdot k \end{align}$

Für das Jahr $J$ kann man die Mitte der Jahres ansetzen, in diesem Fall also $J = 2024.5$ in dezimaler Schreibweise. Man berechnet nun das nächstgelegene $k$ mittels der Rundungsfunktion

$\begin{align} k &= \textrm{round}\left(\frac{365.25\cdot J + 1721060 - A}{B}\right)\\ &= \textrm{round}\left(\frac{365.25\cdot 2024.5 + 1721060 - 2451870.628}{398.8840471630}\right)\\ &= 22 \end{align}$

wobei $A$ und $B$ jeweils der konstante bzw. lineare Koeffizient in der Gleichung von $JDE_0$ sind. Damit ergeben sich nun der mittlere Zeitpunkt

$\begin{align} JDE_0 =&\;2451870.628\\ &+398.8840471630\cdot 22\\ &+2.5\cdot 10^{−10}\cdot 22^2\\ &+2.1\cdot 10^{−11}\cdot 22^3\\ &= 2460646.0770379305 \end{align}$

sowie mittlere Anomalie der Erde mit

$\begin{align} M &= 318\overset{\circ}{.}4682572856 + 33\overset{\circ}{.}1402235009\cdot k\\ &= 318\overset{\circ}{.}4682572856 + 33\overset{\circ}{.}1402235009\cdot 22\\ &= 1047\overset{\circ}{.}5531743053998\\ &= 327\overset{\circ}{.}5531743053998 \end{align}$

Es wurde die Reduktionsfunktion verwendet, um den großen Winkel in das Intervall [0°-360°] zu bringen.

Für Jupiter bis Neptun benötigt man weitere Hilfswinkel, im Fall von Jupiter hat man laut Tabelle 6 nur

$a = 82.74 + 40.76\cdot T$

zu berechnen. Das $T$ sind die julianischen Jahrhunderte gemessen von $J2000$, daher

$\begin{align} T &= \frac{(JDE_0 - 2451545.0)}{36525}\\ &= \frac{(2460646.0770379305 - 2451545.0)}{36525}\\ &= 0.2491739093204788 \end{align}$

Damit ist

$\begin{align} a &= 82\overset{\circ}{.}74 + 40\overset{\circ}{.}76\cdot T\\ &= 82\overset{\circ}{.}74 + 40\overset{\circ}{.}76\cdot 0.2491739093204788\\ &= 92\overset{\circ}{.}89632854390271 \end{align}$

Nun berechnet man die Summe der periodischen Terme $\Delta JDE_{o}$, die in der Tabelle 10 für Jupiter in der Spalte „Opposition“ angegeben sind:

$\begin{align} \Delta JDE_{o} =& -0.1029 - 0.00009\cdot T^2\\ &(-1.9658 - 0.0056\cdot T + 0.00007\cdot T^2)\cdot \sin(M)\\ &(+6.1537 + 0.0210\cdot T -0.00006\cdot T^2)\cdot \cos(M)\\ &(-0.2081 - 0.0013\cdot T)\cdot \sin(2\cdot M)\\ &(-0.1116 - 0.0010\cdot T)\cdot \cos(2\cdot M)\\ &(+0.0074 + 0.0001\cdot T)\cdot \sin(3\cdot M)\\ &(-0.0097 - 0.0001\cdot T)\cdot \cos(3\cdot M)\\ &(+0.0144\cdot T - 0.00008\cdot T^2)\cdot \sin(a)\\ &(+0.3642 - 0.0019\cdot T - 0.00029\cdot T^2)\cdot \cos(a)\\ &= 6\overset{d}{.}270336064140763 \end{align}$

Die Summe der periodischen Terme wird zu $JDE_0$ addiert, um den verbesserten Zeitpunkt der Opposition Jupiters zu erhalten:

$\begin{align} JDE &= JDE_0 + \Delta JDE_{o}\\ &=2460646.0770379305 + 6.270336064140763\\ &=2460652.3473739945 \end{align}$

Der erhaltene julianische Tag ist in der Zeitskala der dynamischen Zeit gegeben. Die Umwandlung des julianischen Tages in ein Kalenderdatum ergibt den $7.12.2024, \textrm{20:20}\;TD$. Auf eine Rückrechnung in Weltzeit $UT$ kann im Rahmen der Genauigkeit dieses Algorithmus verzichtet werden. Die Astronomiesoftware Alcyone gibt den gesuchten Zeitpunkt nur auf den Tag genau mit $7.12.2024$ an.

Einer genauere Rechnung mithilfe der kompletten Planetentheorie VSOP87 zeigt eine Übereinstimmung der ekliptikalen Längen der Planeten Erde und Jupiter, also zur Opposition, zum Zeitpunkt $7.12.2024, \textrm{20:47:58}\;TD$

Opposition von Jupiter 2024
Dieses Beispiel	Alcyone	VSOP87
$7.12.2024, \textrm{20:20}\;TD$	$7.12.2024$	$7.12.2024, \textrm{20:47:58}\;TD$

Größte Elongationen

Abb. 2: Konjunktionen und Elongationen am Beispiel Merkur

Zur Berechnung der größten Elongationen beginnt man mit der mittleren unteren Konjunktion (also Berechnung von $JDE_{uk}$ und $M$) und addiert dann diese periodischen Terme $JDE_{öe/we}$ (nach dem Einsetzen von $M$) hinzu. Das Resultat ergibt dann den Zeitpunkt der Elongation in dynamischer Zeit nach der Umrechnung ins Kalenderdatum. Die größte östliche Elongation entspricht der Abendsichtbarkeit und die größte westliche Elongation entspricht der Morgensichtbarkeit.

Tabellen 14 - 17

Tabelle 14: Merkur
größte östliche Elongation: $\Delta JDE_{öe}[^d]$	größte westliche Elongation: $\Delta JDE_{we}[^d]$
$- 21.6101 + 0.0002 \cdot T$	$+ 21.6249 - 0.0002 \cdot T$
$- 1.9803 - 0.0060 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$+ 0.1306 + 0.0065 \cdot T$	$\sin(M)$
$+ 1.4151 - 0.0072 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$- 2.7661 - 0.0011 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$\cos(M)$
$+ 0.5528 - 0.0005 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$+ 0.2438 - 0.0024 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$\sin(2\cdot M)$
$+ 0.2905 + 0.0034 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$+ 0.5767 + 0.0023 \cdot T$	$\cos(2\cdot M)$
$- 0.1121 - 0.0001 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$+ 0.1041$	$\sin(3\cdot M)$
$- 0.0098 - 0.0015 \cdot T$	$- 0.0184 + 0.0007 \cdot T$	$\cos(3\cdot M)$
$+ 0.0192$	$- 0.0051 - 0.0001 \cdot T$	$\sin(4\cdot M)$
$+ 0.0111 + 0.0004 \cdot T$	$+ 0.0048 + 0.0001 \cdot T$	$\cos(4\cdot M)$
$- 0.0061$	$+ 0.0026$	$\sin(5\cdot M)$
$- 0.0032 - 0.0001 \cdot T$	$+ 0.0037$	$\cos(5\cdot M)$

Tabelle 15: Venus
größte östliche Elongation: $\Delta JDE_{öe}[^d]$	größte westliche Elongation: $\Delta JDE_{we}[^d]$
$- 70.7600 + 0.0002 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$+ 70.7462 - 0.00001 \cdot T^2$
$+ 1.0282 - 0.0010 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$+ 1.1218 - 0.0025 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$+ 0.2761 - 0.0060 \cdot T$	$+ 0.4538 - 0.0066 \cdot T$	$\cos(M)$
$- 0.0438 - 0.0023 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$	$+ 0.1320 + 0.0020 \cdot T - 0.00003 \cdot T^2$	$\sin(2\cdot M)$
$+0.1660 - 0.0037\cdot T - 0.00004\cdot T^2$	$- 0.0702 + 0.0022 \cdot T + 0.00004 \cdot T^2$	$\cos(2\cdot M)$
$+ 0.0036 + 0.0001 \cdot T$	$+0.0062 - 0.0001\cdot T$	$\sin(3\cdot M)$
$- 0.0011 + 0.00001 \cdot T^2$	$+ 0.0015 - 0.00001 \cdot T^2$	$\cos(3\cdot M)$

Hier wird der größte Abstand $\eta$ (Elongation) der unteren Planeten von der Sonne zum Zeitpunkt $T$ berechnet.

Tabelle 16: Merkur
größte östliche Elongation: $\eta_{öe}[^{\circ}]$	größte westliche Elongation: $\eta_{we}[^{\circ}]$
$+ 22.4697$	$22.4143 - 0.0001 \cdot T$
$- 4.2666 + 0.0054 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$	$+ 4.3651 - 0.0048 \cdot T - 0.00002 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$- 1.8537 - 0.0137 \cdot T$	$+ 2.3787 + 0.0121 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$\cos(M)$
$+ 0.3598 + 0.0008 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$+ 0.2674 + 0.0022 \cdot T$	$\sin(2\cdot M)$
$- 0.0680 + 0.0026 \cdot T$	$- 0.3873 + 0.0008 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$\cos(2\cdot M)$
$- 0.0524 - 0.0003 \cdot T$	$- 0.0369 - 0.0001 \cdot T$	$\sin(3\cdot M)$
$+ 0.0052 - 0.0006 \cdot T$	$+ 0.0017 - 0.0001 \cdot T$	$\cos(3\cdot M)$
$+ 0.0107 + 0.0001 \cdot T$	$+ 0.0059$	$\sin(4\cdot M)$
$- 0.0013 + 0.0001 \cdot T$	$+ 0.0061 + 0.0001 \cdot T$	$\cos(4\cdot M)$
$- 0.0021$	$+ 0.0007$	$\sin(5\cdot M)$
$+ 0.0003$	$- 0.0011$	$\cos(5\cdot M)$

Tabelle 17: Venus
größte östliche Elongation: $\eta_{öe}[^{\circ}]$	größte westliche Elongation: $\eta_{we}[^{\circ}]$
$46.3173 + 0.0001 \cdot T$	$+ 46.3245$
$+ 0.6916 - 0.0024 \cdot T$	$- 0.5366 - 0.0003 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$+ 0.6676 - 0.0045 \cdot T$	$+ 0.3097 + 0.0016 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$\cos(M)$
$+ 0.0309 - 0.0002 \cdot T$	$- 0.0163$	$\sin(2\cdot M)$
$+ 0.0036 - 0.0001 \cdot T$	$- 0.0075 + 0.0001 \cdot T$	$\cos(2\cdot M)$

Beispiel 3

Man berechne den Zeitpunkt der größten östlichen Elongation von Venus sowie den entsprechenden Winkelabstand für das Jahr 2024!

In den Tabellen 4 & 5 für die Aspekte findet man für Venus die folgenden Beziehungen für den mittleren Zeitpunkt $JDE_0$ und die mittlere Anomalie $M$ der Erde: (jeweils obere Werte für die untere Konjunktion)

$\begin{align} JDE_0 =&\;2451996.706\\ &+583.9213608964\cdot k\\ &-2.8698\cdot 10^{-7}\cdot k^2\\ &+3.4\cdot 10^{-10}\cdot k^3\\ M =&\;82\overset{\circ}{.}7307695973 + 215\overset{\circ}{.}5130493748\cdot k \end{align}$

Für das Jahr $J$ setzt man $J = 2024.0$ in dezimaler Schreibweise an. Man berechnet nun das nächstgelegene $k$ mittels der Rundungsfunktion

$\begin{align} k &= \textrm{round}\left(\frac{365.25\cdot J + 1721060 - A}{B}\right)\\ &= \textrm{round}\left(\frac{365.25\cdot 2024.5 + 1721060 - 2451996.706}{583.9213608964}\right)\\ &= 14 \end{align}$

wobei $A$ und $B$ jeweils der konstante bzw. lineare Koeffizient in der Gleichung von $JDE_0$ sind. Damit ergeben sich nun der mittlere Zeitpunkt der unteren Konjunktion

$\begin{align} JDE_0 =&\;2451996.706\\ &+583.9213608964\cdot 14\\ &-2.8698\cdot 10^{-7}\cdot 14^2\\ &+3.4\cdot 10^{-10}\cdot 14^3\\ &= 2460171.6049972344 \end{align}$

sowie mittlere Anomalie der Erde mit

$\begin{align} M =&\;82\overset{\circ}{.}7307695973 + 215\overset{\circ}{.}5130493748\cdot 14\\ &= 3099\overset{\circ}{.}9134608445\\ &= 219\overset{\circ}{.}91346084450015 \end{align}$

Es wurde die Reduktionsfunktion verwendet, um den großen Winkel in das Intervall [0°-360°] zu bringen.

Für die Elongationen der inneren Planeten werden keine weiteren Hilfswinkel benötigt.

Die julianischen Jahrhunderte $T$ gemessen von $J2000$ sind nun

$\begin{align} T &= \frac{(JDE_0 - 2451545.0)}{36525}\\ &= \frac{(2460171.6049972344 - 2451545.0)}{36525}\\ &= 0.23618357281955973 \end{align}$

Mittels $T$ und $M$ berechnet man die Summe der periodischen Terme $\Delta JDE_{öe}$, die in der Tabelle 15 für Venus in der Spalte „größte östliche Elongation“ angegeben sind:

$\begin{align} \Delta JDE_{öe} =& -70.7600+0.0002\cdot T - 0.00001\cdot T^2\\ &(+1.0282 - 0.0010\cdot T - 0.00001\cdot T^2)\cdot \sin(M)\\ &(+0.2761 - 0.0060\cdot T)\cdot \cos(M)\\ &(-0.0438 - 0.0023\cdot T + 0.00002\cdot T^2)\cdot \sin(2\cdot M)\\ &(+0.1660 + 0.0037\cdot T - 0.00004\cdot T^2)\cdot \cos(2\cdot M)\\ &(+0.0036 + 0.0001\cdot T)\cdot \sin(3\cdot M)\\ &(-0.0011 + 0.00001\cdot T^2)\cdot \cos(3\cdot M)\\ &= -71\overset{d}{.}64807444357281 \end{align}$

Die Summe der periodischen Terme wird zu $JDE_0$ addiert, um den Zeitpunkt der Elongation von Venus zu erhalten:

$\begin{align} JDE =&\;JDE_0 + \Delta JDE_{öe}\\ &=2460171.6049972344 + (-71.64807444357281)\\ &=2460099.956922791 \end{align}$

Der erhaltene julianische Tag ist in der Zeitskala der dynamischen Zeit gegeben. Die Umwandlung des julianischen Tages in ein Kalenderdatum ergibt den $4.6.202\color{#cc0000}{3}, \textrm{10:58}\;TD$.

Es wurde also die größte östliche Elongation des Vorjahres berechnet! Dies hätte man bereits am Wert von $T = 0.\color{#cc0000}{23}618\dots$ erkennen können. Für die nächste größte östliche Elongation erhöht man den Wert von $k$ um $1$, also $k = 15$, und berechnet erneut die entsprechenden Werte.

In der Praxis kann dies natürlich durch eine Schleife im Programm erfolgen. Man überprüft, ob der erhaltene julianische Tag kleiner oder größer ist als der entsprechende für den 1.1. des gegebenen Jahres.

Eine erneute Rechnung mit $k = 15$ liefert die folgenden Werte:

$\begin{align} JDE_0 =& 2460755.5263500228 \\ M =&\; 3315\overset{\circ}{.}4265102193 \\ =&\; 75\overset{\circ}{.}42651021929987 \\ T =&\; 0.25217046817310773 \\ \Delta JDE_{öe} =& -69.86525202243605 \\ JDE =&\; 2460685.661098 \end{align}$

Die Rückrechnung auf das Kalenderdatum ergibt damit den $10.1.2025, \textrm{03:52}\;TD$. Im Jahr 2024 fand daher keine größte östliche Elongation von Venus statt!

Auf eine Rückrechnung in Weltzeit $UT$ kann im Rahmen der Genauigkeit dieses Algorithmus verzichtet werden. Die Astronomiesoftware Alcyone gibt den gesuchten Zeitpunkt nur auf den Tag genau mit $10.1.2025$ an.

Es fehlt nun noch der Winkelwert $\eta_{öe}$ für diesen Zeitpunkt, welcher durch die Summe der Terme in der entsprechenden Tabelle 17 gefunden wird:

$\begin{align} \eta_{öe} =&\;46.3173 + 0.0001\cdot T \\ &(+0.6916 - 0.0024\cdot T)\cdot \sin(M) \\ &(+0.6676 - 0.0045\cdot T)\cdot \cos(M) \\ &(+0.0309 - 0.0002\cdot T)\cdot \sin(2\cdot M) \\ &(+0.0036 - 0.0001\cdot T)\cdot \cos(2\cdot M) \\ &=47\overset{\circ}{.}165687980910455 \end{align}$

Die JPL HORIZONS Daten geben eine östliche Elongation von Venus mit $+47\overset{\circ}{.}1687$ am $10.1.2025$, im Zeitraum von $\textrm{02:07}\;TD$ bis $\textrm{07:58}\;TD$ ändert sich der Wert nicht bis zur 4. Kommastelle.

Östliche Elongation von Venus
	Dieses Beispiel	Alcyone	HORIZONS
Zeitpunkt	$10.1.2025, \textrm{03:52}\;TD$	$10.1.2025$	$10.1.20225, \textrm{02:07}\;TD$ - $\textrm{07:58}\;TD$
Winkel $\eta_{öe}$	$47\overset{\circ}{.}1657$	$47\overset{\circ}{.}1652$	$47\overset{\circ}{.}1687$

Stationäre Position

Mit den stationären Positionen (in geozentrischer Länge, nicht in Rektaszension) der Planeten sind für die Planeten der Beginn der rückläufigen Bewegung mit der 1. Station und das Ende der rückläufigen Bewegung mit der 2. Station gemeint. Bei den unteren Planeten sind es nicht notwendigerweise die größten Elongationen. Dazu muß zuerst für die unteren Planeten der Zeitpunkt $JDE_{uk}$ der unteren Konjunktion und für die oberen Planeten der Zeitpunkt $JDE_o$ der Opposition ermittelt werden. Dazu addiert man dann $JDE_{1s}$ oder $JDE_{2s}$ dazu. Das Resultat ergibt dann den Zeitpunkt der stationären Positionen in dynamischer Zeit nach der Umrechnung ins Kalenderdatum.

Tabellen 18 - 22

Tabelle 18: Merkur
gr. östl. Elongation (Station 1): $\Delta JDE_{1s}[^d]$	gr. westl. Elongation (Station 2): $\Delta JDE_{2s}[^d]$
$- 11.0761 + 0.0003 \cdot T$	$+ 11.1343 - 0.0001 \cdot T$
$- 4.7321 + 0.0023 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$	$- 3.9137 + 0.0073 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$- 1.3230 - 0.0156 \cdot T$	$- 3.3861 - 0.0128 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$\cos(M)$
$+ 0.2270 - 0.0046 \cdot T$	$+ 0.5222 - 0.0040 \cdot T - 0.00002 \cdot T^2$	$\sin(2\cdot M)$
$+0.7184 + 0.0013\cdot T - 0.00002\cdot T^2$	$- 0.5929 + 0.0039 \cdot T - 0.00002 \cdot T$	$\cos(2\cdot M)$
$+ 0.0638 + 0.0016 \cdot T$	$- 0.0593 + 0.0018 \cdot T$	$\sin(3\cdot M)$
$- 0.1655 + 0.0007 \cdot T$	$- 0.1733 - 0.0007 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$\cos(3\cdot M)$
$- 0.0395 - 0.0003 \cdot T$	$- 0.0053 - 0.0006 \cdot T$	$\sin(4\cdot M)$
$+ 0.0247 - 0.0006 \cdot T$	$+ 0.0476 - 0.0001 \cdot T$	$\cos(4\cdot M)$
$+ 0.0131$	$+0.0070 + 0.0002\cdot T$	$\sin(5\cdot M)$
$+ 0.0008 + 0.0002 \cdot T$	$- 0.0115 + 0.0001 \cdot T$	$\cos(5\cdot M)$

Tabelle 19: Venus
gr. östl. Elongation (Station 1): $\Delta JDE_{1s}[^d]$	gr. westl. Elongation (Station 2): $\Delta JDE_{2s}[^d]$
$- 21.0672 + 0.0002 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$- 21.0623 - 0.00001 \cdot T^2$
$+ 1.9396 - 0.0029 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$+ 1.9913 - 0.0040 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$+ 1.0727 - 0.0102 \cdot T$	$- 0.0407 - 0.0077 \cdot T$	$\cos(M)$
$+ 0.0404 - 0.0023 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$+ 0.1351 - 0.0009 \cdot T - 0.00004 \cdot T^2$	$\sin(2\cdot M)$
$+ 0.1305 - 0.0004 \cdot T - 0.00003 \cdot T^2$	$+ 0.0303 + 0.0019 \cdot T$	$\cos(2\cdot M)$
$- 0.0007 - 0.0002 \cdot T$	$+ 0.0089 - 0.0002 \cdot T$	$\sin(3\cdot M)$
$+ 0.0098$	$+ 0.0043 + 0.0001 \cdot T$	$\cos(3\cdot M)$

Tabelle 20: Mars
vor der Opposition (Station 1): $\Delta JDE_{1s}[^d]$	nach der Opposition (Station 2): $\Delta JDE_{2s}[^d]$
$- 37.0790 - 0.0009 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$	$+ 36.7191 + 0.0016 \cdot T + 0.00003 \cdot T^2$
$- 20.0651 + 0.0228 \cdot T + 0.00004 \cdot T^2$	$- 12.6163 + 0.0417 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$+ 14.5205 + 0.0504 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$+ 20.1218 + 0.0379 \cdot T - 0.00006 \cdot T^2$	$\cos(M)$
$+ 1.1737 - 0.0169 \cdot T$	$- 1.6360 - 0.0190 \cdot T$	$\sin(2\cdot M)$
$- 4.2550 - 0.0075 \cdot T + 0.00008 \cdot T^2$	$- 3.9657 + 0.0045 \cdot T + 0.00007 \cdot T^2$	$\cos(2\cdot M)$
$+ 0.4897 + 0.0074 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$+ 1.1546 + 0.0029 \cdot T - 0.00003 \cdot T^2$	$\sin(3\cdot M)$
$+ 1.1151 - 0.0021 \cdot T - 0.00005 \cdot T^2$	$+ 0.2888 - 0.0073 \cdot T - 0.00002 \cdot T^2$	$\cos(3\cdot M)$
$- 0.3636 - 0.0020 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$- 0.3128 + 0.0017 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$	$\sin(4\cdot M)$
$- 0.1769 + 0.0028 \cdot T + 0.00002 \cdot T^2$	$+ 0.2513 + 0.0026 \cdot T - 0.00002 \cdot T^2$	$\cos(4\cdot M)$
$+ 0.1437 - 0.0004 \cdot T$	$- 0.0021 - 0.0016 \cdot T$	$\sin(5\cdot M)$
$- 0.0383 - 0.0016 \cdot T$	$- 0.1497 - 0.0006 \cdot T$	$\cos(5\cdot M)$

Tabelle 21: Jupiter
gr. östl. Elongation (Station 1): $\Delta JDE_{1s}[^d]$	gr. westl. Elongation (Station 2): $\Delta JDE_{2s}[^d]$
$- 60.3670 - 0.0001 \cdot T - 0.00009 \cdot T^2$	$+ 60.3023 + 0.0002 \cdot T - 0.00009 \cdot T^2$
$- 2.3144 - 0.0124 \cdot T + 0.00007 \cdot T^2$	$+ 0.3506 - 0.0034 \cdot T + 0.00004 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$ + 6.7439 + 0.0166 \cdot T - 0.00006 \cdot T^2$	$+ 5.3635 + 0.0247 \cdot T - 0.00007 \cdot T^2$	$\cos(M)$
$- 0.2259 - 0.0010 \cdot T$	$- 0.1872 - 0.0016 \cdot T$	$\sin(2\cdot M)$
$- 0.1497 - 0.0014 \cdot T$	$- 0.0037 - 0.0005 \cdot T$	$\cos(2\cdot M)$
$+ 0.0105 + 0.0001 \cdot T$	$+ 0.0012 + 0.0001 \cdot T$	$\sin(3\cdot M)$
$- 0.0098$	$- 0.0096 - 0.0001 \cdot T$	$\cos(3\cdot M)$
$+ 0.0144 \cdot T - 0.00008 \cdot T^2$	$+ 0.0144 \cdot T - 0.00008 \cdot T^2$	$\sin(a)$
$+ 0.3642 - 0.0019 \cdot T - 0.00029 \cdot T^2$	$+ 0.3642 - 0.0019 \cdot T - 0.00029 \cdot T^2$	$\cos(a)$

Tabelle 22: Saturn
gr. östl. Elongation (Station 1): $\Delta JDE_{1s}[^d]$	gr. westl. Elongation (Station 2): $\Delta JDE_{2s}[^d]$
$- 68.8840 + 0.0009 \cdot T + 0.00023 \cdot T^2$	$+ 68.8720 - 0.0007 \cdot T + 0.00023 \cdot T^2$
$+ 5.5452 - 0.0279 \cdot T - 0.00020 \cdot T^2$	$+ 5.9399 - 0.0400 \cdot T - 0.00015 \cdot T^2$	$\sin(M)$
$+ 3.0727 - 0.0430 \cdot T + 0.00007 \cdot T^2$	$- 0.7998 - 0.0266 \cdot T + 0.00014 \cdot T^2$	$\cos(M)$
$+ 0.1101 - 0.0006 \cdot T - 0.00001 \cdot T^2$	$+ 0.1738 - 0.0032 \cdot T$	$\sin(2\cdot M)$
$+ 0.1654 - 0.0043 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$- 0.0039 - 0.0024 \cdot T + 0.00001 \cdot T^2$	$\cos(2\cdot M)$
$+ 0.0010 + 0.0001 \cdot T$	$+ 0.0073 - 0.0002 \cdot T$	$\sin(3\cdot M)$
$+ 0.0095 - 0.0003 \cdot T$	$+ 0.0020 - 0.0002 \cdot T$	$\cos(3\cdot M)$
$- 0.0337 \cdot T + 0.00018 \cdot T^2$	$- 0.0337 \cdot T + 0.00018 \cdot T^2$	$\sin(a)$
$- 0.8510 + 0.0044 \cdot T + 0.00068 \cdot T^2$	$- 0.8510 + 0.0044 \cdot T + 0.00068 \cdot T^2$	$\cos(a)$
$- 0.0064 \cdot T + 0.00004 \cdot T^2$	$- 0.0064 \cdot T + 0.00004 \cdot T^2$	$\sin(b)$
$+ 0.2397 - 0.0012 \cdot T - 0.00008 \cdot T^2$	$+ 0.2397 - 0.0012 \cdot T - 0.00008 \cdot T^2$	$\cos(b)$
$- 0.0010 \cdot T$	$- 0.0010 \cdot T$	$\sin(c)$
$+ 0.1245 + 0.0006 \cdot T$	$+ 0.1245 + 0.0006 \cdot T$	$\cos(c)$
$+ 0.0024 \cdot T - 0.00003 \cdot T^2$	$+ 0.0024 \cdot T - 0.00003 \cdot T^2$	$\sin(d)$
$+ 0.0477 - 0.0005 \cdot T - 0.00006 \cdot T^2$	$+ 0.0477 - 0.0005 \cdot T - 0.00006 \cdot T^2$	$\cos(d)$

Alle Ausdrücke gelten in einem Zeitraum zwischen $-2000$ und $+4000$. Der Fehler liegt etwa bei maximal 4 Stunden. Für Uranus, Neptun und Pluto liefert Meeus keine Reihenentwicklungen.

Beispiel 4

Man berechne den Zeitpunkt des 1. Stillstands von Mars vor seiner Opposition für das Jahr 2024!

Das nachfolgende Beispiel berechnet den Stillstand in ekliptikaler Länge, nicht in der Rektaszension des Planeten!

In den Tabellen 4 & 5 für die Aspekte findet man für Mars die folgenden Beziehungen für den mittleren Zeitpunkt $JDE_0$ der Opposition und die mittlere Anomalie $M$ der Erde: (jeweils obere Werte für die Opposition)

$\begin{align} JDE_0 =&\;2452097.382\\ &+779.9361034331\cdot k\\ &-7.2133\cdot 10^{-7}\cdot k^2\\ &-9.3\cdot 10^{-10}\cdot k^3\\ M =&\;181\overset{\circ}{.}9570635522 + 48\overset{\circ}{.}7052321139\cdot k \end{align}$

Für das Jahr $J$ setzt man $J = 2024.0$ in dezimaler Schreibweise an. Man berechnet nun das nächstgelegene $k$ mittels der Rundungsfunktion

$\begin{align} k &= \textrm{round}\left(\frac{365.25\cdot J + 1721060 - A}{B}\right)\\ &= \textrm{round}\left(\frac{365.25\cdot 2024.5 + 1721060 - 2452097.382}{779.9361034331}\right)\\ &= 11 \end{align}$

wobei $A$ und $B$ jeweils der konstante bzw. lineare Koeffizient in der Gleichung von $JDE_0$ sind. Damit ergeben sich nun der mittlere Zeitpunkt der Opposition

$\begin{align} JDE_0 =&\;2452097.382\\ &+779.9361034331\cdot 11\\ &-7.2133\cdot 10^{-7}\cdot 11^2\\ &-9.3\cdot 10^{-10}\cdot 11^3\\ &= 2460676.679049246 \end{align}$

sowie mittlere Anomalie der Erde mit

$\begin{align} M &= 181\overset{\circ}{.}9570635522 + 48\overset{\circ}{.}7052321139\cdot 11\\ &= 717\overset{\circ}{.}7146168051\\ &= 357\overset{\circ}{.}7146168051 \end{align}$

Es wurde die Reduktionsfunktion verwendet, um den großen Winkel in das Intervall [0°-360°] zu bringen.

Die julianischen Jahrhunderte $T$ gemessen von $J2000$ sind nun

$\begin{align} T &= \frac{(JDE_0 - 2451545.0)}{36525}\\ &= \frac{(2460676.679049246 - 2451545.0)}{36525}\\ &= 0.2500117467281592 \end{align}$

Am Wert von $T = 0.\color{#cc0000}{25}00117\dots$ kann man nun bereits erkennen, dass die Opposition von Mars nicht im Jahr 2024 stattfindet, sondern 2025! Der 1. Stillstand des Planeten findet aber vor der Opposition statt, sodass dieser durchaus noch in das Jahr 2024 fallen könnte.

Mittels $T$ und $M$ berechnet man die Summe der periodischen Terme $\Delta JDE_{1s}$, die in der Tabelle 20 für Mars in der Spalte „vor der Opposition (Station 1)“ angegeben sind:

$\begin{align} \Delta JDE_{1s} =& -37.0790 - 0.0009\cdot T + 0.00002\cdot T^2\\ &(-20.0651 + 0.0228\cdot T + 0.00004\cdot T^2)\cdot \sin(M)\\ &(+14.5205 + 0.0504\cdot T - 0.00001\cdot T^2)\cdot \cos(M)\\ &(+1.1737 - 0.0169\cdot T)\cdot sin(2\cdot M)\\ &(-4.2550 - 0.0075\cdot T + 0.00008\cdot T^2)\cdot \cos(2\cdot M)\\ &(+0.4897 + 0.0074\cdot T - 0.00001\cdot T^2)\cdot \sin(3\cdot M)\\ &(+1.1151 - 0.0021\cdot T - 0.00005\cdot T^2)\cdot \cos(3\cdot M)\\ &(-0.3636 - 0.0020\cdot T + 0.00001\cdot T^2)\cdot \sin(4\cdot M)\\ &(-0.1769 + 0.0028\cdot T + 0.00002\cdot T^2)\cdot \cos(4\cdot M)\\ &(+0.1437 - 0.0004\cdot T)\cdot \sin(5\cdot M)\\ &(-0.0383 - 0.0016\cdot T)\cdot \cos(5\cdot M)\\ &= -25.228880540702143 \end{align}$

Die Summe der periodischen Terme wird zu $JDE_0$ addiert, um den Zeitpunkt des 1. Stillstands von Mars zu erhalten:

$\begin{align} JDE =&\;JDE_0 + \Delta JDE_{1s}\\ &=2460676.679049246 + (-25.228880540702143)\\ &=2460651.450168705 \end{align}$

Der erhaltene julianische Tag ist in der Zeitskala der dynamischen Zeit gegeben. Die Umwandlung des julianischen Tages in ein Kalenderdatum ergibt den $6.12.202\color{#cc0000}{4}, \textrm{22:48}\;TD$.

Der 1. Stillstand von Mars findet also tatsächlich noch 2024 statt, die Opposition des Planeten aber erst im Januar 2025. Auf eine Rückrechnung in Weltzeit $UT$ kann im Rahmen der Genauigkeit dieses Algorithmus verzichtet werden.

Die Astronomiesoftware Alcyone gibt eine konstante ekliptikale Position von Mars im Zeitraum von $6.12.2024,\textrm{21:12}\;TD$ bis $7.12.2024,\textrm{01:56}\;TD$ an.

Die JPL HORIZONS Daten geben eine konstante ekliptikale Position von Mars im Zeitraum von $6.12.2024,\textrm{23:30}\;TD$ bis $6.12.2024,\textrm{23:39}\;TD$ an.

1. Stillstand von Mars 2024
Dieses Beispiel	Alcyone	HORIZONS
$6.12.2022,\textrm{22:48}\;TD$	$6.12.2024,\textrm{21:12}\;TD$ bis $7.12.2024,\textrm{01:56}\;TD$	$6.12.2024,\textrm{23:30}\;TD$ bis $\textrm{23:39}\;TD$