Konstellationen des Erdmondes

Die gesamte Darstellung der Konstellationen des Mondes beruhen auf der Mondtheorie von J. Meeus. Eine ähnliche Illustration der Reihenentwicklungen basierend auf der Brownschen Mondtheorie existiert nicht, was auch nicht sinnvoll ist. Mit den beiden Theorien kommt man auf die gleichen und genauen Ergebnisse. J. Meeus äußert sich in seinen Büchern jedoch nicht darüber, wie er denn auf diese Reihenentwicklungen gekommen ist.

Hier wird eine Methode vorgestellt, die mit genäherten Zeiten den minimalen Mondabstand (Perigäum) und den maximalen Mondabstand (Apogäum) zur Erde berechnet.

Mit der dezimalen Jahreszahl $J$ sind $k$ und $T$:

$$k = 13\overset{\circ}{.}2555241 \cdot (J - 1999.975342465)\tag{1}$$ $$T = \frac{k}{1325.55241}\tag{2}$$

Das mittlere Perigäum bzw. Apogäum in julianischen Tagen erhält man zunächst mittels

\[\begin{align} JDE_{\pi} =&\; 2451534\overset{d}{.}6698 \\ &+ 27.55454989 \cdot k \\ &- 6\overset{d}{.}691 \cdot 10^{-4} \cdot T^2 \\ &- 1\overset{d}{.}098 \cdot 10^{-6} \cdot T^3 \\ &+ 5\overset{d}{.}2 \cdot 10^{-9} \cdot T^4 \end{align}\tag{3}\]

$k$ ist eine Ganzzahl (Integer) für das Perigäum, sowie ein Integer vermehrt um $0.5$ für das Apogäum. Andere $k$-Werte liefern sinnlose Werte! Jetzt werden die modifizierten Bahnelemente gebraucht:

Als nächstes benötigt man die Summenterme aus der obigen Tabelle, die wie folgt berechnet werden:

Die wahre Perigäums- und Apogäumszeit und Parallaxe lautet:

$$JDE_p = JDE_{\pi} + \Delta JDE_p\tag{4}$$ $$JDE_a = JDE_{\pi} + \Delta JDE_a\tag{5}$$ $$\Pi_p = 3629\overset{''}{.}215 + \Delta\pi_p\tag{6}$$ $$\Pi_a = 3245\overset{''}{.}251 + \Delta\pi_a\tag{7}$$

Die Umrechnung der Parallaxen $\Pi_p$ und $\Pi_a$ in den geozentrischen Abstand erfolgt mit Gleichung: $$\Delta = \frac{R_E}{\sin(\Pi_u)}\tag{8}$$

$u$ steht wahlweise für den Index $p$ oder $a$. Das $JDE_{p/a}$ kann hier in das entsprechende Kalenderdatum umgerechnet werden, das Resultat ist dann in dynamischer Zeit.

Die hier dokumentierten Knotendurchgänge sind deshalb auch zur Finsternisberechnung relevant. Mit der dezimalen Jahreszahl $J$ sind $k$ und $T$:

$$k = 13\overset{\circ}{.}42227827 \cdot (J - 2000.05)\tag{9}$$ $$T = \frac{k}{1342227827}\tag{10}$$

Den mittleren Zeitpunkt des Knotendurchgangs in julianischen Tagen erhält man zunächst mittels

\[\begin{align} JDE_{\Omega} =&\; 2451565\overset{d}{.}1619 \\ &+ 27.212220817 \cdot k \\ &+ 2\overset{d}{.}762 \cdot 10^{-4} \cdot T^2 \\ &+ 2\overset{d}{.}1 \cdot 10^{-8} \cdot T^3 \\ &-8\overset{d}{.}8 \cdot 10^{-11} \cdot T^4 \end{align}\tag{11}\]

$k$ ist eine Ganzzahl (Integer) für den aufsteigenden Knoten, sowie ein Integer vermehrt um $0.5$ für den absteigenden Knoten. Andere $k$ liefern sinnlose Werte!

Jetzt werden die modifizierten Bahnelemente gebraucht:

$$\Delta JD_{\Omega} = \displaystyle\sum_{i=1}^{19}\Delta\Omega_i\cdot \sin(a_i \cdot D + b_i \cdot M + c_i \cdot m)\tag{12}$$

Der wahre Zeitpunkt der Knotenpassage: \[\begin{align} JDE_{\Omega}' =&\; JDE_{\Omega} \\ &+ \Delta JD_{\Omega} \\ &+ 0\overset{d}{.}0017 \sin(\Omega) \\ &+ 0\overset{d}{.}0003 \sin(V) \\ &+ 0\overset{d}{.}0003 \sin(N + \Omega) \end{align}\tag{13}\]

mit

$$V = 299\overset{\circ}{.}75 + 132\overset{\circ}{.}85 \cdot T - 0\overset{\circ}{.}0091731 \cdot T^2\tag{14}$$ $$N = 272\overset{\circ}{.}75 - 2\overset{\circ}{.}3 \cdot T\tag{15}$$

Das $JDE_{\Omega}'$ kann hier in das entsprechende Kalenderdatum umgerechnet werden, das Resultat ist dann in dynamischer Zeit.

Mit der dezimalen Jahreszahl $J$ sind $k$ und $T$:

$$k = 13\overset{\circ}{.}36855226 \cdot (J - 2000.03)\tag{16}$$ $$T = \frac{k}{1336.855226}\tag{17}$$

\[\begin{matrix} \textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:} \end{matrix}\quad JDE_0 = \left(\begin{matrix} 2451562\overset{d}{.}5897 \\ 2451548\overset{d}{.}9289 \end{matrix}\right) + 27.321582247 \cdot k + 1\overset{d}{.}19804 \cdot 10^{-4} \cdot T^2 - 1\overset{d}{.}41 \cdot 10^{-7} \cdot T^3\tag{18}\]

\[\left(\begin{matrix} \delta_{Nord} = + \delta \\ \delta_{Süd} = - \delta \end{matrix}\right) \quad\text{mit}\quad \delta = + 23\overset{\circ}{.}6961 - 0\overset{\circ}{.}013004 \cdot T + \left(\begin{matrix} \Delta\delta_n \\ \Delta\delta_s \end{matrix}\right)\tag{19}\]

$k$ ist eine Ganzzahl (Integer) abwechselnd erst für die größten nördlichen und dann die größten südlichen Deklinationen. Andere $k$ liefern sinnlose Werte!

Jetzt werden die modifizierten Bahnelemente gebraucht:

Die mittlere Anomalie des Mondes: \[\begin{matrix} \textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:} \end{matrix}\quad m = \left( \begin{matrix} 4\overset{\circ}{.}6881 \\ 186\overset{\circ}{.}2100 \end{matrix} \right) + 356.9562794 \cdot k + 0\overset{\circ}{.}0103066 \cdot T^2 + 1\overset{\circ}{.}251 \cdot 10^{-5} \cdot T^3\tag{20}\]

Die mittlere Anomalie der Sonne: \[\begin{matrix} \textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:} \end{matrix}\quad M = \left( \begin{matrix} 14\overset{\circ}{.}8591 \\ 1\overset{\circ}{.}3951 \end{matrix} \right) + 26.9281592 \cdot k - 3\overset{\circ}{.}55 \cdot 10^{-5} \cdot T^2 - 1\overset{\circ}{.}0 \cdot 10^{-7} \cdot T^3\tag{21}\]

Die Elongation des Mondes: \[\begin{matrix} \textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:} \end{matrix}\quad D = \left( \begin{matrix} 152\overset{\circ}{.}2029 \\ 345\overset{\circ}{.}6676 \end{matrix} \right) + 333.0705546 \cdot k - 4\overset{\circ}{.}214 \cdot 10^{-4} \cdot T^2 + 1\overset{\circ}{.}1 \cdot 10^{-7} \cdot T^3\tag{22}\]

Das Argument der Breite: \[\begin{matrix} \textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:} \end{matrix}\quad F = \left( \begin{matrix} 325\overset{\circ}{.}8867 \\ 145\overset{\circ}{.}1633 \end{matrix} \right) + 1.4467807 \cdot k - 2\overset{\circ}{.}0690 \cdot 10^{-3} \cdot T^2 - 2\overset{\circ}{.}15 \cdot 10^{-6} \cdot T^3\tag{23}\]

Abb. 1: Maximale und minimale Deklination des Mondes

mit E aus der Knotenpassage. Der wahre Zeitpunkt der größten Deklinationen ist nun:

\[\begin{align} JDE_{Nord} &= JDE_{0Nord} + \Delta JDE_n \\\\ JDE_{Süd} &= JDE_{0Süd} + \Delta JDE_s \end{align}\tag{24}\]

Das $JDE_{Nord/Süd}$ kann hier in das entsprechende Kalenderdatum umgerechnet werden, das Resultat ist dann in dynamischer Zeit.