Koordinatentransformation

Der Bezug ist der Schnittpunkt Ekliptik/Bahnebene. Vorher war es mit der wahren Anomalie $\nu$ das Perihel. Man bewegt sich in der Bahnebene des Himmelsobjekts. Es gilt:

$$\begin{align} x &= r \cdot \cos(u) \\ y &= r \cdot \sin(u) \\ z &= 0\end{align}\tag{1}$$ $u$ ist das Argument der Breite mit $u = \nu + \omega $. aus dem Abschnitt über die Kegelschnitte.

Die Bahnebene wird über die Inklination $i$ in die Ekliptik gekippt und dann um die Knotenlänge $\Omega$ zum Frühlingspunkt gedreht. Das ist der neue Bezugspunkt im System.

Abb. 1

\[\begin{align} \cos(l)\cdot\cos(b) &=\, x = \cos(u)\cdot\cos(\Omega) - \sin(u)\cdot\cos(i)\cdot\sin(\Omega) \\ \sin(l)\cdot\cos(b) &=\, y = \cos(u)\cdot\sin(\Omega) + \sin(u)\cdot\cos(i)\cdot\cos(\Omega) \\ \sin(b) &=\, z = \sin(u)\cdot\sin(i) \end{align}\tag{2}\]

Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über sphärische Koordinaten. Man erhält die heliozentrisch ekliptikalen Koordinaten $l$ (Länge) und $b$ (Breite).

An dieser Stelle wird die Sichtlinie von der Sonne aus zur Erde verschoben. Man bleibt in der Ekliptik. $L$, $B$ und $R$ sind die heliozentrisch ekliptikalen Koordinaten der Erde. Der Frühlingspunkt bleibt Bezugspunkt.

Abb. 2

\[\begin{align} \Delta\cdot\cos(\lambda)\cdot\cos(\beta) &=\, x = r\cdot\cos(l)\cdot\cos(b) - R\cdot\cos(L)\cdot\cos(B) \\ \Delta\cdot\sin(\lambda)\cdot\cos(\beta) &=\, y = r\cdot\sin(l)\cdot\cos(b) - R\cdot\sin(L)\cdot\cos(B) \\ \Delta\cdot\sin(\beta) &=\, z = r\cdot\sin(b) - R\cdot\sin(B) \end{align}\tag{3}\]

Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über sphärische Koordinaten. Man erhält die geozentrisch ekliptikalen Koordinaten $\lambda$ (Länge), $\beta$ (Breite) und die geozentrische Distanz $\Delta$ des Himmelsobjekts zur Erde.

Mit dem äquatorialen Koordinaten wechselt man in ein rotierendes System. Dazu muss die Ekliptikschiefe $\varepsilon$ eingeführt werden, denn um die wird die Eklipitikebene in das äquatoriale System gekippt. Der Frühlingspunkt bleibt Bezugspunkt.

Für die Epoche $J2000$ gilt: $\varepsilon = 23^\circ 26'21\overset{''}{.}448 = 23\overset{\circ}{.}43929111$. Mehr dazu hier.

Abb. 3

\[\begin{align} \cos(\delta)\cdot \cos (\alpha) &=\, x = \cos(\beta)\cdot\cos(\lambda) \\ \cos(\delta)\cdot\sin(\alpha) &=\, y = \cos(\beta)\cdot\sin(\lambda)\cdot\cos(\varepsilon) - \sin(\beta)\cdot\sin(\varepsilon) \\ \sin(\delta) &=\, z = \cos(\beta)\cdot\sin(\lambda)\cdot\sin(\varepsilon) + \sin(\beta)\cdot\cos(\varepsilon) \end{align}\tag{4}\]

Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über sphärische Koordinaten. Man erhält die geozentrisch äquatorialen Koordinaten $\alpha$ (Länge, Rektaszension) und $\delta$ (Breite, Deklination) des Himmelsobjekts zur Erde.

Hier wird wieder die Sichtlinie von dem Erdmittelpunkt an die Erdoberfläche verschoben. Der geozentrische Abstand $\rho$ berücksichtigt die Abplattung des Erdkörpers.

Abb. 4

\[\begin{align} \Delta'\cdot\cos(\alpha')\cdot\cos(\delta') &= x = \Delta\cdot\cos(\alpha)\cdot\cos(\delta) - \rho\cdot\cos(\theta)\cdot\cos(\beta_0) \\ \Delta'\cdot\sin(\alpha')\cdot\cos(\delta') &= y = \Delta\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos(\delta) - \rho\cdot\sin(\theta)\cdot\cos(\beta_0) \\ \Delta'\cdot\sin(\delta') &= z = \Delta\cdot\sin(\delta) - \rho\cdot\sin(\beta_0) \end{align}\tag{6}\]

Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über sphärische Koordinaten. Man erhält die topozentrische äquatoriale Länge $\alpha'$ und Breite $\delta'$, sowie die topozentrische Distanz $\Delta'$ des Himmelsobjekts zum Beobachter.

In diesem Abschnitt wechselt man endgültig ist das bürgerliche System, das man als Beobachter kennt.

Abb. 5

\[\begin{align} \cos(h)\cdot\cos(A) &= x =\cos(\delta')\cdot\cos(\theta - \alpha')\cdot\sin(\beta_0) - \sin(\delta')\cdot\cos(\beta_0) \\ \cos(h)\cdot\sin(A) &= y = \cos(\delta')\cdot\sin(\theta - \alpha') \\ \sin(h) &= z = \cos(\delta')\cdot\cos(\theta - \alpha')\cdot\cos(\beta_0) + \sin(\delta')\cdot\sin(\beta_0) \end{align}\tag{7}\]

Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über sphärische Koordinaten. Man erhält die azimutalen oder horizontalen Koordinaten $A$ (Azimut) und $h$ (Höhe).

Das Baryzentrum ist nichts anderes als der Schwerpunkt eines Systems. Dieser fällt in der Regel nicht mit dem Massenmittelpunkt zusammen. Dies ist für das Erde - Mond System, das Pluto - Charon System und dem Sonnensystem selbst wichtig. Tatsächlich rotiert man um den Schwerpunkt, nicht um den Mittelpunkt.

Abb. 6

\[\begin{align} r_B \cdot \cos(b_B) \cdot \cos(l_B) &= x = r \cdot \cos(b) \cdot \cos(l) - G \cdot \cos(B) \cdot \cos(L) \\ r_B \cdot \cos(b_B) \cdot \sin(l_B) &= y = r \cdot \cos(b) \cdot \sin(l) - G \cdot \cos(B) \cdot \sin(L) \\ r_B \cdot \sin(b_B) &= z = r \cdot \sin(b) - G \cdot \sin(B) \end{align}\tag{8}\]

Nach Jacques Laskar erhält man die mittlere Schiefe der Ekliptik $\varepsilon_{0}$ über einen Zeitraum von $J2000 \pm 10000$ Jahren mit dem folgenden Polynom. Dabei ist der Parameter $u = \frac{T}{100}$ oder

$$u = \frac{JD - 2451545.0}{3652500}\tag{9}$$

\[\begin{align} \varepsilon_{0} =&+ 84381\overset{''}{.}448 - 4680\overset{''}{.}93\cdot u\\ &- 1\overset{''}{.}55\cdot u^2 + 1999\overset{''}{.}25\cdot u^3\\ &- 51\overset{''}{.}38\cdot u^4 - 249\overset{''}{.}67\cdot u^5\\ &- 39\overset{''}{.}05\cdot u^6 + 7\overset{''}{.}12\cdot u^7\\ &+ 27\overset{''}{.}87\cdot u^8 + 5\overset{''}{.}79\cdot u^9\\ &+ 2\overset{''}{.}45\cdot u^{10} \end{align}\tag{10}\]

Man beachte hier die Angabe von $\varepsilon_{0}$ in Bogensekunden, man muss noch durch $3600$ teilen, um Grad zu erhalten. Die Genauigkeit dieses Ausdrucks wird vom Autor mit $0\overset{''}{.}01$ für $J2000 \pm 1000$ Jahren (d. h. zwischen 1000 und 3000 n.Chr.) und auf einige Bogensekunden nach $J2000 \pm 10000$ Jahren angegeben.

Abb. 7: Mittlere Schiefe der Ekliptik im Laufe der Jahrtausende

Die Abb.7 zeigt die Variation von $\varepsilon_0$ von 10.000 Jahren zu beiden Seiten des Jahres 2000 n.Chr. Nach Laskars Formel war die Neigung der Erdachse im Laufe des Jahres $-7530$ maximal ($24^{\circ}14'0''$), um etwa $+12030$ wird ein Minimum ($22^{\circ}36'4''$) erreicht. Durch reinen Zufall befinden wir uns derzeit etwa auf halbem Weg zwischen diesen Extremwerten, etwa in der Mitte der Kurve in der Abbildung. Hier ist der Graph nahezu linear; aus diesem Grund ist in der Formel der Koeffizient von $u^2$ sehr klein.