Die Planetoiden

Die Planetoiden haben keine mittleren Bahnelemente, sondern oskulierende (anschmiegend, von lat. osculari = küssen) Bahnelemente, die aufgrund starker Störungen durch die Sonne und die Planeten nur für einen kurzen Zeitraum gültig sind. Das sind etwa 200 Tage vor und nach dem angegebenen Termin.

Abb. 1: Das Prinzip der oskulierenden Bahnelemente

Die gewünschten Planetoiden können einzeln oder alle (viel Spaß!) für jedweden Wunschtermin – sei es in der Vergangenheit, Gegenwart oder Zukunft – von dem Server des Jet Propulsion Laboratory (JPL) heruntergeladen werden. Der Link lautet:

Hat man die Bahnelemente $a, \varepsilon, i, \Omega, \varpi, \omega, n, M, \nu$ und die Perihelzeit $t_p$ erhalten, so kann man alle Koordinaten berechnen.

Es folgt eine Auswahl der hellsten Planetoiden mit Magnitude $V(1,0)$, Phasenkoeffizient $k_\varphi$ und Helligkeitskoeffizient $H$ und $G$.

Die Helligkeiten der Planetoiden werden im Astronomical Almanac bis 1988 mit der alten Version und seit 1989 mit der neuen Version berechnet. Für bessere Vergleiche mit den alten Ephemeriden sind beide Darstellungen sinnvoll. Ist der Erdabstand $\Delta$ bekannt, so ermittelt man die Helligkeit der Asteroiden deshalb auf zweierlei Weise:

$$V(a,\varphi) = V(1,0) + 5\cdot \log_{10}(r \Delta) + F(\varphi,k_{\varphi})\tag{1}$$

mit

$$F(\varphi,k_{\varphi}) = \varphi\cdot k_{\varphi}\cdot a (\varphi) + \big(7\overset{\circ}{.}0 \ k_{\varphi} - 0\overset{m}{.}538 + 0\overset{m}{.}134\cdot \varphi^{0.714}\big)\cdot b(\varphi)\tag{2}$$

und

$$a(\varphi) = \left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right) \qquad \varphi > 7\overset{\circ}{.}0\tag{3}$$ $$b(\varphi) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right) \qquad \varphi \leq 7\overset{\circ}{.}0\tag{4}$$

$$m_V = H + 5\cdot \log_{10}(r \Delta) - 2.5\cdot \log_{10}\big((1 - G)\cdot \Phi_1 + G\cdot \Phi_2\big)\tag{5}$$

mit

$$\Phi_1(\varphi) = \exp(- 3.33\cdot \tan\left[ \left( \frac{\varphi}{2} \right)^{0.63} \right]\tag{6}$$

und

$$\Phi_2(\varphi) = \exp(- 1.87\cdot \tan\left[ \left( \frac{\varphi}{2} \right)^{1.22} \right]\tag{7}$$

$F(\varphi , k_{\varphi})$ steht hier für den Oppositionseffekt der Planetoiden. Ist $\varphi$ < $7\overset{\circ}{.}0$, so steigt die Helligkeit häufig um $0\overset{m}{.}4$ an. Der Wert von $V(a,\varphi)$ wird kleiner.

Wird die mittlere Oppositionshelligkeit $V(a,0)$ benötigt, so berechnet man (G.D. Roth):

$$V(a,0) = V(1,0) + 5\cdot \log_{10}\big(a\cdot (a - 1)\big)\tag{8}$$

$V(1,0)$ ist die absolute Helligkeit der Planetoiden. $V(1,0)$ wurde mit der Relation

$$V(1,0) = B(1,0) + 0\overset{m}{.}176 - 1.090\cdot (B-V)\tag{0}$$

berechnet. W. Wepner schlägt für die Kleinplaneten den mittleren Phasenkoeffizienten k$_{\varphi}$ = $0\overset{\frac{m}{\circ}}{.}023$ mit $a$ als der großen Halbachse des Kleinplaneten vor:

$$V(a,0) = V(1,0) + 5\cdot \log_{10} \big(a\cdot (a - 1)\big) + 0\overset{^{\frac{m}{\circ}}}{.}023\cdot \varphi\tag{10}$$