Mathematische Grundlagen

In diesem Kapitel werden die wichtigsten Formeln - die hier im Wiki vorkommen - illustriert.

Ein voller Kreis wird in 360° geteilt. $1^\circ$ ist dann logischerweise der $\frac{1}{360}$ Teil eines Vollkreises.

Abb. 1

Mit Hilfe der Kreiszahl $\pi = 3.14159265\ldots$ wird aus dem Bogenmaß $s$ das Gradmaß $\alpha$ berechnet: $$\alpha = \frac{180^{\circ}}{\pi}\cdot s\tag{1}$$

Diese Zahl ist dimensionslos, ihr Zeichen ist °.

Weitere Unterteilungen sind die Bogenminute $'$ und die Bogensekunde $''$:

• $1'$ = 1 Bogenminute = $\tfrac{1}{60}$ Teil eines Grades = $\tfrac{1}{21600}$ Teil eines Vollkreises
• $1''$ = 1 Bogensekunde = $\tfrac{1}{60}$ Teil einer Bogenminute = $\tfrac{1}{1296000}$ Teil eines Vollkreises

Abb. 2

Das Bogenmaß eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis der Länge des Kreisbogens $s$ zum Radius $r$. Der Vollkreis, also der gesamte Bogen des Kreises (Umfang) lautet $2\pi r$. Das Bogenmaß für den Vollkreis lautet daher $\frac{2\pi r}{r} = 2\pi$.

Die Umkehrung erfolgt mit der Gleichung: $$ s = \frac{\pi}{180^{\circ}}\cdot\alpha\tag{2}$$

Die Bezeichnung lautet Radian (englisch) bzw. Radiant und ihr Wert ist dimensionslos.

Diese beiden Funktionen bestimmen das Vorzeichen einer Zahl.

Der Absolutwert einer Variablen $x$ wird durch die Betragsfunktion $|x|$ bestimmt, die häufig auch als $abs(x)$ bezeichnet wird. \[|x| = \begin{cases} + x \\ - x \end{cases} \quad \text{falls} \quad \begin{matrix} x \geq 0 \\ x < 0 \end{matrix}\tag{3}\]

Das Vorzeichen einer Variablen $x$ wird durch die Signumsfunktion $\mathrm{sgn}(x)$ bestimmt. \[\mathrm{sgn}(x) = \begin{cases} + 1 \\ - 1 \\ 0 \end{cases} \quad \text{falls} \quad \begin{matrix} x > 0 \\ x < 0 \\ x = 0 \end{matrix}\tag{4}\]

Abb. 3

Volle Punkte gehören zur Funktion, leere Punkte hingegen nicht.
Die floor-Funktion bestimmt die nächstkleinere ganze Zahl (floor ⇒ englisch für „Boden“)

$$\mathrm{floor}(x)=\lfloor x\rfloor\tag{5}$$

Abb. 4

Die Ceilingfunktion bestimmt die nächstgrößere ganze Zahl (ceiling ⇒ englisch für „Decke“).

$$\mathrm{ceil}(x)=\lceil x\rceil\tag{6}$$

Die Ceiling-Funktion hat keine alternativen Bezeichnungen.

Abb. 5

Die Trunc-Funktion gibt den ganzzahligen Wert einer Zahl wieder. Die Nachkommastellen werden abgeschnitten.

$$\mathrm{trunc}(x) = \mathrm{fix}(x)\tag{7}$$

console.log(Math.floor(298.99785))  // => 298 (nächstkleinere Ganzzahl)
console.log(Math.trunc(298.99785))  // => 298 (Kommastellen abgeschnitten)
console.log(Math.floor(-298.99785)) // => -299 (nächstkleinere Ganzzahl)
console.log(Math.trunc(-298.99785)) // => -298 (Kommastellen abgeschnitten)

Abb. 6

Die frac-Funktion gibt nur den Nachkommawert einer Zahl wieder. Die Vorkommastellen werden abgeschnitten.

$$\mathrm{frac}(x) = \{x\} = x - \mathrm{trunc}(x)\tag{8}$$

Mit Hilfe der Reduktionsfunktion kann ein Wert $x$ auf ein Intervall zwischen 0 und $y$, $-y$ und 0 oder auch auf ein Wert zwischen $-y$ und $+y$ reduziert werden. Das ist wichtig, wenn man mit Werten von $\gt 360^{\circ}$, $\gt 24^h$ oder $\lt 0^{\circ}$, bzw. $\lt 0^h$ zu tun hat. Es gilt:

$$\mathrm{red}_1 = x - \lfloor \frac{x}{y} \rfloor\cdot y \qquad\forall x \geq 0\tag{9}$$ $$\mathrm{red}_1 = x - \lceil \frac{x}{y} \rceil\cdot y \qquad\forall x \leq 0\tag{10}$$

Diese beiden Gleichungen reduzieren den Wert $x$ auf ein Intervall [0,$y$] (oben) und [$-y$,0] (unten). Die nachfolgende Gleichung reduziert auf ein Intervall von [$-y$,$\,y$].

$$\mathrm{red_2}(x) = x - \mathrm{trunc}\left(\frac{x}{y}\right)\cdot y\tag{11}$$

function red(deg) {
  return (deg % 360 + 360) % 360;
}

Die Rundungsfunktion spielt im Zusammenhang mit der Genauigkeit eine Rolle.

$$\mathrm{round}(x,y) = \lfloor 10^y x + 0.5 \rfloor 10^{-y} \qquad\forall x\geq 0\tag{12}$$ $$\mathrm{round}(x,y) = \lceil 10^y x + 0.5 \rceil 10^{-y} \qquad\forall x\leq 0\tag{13}$$

Diese Funktion rundet den Wert $x$ auf $y$ Stellen hinter dem Komma. Es handelt sich um die sogenannte kaufmännische Rundung.

Das Sexagesimalsystem ist eine formatierte Ausgabe, basierend auf dem $\tfrac{1}{60}$ Teil der Zahl $W$. Die Konvertierung vom Dezimalsystem zum Sexagesimalsystem ist folgender: Man startet mit W in Umdrehungen oder Tagen. Liegt $W$ jedoch in Grad oder Stunden vor, so ist der Wert vorab entsprechend durch 360$^{\circ}$ bzw. 24$^h$ zu teilen. Ggf. überspringt man $a$ und macht mit $b$ weiter.

Mit $V = \mathrm{sgn}(W)$ lautet die Ausgabe $Va^r b^{\circ} c' d''$ bzw. $Va^d b^h c^m d^s$, wobei $a^r$ die Anzahl der Umdrehungen oder Umläufe ist. Dabei wird $a$ eher selten praktisch verwendet.

Diese Funktionen berechnen den Winkel innerhalb einer geometrischen Abbildung, z.B. einem rechtwinkeligen Dreieck.

Abb. 7

$$\sin (\alpha) = \frac{a}{c},\quad \sin (\beta) = \frac{b}{c}\tag{14}$$

Umkehrfunktion:

$$\arcsin \left(\frac{a}{c}\right) = \alpha ,\quad \arcsin \left(\frac{b}{c}\right) = \beta\tag{15}$$

$\arcsin (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{asn}(\dots)$ abgekürzt.

$$\cos (\alpha) = \frac{a}{c},\quad \cos (\beta) = \frac{b}{c}\tag{16}$$

Umkehrfunktion:

$$\arccos \left( \frac{a}{c} \right) = \alpha ,\quad \arccos \left( \frac{b}{c} \right) = \beta\tag{17}$$

$\arccos (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{acs} (\dots)$ abgekürzt.

$$\tan (\alpha) = \frac{a}{b}, \quad \tan (\beta) = \frac{b}{a}\tag{18}$$

Umkehrfunktion:

$$\arctan \left(\frac{a}{b}\right) = \alpha ,\quad \arctan \left(\frac{b}{a}\right) = \beta\tag{19}$$

$\arctan (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{atn} (\dots)$ abgekürzt.

Es ist

$$ \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}\tag{20}$$

und der „trigonometrische Pythagoras“ lautet

$$\sin^2 (x) + \cos^2 (x) = 1\tag{21}$$

Abb. 8: Einheitskreis, Bezeichnungen, Quadranten

Folgende Werte für die Winkelfuntionen werden häufig benötigt:

Die wichtigsten Identitäten zwischen den trigonometrischen Funktionen sind folgende:

Dem Abschnitt über die quadrantentreue Darstellung hat eine eigene Seite bekommen, weil es es an dieser Stelle immer wieder zu Rechenfehlern kommt.

In Abb.9 sind $a$, $b$ und $c$ die Seiten eines ebenen Dreiecks, $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ die jeweils gegenüberliegenden Winkel und $r_{U}$ der Radius des Umkreises.

Abb. 9

$$ \frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c} = \frac{1}{2\cdot r_{U}}\tag{22}$$

\[\begin{align} a^2 &= b^2 + c^2 - 2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha)\\ \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2\cdot a\cdot c\cdot \cos(\beta)\tag{23}\\ \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\gamma) \end{align}\]

Zur Darstellung der hyperbolischen Bahnen werden Hyperbelfunktionen benötigt. Sie basieren wie die Sinus- und Cosinusfunktionen auf der Eulerzahl $\mathrm{e}$ aus der Exponentialfunktion. Auch deren Umkehrfunktionen Areasinus oder Areacosinus werden hier wiedergegeben.

Abb. 10

Wie bei den normalen trigonometrischen Funktionen können die Hyperbelfunktionen mit einer Taylorreihe approximiert werden:

\[\begin{align} \mathrm{e}^{\pm x} &= \sum_{n=0}^{N}\frac{(\pm x)^{k}}{k!}\tag{24}\\ &= \frac{x^0}{0!} \pm \frac{x^1}{1!} \pm \frac{x^2}{2!} \pm \frac{x^3}{3!} \pm \frac{x^4}{4!} \pm \dots\\ &= 1 \pm x \pm \frac{x^2}{2} \pm \frac{x^3}{6} \pm \frac{x^4}{24} \pm \dots \end{align}\]

\[\begin{align} \sinh(x) &= \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{2}\tag{25}\\ &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \dots \end{align}\]

\[\begin{align} \cosh(x) &= \frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}\tag{26}\\ &= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6!} + \dots \end{align}\]

\[\begin{align} \tanh(x) &= \frac{\sinh (x)}{\cosh(x)} = \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}\\ &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \frac{17 x^7}{315} + \dots\tag{27} \end{align}\]

Die Umkehrfunktionen werden als Areasinus, Areacosinus und Areatangens bezeichnet. Sie sind mittles dem natürlichen Logarithmus wie folgt darstellbar:

\[\begin{align} \operatorname{arsinh}(x) &= \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\\ \operatorname{arcosh}(x) &= \ln(x - \sqrt{x^2 - 1})\quad x\ge 1\tag{28}\\ \operatorname{artanh}(x) &= \frac{1}{2}\cdot \ln(\frac{1+x}{1-x})\quad \forall x\ne 1 \end{align}\]

Aus den Reihenentwicklungen der Hyperbelfunktionen ergeben sich folgende Gleichungen. Die erste Gleichung wird auch als Eulersche Identität bezeichnet.

Die e-Funktion oder auch natürliche Exponentialfunktion beruht auf der eulerschen Zahl.

Abb. 11: Die Exponentialfunktionen zur Basis e

\[\begin{align} \exp(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\tag{29}\\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots\\ \end{align}\]

\[\begin{align} \exp(-x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot x^{n}}{n!}\\ &= 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\tag{30}\\ &= 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} - \dots\\ \end{align}\]

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur oben genannten Exponetialfunktion.

Abb. 12: Logarithmen zur Basis e und Basis 10

\[\begin{align} \ln (x) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cdot (x-1)^n}{n}\\ &= (x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}\tag{31}\\ &-\frac{(x-1)^4}{4} + \dots \quad \forall x\gt 0 \end{align}\]

\[\begin{align} \log_{10} (x)&= \frac{1}{\ln(10)}\cdot \ln (x)\tag{32}\\ &= \frac{1}{\ln(10)}\cdot\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cdot (x-1)^n}{n} \quad \forall x\gt 0 \end{align}\]

Es gilt für jeden Logarithmus zu einer beliebigen Basis $b$:

$$\log_b(x\cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\tag{33}$$

$$\log_b(\frac{x}{y}) = \log_b(x) - \log_b(y)\tag{34}$$

$$\log_b(x^y) = y\cdot \log_b(x)\tag{35}$$

Die Basis des Logarithmus kann gewechselt werden, indem man durch den Logarithmus der alten Basis teilt:

$$\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}\tag{36}$$

Insbesondere gilt für den Wechsel zum natürlichen Logarithmus:

$$\ln(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(\textrm{e})}\tag{37}$$

Die sphärische Trigonometrie wird unter anderem in der Transformation der Koordinaten gebraucht. Die geometrische Definition der Großkreise ist die Schnittlinie zwischen einer Kugel und einer Ebene, die durch den Mittelpunkt $M$ der Kugel verläuft.

Abb. 13

Verbindet man drei Punkte auf einer Kugeloberfläche durch Großkreisestücke, so erhält man ein sphärisches Dreieck wie in Abb.13 dargestellt. Es wird beschrieben durch die Winkel $a$, $b$ und $c$, unter denen die Eckpunkte vom Kugelmittelpunkt $M$ aus erscheinen (kurz Seiten genannt) und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, unter denen sich diese Großkreisestücke in den Eckpunkten schneiden.

Der Seiten-Cosinussatz lautet:

\[\begin{align} \cos(a) &= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b)\cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha) \\ \cos(b) &= \cos(c)\cdot \cos(a) + \sin(c)\cdot \sin(a)\cdot \cos(\beta)\\ \cos(c) &= \cos(a)\cdot \cos(b) + \sin(a)\cdot \sin(b)\cdot \cos(\gamma) \end{align}\tag{38}\]

Der Winkel-Cosinussatz lautet:

\[\begin{align} \cos(\alpha) &= \sin(\beta)\cdot \sin(\gamma)\cdot \cos(a) - \cos(\beta)\cdot \cos(\gamma)\\ \cos(\beta) &= \sin(\gamma)\cdot \sin(\alpha)\cdot \cos(b) - \cos(\gamma)\cdot \cos(\alpha)\\ \cos(\gamma) &= \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\cdot \cos(c) - \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \end{align}\tag{39}\]

Der Sinussatz lautet:

$$\frac{\sin(a)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(b)}{\sin(\beta)} = \frac{\sin(c)}{\sin(\gamma)}\tag{40}$$

Die Seiten-Winkel Gleichungen: \[\begin{align} \sin(a)\cdot \cos(\beta) &= \cos(b)\cdot \sin(c) - \sin(b)\cdot \cos(c)\cdot \cos(\alpha)\\ \sin(b)\cdot \cos(\gamma) &= \cos(c)\cdot \sin(a) - \sin(c)\cdot \cos(a)\cdot \cos(\beta)\\ \sin(c)\cdot \cos(\alpha) &= \cos(a)\cdot \sin(b) - \sin(a)\cdot \cos(b)\cdot \cos(\gamma) \end{align}\tag{41}\]

Winkel-Seiten Gleichungen: \[\begin{align} \sin(\alpha)\cdot \cos(b) &= \cos(\beta)\cdot \sin(\gamma) + \sin(\beta)\cdot \cos(\gamma)\cdot \cos(a)\\ \sin(\beta)\cdot \cos(c) &= \cos(\gamma)\cdot \sin(\alpha) + \sin(\gamma)\cdot \cos(\alpha)\cdot \cos(b)\\ \sin(\gamma)\cdot \cos(a) &= \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) + \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(c) \end{align}\tag{42}\]

Die Umrechnung zwischen karthesisch und sphärisch ist wichtig bei den Koordinatentransformationen.

Abb. 14

Die Umwandlung in die karthesischen Koordinaten ist einfach. Sei $\alpha$ die Länge in der $x,y$-Ebene und $\beta$ die Breite über- oder unterhalb dieser Ebene. $r$ ist der Abstand des Objekts vom Ursprung.

\[\begin{align} x &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(\alpha)\\ y &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \sin(\alpha)\\ z &= r\cdot \sin(\beta)\end{align}\tag{43}\]

Die Umrechnung von karthesisch zu sphärisch ist komplexer, weil die quadrantenrichtige Darstellung berücksichtigt werden muss. Zunächst wird die Breite $\beta$ bestimmt mit

$$\beta = \arcsin\left(\frac{z}{r}\right) \quad \text{mit} \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\tag{44}$$

dann erfolgt die Berechnung der Länge $\alpha$ mit Hilfe von $\varphi$. Es seien $C$ bzw. $S$

$$C=\frac{x}{r\cdot \cos(\beta)}\tag{45}$$ $$S=\frac{y}{r\cdot \cos(\beta)}\tag{46}$$

$$\varphi = \arcsin(S) \quad \text{falls} \quad |S| < 1$$ $$\varphi = \arccos(C) \quad \text{falls} \quad |S| > 1$$

Jetzt erfolgt die quadrantenrichtige Korrektur:

\[\alpha =\begin{cases} 360^{\circ} - \varphi \\ 180^{\circ} - \varphi \end{cases} \quad \textsf{falls} \quad \begin{matrix} C \gt 0 \;\textsf{und}\;S \lt 0 \\ C \lt 0 \end{matrix}\tag{47}\]

Sonst gilt:

$$\alpha = \varphi$$

Um zwei Winkel $\alpha$ und $\beta$ zu addieren oder zu subtrahieren werden die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen benötigt. $$\sin(\alpha\pm\beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)\tag{48}$$ $$\cos(\alpha\pm\beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\tag{49}$$ $$\tan (\alpha\pm \beta) = \frac{\tan(\alpha)\pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}\tag{50}$$

Gilt $\alpha$ = $\beta$ = $\varphi$, so wird zum nachfolgenden Ausdruck abgekürzt: $$\sin(2\cdot\varphi) = 2\cdot \sin(\varphi)\cdot \cos(\varphi)\tag{51}$$ $$\cos(2\cdot\varphi) = \cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi)\tag{52}$$ $$\tan(2\cdot\varphi) = \frac{2\cdot\tan \varphi}{1 - \tan^2(\varphi)}\tag{53}$$

Die Interpolation hat aufgrund ihres Umfangs eine eigene Seite erhalten.

Auch die Iteration (also das Prinzip des rekursiven Einsetzens unter Einhaltung der Konvergenz) wird in einer eigenen Seite dokumentiert.