Mathematische Grundlagen

In diesem Kapitel werden die wichtigsten Formeln - die hier im Wiki vorkommen - illustriert.

Ein voller Kreis wird in 360° geteilt. $1^\circ$ ist dann logischerweise der $\frac{1}{360}$ Teil eines Vollkreises.

Abb. 1

Mit Hilfe der Kreiszahl $\pi = 3.14159265\ldots$ wird aus dem Bogenmass $s$ das Gradmass $\alpha$ berechnet: $$\alpha = \frac{180^{\circ}}{\pi}\cdot s\tag{1}$$

Diese Zahl ist dimensionslos, ihr Zeichen ist °.

Weitere Unterteilungen sind die Bogenminute $'$ und die Bogensekunde $''$:

• $1'$ = 1 Bogenminute = $\tfrac{1}{60}$ Teil eines Grades = $\tfrac{1}{21600}$ Teil eines Vollkreises
• $1''$ = 1 Bogensekunde = $\tfrac{1}{60}$ Teil einer Bogenminute = $\tfrac{1}{1296000}$ Teil eines Vollkreises

Abb. 2

Das Bogenmass eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis der Länge des Kreisbogens $s$ zum Radius $r$. Der Vollkreis, also der gesamte Bogen des Kreises (Umfang) lautet $2\pi r$. Das Bogenmass für den Vollkreis lautet daher $\frac{2\pi r}{r} = 2\pi$.

Die Umkehrung erfolgt mit der Gleichung: $$ s = \frac{\pi}{180^{\circ}}\cdot\alpha\tag{2}$$

Die Bezeichnung lautet Radian (englisch) bzw. Radiant und ihr Wert ist dimensionslos.

Diese beiden Funktionen bestimmen das Vorzeichen einer Zahl.

Der Absolutwert einer Variablen $x$ wird durch die Betragsfunktion $|x|$ bestimmt, die häufig auch als $abs(x)$ bezeichnet wird. \[|x| = \begin{cases} + x \\ - x \end{cases} \quad \text{falls} \quad \begin{matrix} x \geq 0 \\ x < 0 \end{matrix}\tag{3}\]

Das Vorzeichen einer Variablen $x$ wird durch die Signumsfunktion $\mathrm{sgn}(x)$ bestimmt. \[\mathrm{sgn}(x) = \begin{cases} + 1 \\ - 1 \\ 0 \end{cases} \quad \text{falls} \quad \begin{matrix} x > 0 \\ x < 0 \\ x = 0 \end{matrix}\tag{4}\]

Abb. 3

Volle Punkte gehören zur Funktion, leere Punkte hingegen nicht.
Die floor-Funktion bestimmt die nächstkleinere ganze Zahl (floor ⇒ englisch für „Boden“)

$$\mathrm{floor}(x)=\lfloor x\rfloor\tag{5}$$

Abb. 4

Die Ceilingfunktion bestimmt die nächstgrössere ganze Zahl (ceiling ⇒ englisch für „Decke“).

$$\mathrm{ceil}(x)=\lceil x\rceil\tag{6}$$

Die Ceiling-Funktion hat keine alternativen Bezeichnungen.

Abb. 5

Die Trunc-Funktion gibt den ganzzahligen Wert einer Zahl wieder. Die Nachkommastellen werden abgeschnitten.

$$\mathrm{trunc}(x) = \mathrm{fix}(x)\tag{7}$$

console.log(Math.floor(298.99785))  // => 298 (nächstkleinere Ganzzahl)
console.log(Math.trunc(298.99785))  // => 298 (Kommastellen abgeschnitten)
console.log(Math.floor(-298.99785)) // => -299 (nächstkleinere Ganzzahl)
console.log(Math.trunc(-298.99785)) // => -298 (Kommastellen abgeschnitten)

Abb. 6

Die frac-Funktion gibt nur den Nachkommawert einer Zahl wieder. Die Vorkommastellen werden abgeschnitten.

$$\mathrm{frac}(x) = \{x\} = x - \mathrm{trunc}(x)\tag{8}$$

Mit Hilfe der Reduktionsfunktion kann ein Wert $x$ auf ein Intervall zwischen 0 und $y$, $-y$ und 0 oder auch auf ein Wert zwischen $-y$ und $+y$ reduziert werden. Das ist wichtig, wenn man mit Werten von $\gt 360^{\circ}$, $\gt 24^h$ oder $\lt 0^{\circ}$, bzw. $\lt 0^h$ zu tun hat. Es gilt:

$$\mathrm{red}_1 = x - \lfloor \frac{x}{y} \rfloor\cdot y \qquad\forall x \geq 0\tag{9}$$ $$\mathrm{red}_1 = x - \lceil \frac{x}{y} \rceil\cdot y \qquad\forall x \leq 0\tag{10}$$

Diese beiden Gleichungen reduzieren den Wert $x$ auf ein Intervall [0,$y$] (oben) und [$-y$,0] (unten). Die nachfolgende Gleichung reduziert auf ein Intervall von [$-y$,$\,y$].

$$\mathrm{red_2}(x) = x - \mathrm{trunc}\left(\frac{x}{y}\right)\cdot y\tag{11}$$

// JavaScript
function red(deg) {
  return (deg % 360 + 360) % 360;
}

# Python
def red(deg):
    return (deg % 360 + 360) % 360

Die Rundungsfunktion spielt im Zusammenhang mit der Genauigkeit eine Rolle.

$$\mathrm{round}(x,y) = \lfloor 10^y x + 0.5 \rfloor 10^{-y} \qquad\forall x\geq 0\tag{12}$$ $$\mathrm{round}(x,y) = \lceil 10^y x + 0.5 \rceil 10^{-y} \qquad\forall x\leq 0\tag{13}$$

Diese Funktion rundet den Wert $x$ auf $y$ Stellen hinter dem Komma. Es handelt sich um die sogenannte kaufmännische Rundung.

Das Sexagesimalsystem ist eine formatierte Ausgabe, basierend auf dem $\tfrac{1}{60}$ Teil der Zahl $W$. Die Konvertierung vom Dezimalsystem zum Sexagesimalsystem ist folgender: Man startet mit W in Umdrehungen oder Tagen. Liegt $W$ jedoch in Grad oder Stunden vor, so ist der Wert vorab entsprechend durch 360$^{\circ}$ bzw. 24$^h$ zu teilen. Ggf. überspringt man $a$ und macht mit $b$ weiter.

Mit $V = \mathrm{sgn}(W)$ lautet die Ausgabe $Va^r b^{\circ} c' d''$ bzw. $Va^d b^h c^m d^s$, wobei $a^r$ die Anzahl der Umdrehungen oder Umläufe ist. Dabei wird $a$ eher selten praktisch verwendet.

Diese Funktionen berechnen den Winkel innerhalb einer geometrischen Abbildung, z.B. einem rechtwinkeligen Dreieck.

Abb. 7

$$\sin (\alpha) = \frac{a}{c},\quad \sin (\beta) = \frac{b}{c}\tag{14}$$

Umkehrfunktion:

$$\arcsin \left(\frac{a}{c}\right) = \alpha ,\quad \arcsin \left(\frac{b}{c}\right) = \beta\tag{15}$$

$\arcsin (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{asn}(\dots)$ abgekürzt.

$$\cos (\alpha) = \frac{a}{c},\quad \cos (\beta) = \frac{b}{c}\tag{16}$$

Umkehrfunktion:

$$\arccos \left( \frac{a}{c} \right) = \alpha ,\quad \arccos \left( \frac{b}{c} \right) = \beta\tag{17}$$

$\arccos (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{acs} (\dots)$ abgekürzt.

$$\tan (\alpha) = \frac{a}{b}, \quad \tan (\beta) = \frac{b}{a}\tag{18}$$

Umkehrfunktion:

$$\arctan \left(\frac{a}{b}\right) = \alpha ,\quad \arctan \left(\frac{b}{a}\right) = \beta\tag{19}$$

$\arctan (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{atn} (\dots)$ abgekürzt.

Es ist

$$ \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}\tag{20}$$

und der „trigonometrische Pythagoras“ lautet

$$\sin^2 (x) + \cos^2 (x) = 1\tag{21}$$

Abb. 8: Einheitskreis, Bezeichnungen, Quadranten

Folgende Werte für die Winkelfuntionen werden häufig benötigt:

Die wichtigsten Identitäten zwischen den trigonometrischen Funktionen sind folgende:

Dem Abschnitt über die quadrantentreue Darstellung hat eine eigene Seite bekommen, weil es es an dieser Stelle immer wieder zu Rechenfehlern kommt.

In Abb.9 sind $a$, $b$ und $c$ die Seiten eines ebenen Dreiecks, $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ die jeweils gegenüberliegenden Winkel und $r_{U}$ der Radius des Umkreises.

Abb. 9

$$ \frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c} = \frac{1}{2\cdot r_{U}}\tag{22}$$

\[\begin{align} a^2 &= b^2 + c^2 - 2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha)\\ \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2\cdot a\cdot c\cdot \cos(\beta)\tag{23}\\ \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\gamma) \end{align}\]

Zur Darstellung der hyperbolischen Bahnen werden Hyperbelfunktionen benötigt. Sie basieren wie die Sinus- und Cosinusfunktionen auf der Eulerzahl $\mathrm{e}$ aus der Exponentialfunktion. Auch deren Umkehrfunktionen Areasinus oder Areacosinus werden hier wiedergegeben.

Abb. 10

Wie bei den normalen trigonometrischen Funktionen können die Hyperbelfunktionen mit einer Taylorreihe approximiert werden:

\[\begin{align} \mathrm{e}^{\pm x} &= \sum_{n=0}^{N}\frac{(\pm x)^{k}}{k!}\tag{24}\\ &= \frac{x^0}{0!} \pm \frac{x^1}{1!} \pm \frac{x^2}{2!} \pm \frac{x^3}{3!} \pm \frac{x^4}{4!} \pm \dots\\ &= 1 \pm x \pm \frac{x^2}{2} \pm \frac{x^3}{6} \pm \frac{x^4}{24} \pm \dots \end{align}\]

\[\begin{align} \sinh(x) &= \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{2}\tag{25}\\ &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \dots \end{align}\]

\[\begin{align} \cosh(x) &= \frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}\tag{26}\\ &= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6!} + \dots \end{align}\]

\[\begin{align} \tanh(x) &= \frac{\sinh (x)}{\cosh(x)} = \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}\\ &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \frac{17 x^7}{315} + \dots\tag{27} \end{align}\]

Die Umkehrfunktionen werden als Areasinus, Areacosinus und Areatangens bezeichnet. Sie sind mittles dem natürlichen Logarithmus wie folgt darstellbar:

\[\begin{align} \operatorname{arsinh}(x) &= \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\\ \operatorname{arcosh}(x) &= \ln(x - \sqrt{x^2 - 1})\quad x\ge 1\tag{28}\\ \operatorname{artanh}(x) &= \frac{1}{2}\cdot \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\quad \forall x\ne 1 \end{align}\]

Aus den Reihenentwicklungen der Hyperbelfunktionen ergeben sich folgende Gleichungen. Die erste Gleichung wird auch als Eulersche Identität bezeichnet.

Die e-Funktion oder auch natürliche Exponentialfunktion beruht auf der eulerschen Zahl.

Abb. 11: Die Exponentialfunktionen zur Basis e

\[\begin{align} \exp(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\tag{29}\\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots\\ \end{align}\]

\[\begin{align} \exp(-x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot x^{n}}{n!}\\ &= 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\tag{30}\\ &= 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} - \dots\\ \end{align}\]

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur oben genannten Exponetialfunktion.

Abb. 12: Logarithmen zur Basis e und Basis 10

\[\begin{align} \ln (x) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cdot (x-1)^n}{n}\\ &= (x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}\tag{31}\\ &-\frac{(x-1)^4}{4} + \dots \quad \forall x\gt 0 \end{align}\]

\[\begin{align} \log_{10} (x)&= \frac{1}{\ln(10)}\cdot \ln (x)\tag{32}\\ &= \frac{1}{\ln(10)}\cdot\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cdot (x-1)^n}{n} \quad \forall x\gt 0 \end{align}\]

Es gilt für jeden Logarithmus zu einer beliebigen Basis $b$:

$$\log_b(x\cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\tag{33}$$

$$\log_b(\frac{x}{y}) = \log_b(x) - \log_b(y)\tag{34}$$

$$\log_b(x^y) = y\cdot \log_b(x)\tag{35}$$

Die Basis des Logarithmus kann gewechselt werden, indem man durch den Logarithmus der alten Basis teilt:

$$\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}\tag{36}$$

Insbesondere gilt für den Wechsel zum natürlichen Logarithmus:

$$\ln(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(\textrm{e})}\tag{37}$$

Die sphärische Trigonometrie wird unter anderem in der Transformation der Koordinaten gebraucht. Die geometrische Definition der Grosskreise ist die Schnittlinie zwischen einer Kugel und einer Ebene, die durch den Mittelpunkt $M$ der Kugel verläuft.

Abb. 13

Verbindet man drei Punkte auf einer Kugeloberfläche durch Grosskreisestücke, so erhält man ein sphärisches Dreieck wie in Abb.13 dargestellt. Es wird beschrieben durch die Winkel $a$, $b$ und $c$, unter denen die Eckpunkte vom Kugelmittelpunkt $M$ aus erscheinen (kurz Seiten genannt) und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, unter denen sich diese Grosskreisestücke in den Eckpunkten schneiden.

Der Seiten-Cosinussatz lautet:

\[\begin{align} \cos(a) &= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b)\cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha) \\ \cos(b) &= \cos(c)\cdot \cos(a) + \sin(c)\cdot \sin(a)\cdot \cos(\beta)\\ \cos(c) &= \cos(a)\cdot \cos(b) + \sin(a)\cdot \sin(b)\cdot \cos(\gamma) \end{align}\tag{38}\]

Der Winkel-Cosinussatz lautet:

\[\begin{align} \cos(\alpha) &= \sin(\beta)\cdot \sin(\gamma)\cdot \cos(a) - \cos(\beta)\cdot \cos(\gamma)\\ \cos(\beta) &= \sin(\gamma)\cdot \sin(\alpha)\cdot \cos(b) - \cos(\gamma)\cdot \cos(\alpha)\\ \cos(\gamma) &= \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\cdot \cos(c) - \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \end{align}\tag{39}\]

Der Sinussatz lautet:

$$\frac{\sin(a)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(b)}{\sin(\beta)} = \frac{\sin(c)}{\sin(\gamma)}\tag{40}$$

Die Seiten-Winkel Gleichungen: \[\begin{align} \sin(a)\cdot \cos(\beta) &= \cos(b)\cdot \sin(c) - \sin(b)\cdot \cos(c)\cdot \cos(\alpha)\\ \sin(b)\cdot \cos(\gamma) &= \cos(c)\cdot \sin(a) - \sin(c)\cdot \cos(a)\cdot \cos(\beta)\\ \sin(c)\cdot \cos(\alpha) &= \cos(a)\cdot \sin(b) - \sin(a)\cdot \cos(b)\cdot \cos(\gamma) \end{align}\tag{41}\]

Winkel-Seiten Gleichungen: \[\begin{align} \sin(\alpha)\cdot \cos(b) &= \cos(\beta)\cdot \sin(\gamma) + \sin(\beta)\cdot \cos(\gamma)\cdot \cos(a)\\ \sin(\beta)\cdot \cos(c) &= \cos(\gamma)\cdot \sin(\alpha) + \sin(\gamma)\cdot \cos(\alpha)\cdot \cos(b)\\ \sin(\gamma)\cdot \cos(a) &= \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) + \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(c) \end{align}\tag{42}\]

Die Umrechnung zwischen karthesisch und sphärisch ist wichtig bei den Koordinatentransformationen.

Abb. 14

Die Umwandlung in die karthesischen Koordinaten ist einfach. Sei $\alpha$ die Länge in der $x,y$-Ebene und $\beta$ die Breite über- oder unterhalb dieser Ebene. $r$ ist der Abstand des Objekts vom Ursprung.

\[\begin{align} x &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(\alpha)\\ y &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \sin(\alpha)\\ z &= r\cdot \sin(\beta)\end{align}\tag{43}\]

Die Umrechnung von karthesisch zu sphärisch ist komplexer, weil die quadrantenrichtige Darstellung berücksichtigt werden muss. Zunächst wird die Breite $\beta$ bestimmt mit

$$\beta = \arcsin\left(\frac{z}{r}\right) \quad \text{mit} \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\tag{44}$$

dann erfolgt die Berechnung der Länge $\alpha$ mit Hilfe von $\varphi$. Es seien $C$ bzw. $S$

$$C=\frac{x}{r\cdot \cos(\beta)}\tag{45}$$ $$S=\frac{y}{r\cdot \cos(\beta)}\tag{46}$$

$$\varphi = \arcsin(S) \quad \text{falls} \quad |S| < 1$$ $$\varphi = \arccos(C) \quad \text{falls} \quad |S| > 1$$

Jetzt erfolgt die quadrantenrichtige Korrektur:

\[\alpha =\begin{cases} 360^{\circ} - \varphi \\ 180^{\circ} - \varphi \end{cases} \quad \textsf{falls} \quad \begin{matrix} C \gt 0 \;\textsf{und}\;S \lt 0 \\ C \lt 0 \end{matrix}\tag{47}\]

Sonst gilt:

$$\alpha = \varphi$$

Um zwei Winkel $\alpha$ und $\beta$ zu addieren oder zu subtrahieren werden die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen benötigt. $$\sin(\alpha\pm\beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)\tag{48}$$ $$\cos(\alpha\pm\beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\tag{49}$$ $$\tan (\alpha\pm \beta) = \frac{\tan(\alpha)\pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}\tag{50}$$

Gilt $\alpha$ = $\beta$ = $\varphi$, so wird zum nachfolgenden Ausdruck abgekürzt: $$\sin(2\cdot\varphi) = 2\cdot \sin(\varphi)\cdot \cos(\varphi)\tag{51}$$ $$\cos(2\cdot\varphi) = \cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi)\tag{52}$$ $$\tan(2\cdot\varphi) = \frac{2\cdot\tan \varphi}{1 - \tan^2(\varphi)}\tag{53}$$

Weitere mathematische Anwendungen werden auf einer eigenen Seite behandelt.

Die Interpolation hat aufgrund ihres Umfangs eine eigene Seite erhalten.

Auch die Iteration (also das Prinzip des rekursiven Einsetzens unter Einhaltung der Konvergenz) wird in einer eigenen Seite dokumentiert.