Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen der Seite angezeigt.

--- mondposition_nach_meeus [2024/04/24 15:51] – [Summieren der Terme] hcgreier
+++ mondposition_nach_meeus [2024/12/20 01:38] (aktuell) – Externe Bearbeitung 127.0.0.1
@@ Zeile 6: / Zeile 6: @@
 Mit dem hier beschriebenen Algorithmus erhält man die geozentrischen Länge $\lambda$ und Breite $\beta$ des Mondmittelpunkts, bezogen auf das mittlere Äquinoktium des Datums, sowie den Abstand $\Delta$ in Kilometer zwischen den Mittelpunkten von Erde und Mond. Daraus lässt sich dann die äquatoriale [[astronomische_begriffe#parallaxe|Horizontalparallaxe]] $\pi$ des Mondes ermitteln mit
-$$\pi = \arcsin \left(\frac{6378.14}{\Delta}\right) $$
+$$\pi = \arcsin\left(\frac{6378.14}{\Delta}\right)\tag{1}$$
 Die Horizontalparallaxe ist wichtig für die spätere Berechnung der topozentrischen Koordinaten (für einen Beobachter auf der Erdoberfläche).
@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 Zunächst werden die julianischen Jahrhunderte $T$ bezüglich des Standardäquinoktiums $J2000$ aus dem [[julianischer_tag_jd#berechnung_des_jd|julianischen Tag]] ermittelt. Für das $JD$ gilt hier die dynamische Zeit $TD$, daher sollte ein Zeitpunkt in Weltzeit $UT$ mittels $\Delta T$ [[dynamische_zeit_und_delta_t|umgerechnet werden]]! $T$ ist vor dem Jahr 2000 negativ und danach positiv.
+$$T = \frac{(JD - 2451545.0)}{36525}\tag{2}$$
-$$ T = \frac{(JD - 2451545.0)}{36525} $$
 <WRAP center round important 100%>
@@ Zeile 22: / Zeile 21: @@
 Benötigt werden hier die folgenden Winkelgrößen:
+++++ Tabelle 1 (zum Aufklappen)  |
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="300px,350px"&float=center}}
-^  Größe                                                                                                                                            ^  Wert                                                                                                                                                                                                                                       ^
+^  Tabelle 1  ||
+^  Größe  ^  Wert  ^
 |  \\ Mittlere Länge des Mondes, bezogen auf das mittlere Äquinoktium des Datums, einschließlich des konstanten Terms der Lichtlaufzeit ($-0.70^{s}$):  | \[\begin{align} l &= 218\overset{\circ}{.}3164477 \\ &+481267\overset{\circ}{.}88123421\cdot T \\ &-0\overset{\circ}{.}0015786\cdot T^2 \\ &-\tfrac{1^{\circ}}{538841}\cdot T^3 \\ &-\tfrac{1^{\circ}}{65194000}\cdot T^4 \end{align}\]    |
 |  \\ Mittlere Elongation des Mondes                                                                                                                   | \[\begin{align} D &= 297\overset{\circ}{.}8501921\\ &+445267\overset{\circ}{.}1114034\cdot T\\ &-0\overset{\circ}{.}0018819\cdot T^2\\ &+\tfrac{1^{\circ}}{545868}\cdot T^3\\ &-\tfrac{1^{\circ}}{113065000}\cdot T^4 \end{align}\]         |
@@ Zeile 36: / Zeile 38: @@
   * Man erhält zuweilen große Winkelwerte, diese sollten mit der [[:mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktions-Funktion]] in das Intervall [0°-360°] gebracht werden.
 </WRAP>
+++++
 ===== Tabellenwerte der periodschen Terme =====
@@ Zeile 41: / Zeile 45: @@
 In den folgenden beiden Tabellen sind die 60 wichtigsten periodischen Terme zur Berechnung der Mondkoordinaten wiedergegeben. Die jeweils erste Spalte ist nur zur Nummerierung der Terme gedacht und dient der Referenzierung, diese Spalte enthält **keine Rechenwerte**!
-Die **Tabelle A** zeigt die periodischen Terme für die Länge $\Sigma l$ und die Entfernung $\Sigma r$ des Mondes. Die Einheiten der Koeffizienten sind $10^{-6}$ Grad für $\Sigma l$ und $10^{-3}$ km für $\Sigma r$.
+Die **Tabelle 2** zeigt die periodischen Terme für die Länge $\Sigma l$ und die Entfernung $\Sigma r$ des Mondes. Die Einheiten der Koeffizienten sind $10^{-6}$ Grad für $\Sigma l$ und $10^{-3}$ km für $\Sigma r$.
+++++ Tabelle 2 (zum Aufklappen)  |
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="60px,60px,60px,60px,60px,180px,180px"&float=center}}
-^  **Tabelle A**  |||||||
+^  **Tabelle 2**  |||||||
-^    ^  Argument \\ (Vielfache des Winkels)                                                                                                                                                                                |||^  $\Sigma l$                             ^  $\Sigma r$                             ^
+^    ^  Argument \\ (Vielfache des Winkels)                                                                                                                                                                                |||^  $\Sigma l$  ^  $\Sigma r$  ^
 |  Nr.  |  $D$  |  $M$  |  $m$  |  $F$  |  Koeffizient des $\color{#cc0000}\sin$  |  Koeffizient des $\color{#cc0000}\cos$  |
-|  $01$  |  $0$                                 |  $0 $     |  $1 $      |  $0 $     |  $6288774$  |  $-20905355$  |
+|  $01$  |  $0$  |  $0 $  |  $1 $  |  $0 $  |  $6288774$  |  $-20905355$  |
-|  $02$  |  $2$                                 |  $0 $     |  $-1$      |  $0 $     |  $1274027$  |  $-3699111 $  |
+|  $02$  |  $2$  |  $0 $  |  $-1$  |  $0 $  |  $1274027$  |  $-3699111 $  |
-|  $03$  |  $2$                                 |  $0 $     |  $0 $      |  $0 $     |  $658314 $  |  $-2955968 $  |
+|  $03$  |  $2$  |  $0 $  |  $0 $  |  $0 $  |  $658314 $  |  $-2955968 $  |
-|  $04$  |  $0$                                 |  $0 $     |  $2 $      |  $0 $     |  $213618 $  |  $-569925  $  |
+|  $04$  |  $0$  |  $0 $  |  $2 $  |  $0 $  |  $213618 $  |  $-569925  $  |
-|  $05$  |  $0$                                 |  $1 $     |  $0 $      |  $0 $     |  $-185116$  |  $48888    $  |
+|  $05$  |  $0$  |  $1 $  |  $0 $  |  $0 $  |  $-185116$  |  $48888    $  |
-|  $06$  |  $0$                                 |  $0 $     |  $0 $      |  $2 $     |  $-114332$  |  $-3149    $  |
+|  $06$  |  $0$  |  $0 $  |  $0 $  |  $2 $  |  $-114332$  |  $-3149    $  |
-|  $07$  |  $2$                                 |  $0 $     |  $-2$      |  $0 $     |  $58793  $  |  $246158   $  |
+|  $07$  |  $2$  |  $0 $  |  $-2$  |  $0 $  |  $58793  $  |  $246158   $  |
-|  $08$  |  $2$                                 |  $-1$     |  $-1$      |  $0 $     |  $57066  $  |  $-152138  $  |
+|  $08$  |  $2$  |  $-1$  |  $-1$  |  $0 $  |  $57066  $  |  $-152138  $  |
-|  $09$  |  $2$                                 |  $0 $     |  $1 $      |  $0 $     |  $53322  $  |  $-170733  $  |
+|  $09$  |  $2$  |  $0 $  |  $1 $  |  $0 $  |  $53322  $  |  $-170733  $  |
-|  $10$  |  $2$                                 |  $-1$     |  $0 $      |  $0 $     |  $45758  $  |  $-204586  $  |
+|  $10$  |  $2$  |  $-1$  |  $0 $  |  $0 $  |  $45758  $  |  $-204586  $  |
-|  $11$  |  $0$                                 |  $1 $     |  $-1$      |  $0 $     |  $-40923 $  |  $-129620  $  |
+|  $11$  |  $0$  |  $1 $  |  $-1$  |  $0 $  |  $-40923 $  |  $-129620  $  |
-|  $12$  |  $1$                                 |  $0 $     |  $0 $      |  $0 $     |  $-34720 $  |  $108743   $  |
+|  $12$  |  $1$  |  $0 $  |  $0 $  |  $0 $  |  $-34720 $  |  $108743   $  |
-|  $13$  |  $0$                                 |  $1 $     |  $1 $      |  $0 $     |  $-30383 $  |  $104755   $  |
+|  $13$  |  $0$  |  $1 $  |  $1 $  |  $0 $  |  $-30383 $  |  $104755   $  |
-|  $14$  |  $2$                                 |  $0 $     |  $0 $      |  $-2$     |  $15327  $  |  $10321    $  |
+|  $14$  |  $2$  |  $0 $  |  $0 $  |  $-2$  |  $15327  $  |  $10321    $  |
-|  $15$  |  $0$                                 |  $0 $     |  $1 $      |  $2 $     |  $-12528 $  |  $0        $  |
+|  $15$  |  $0$  |  $0 $  |  $1 $  |  $2 $  |  $-12528 $  |  $0        $  |
-|  $16$  |  $0$                                 |  $0 $     |  $1 $      |  $-2$     |  $10980  $  |  $79661    $  |
+|  $16$  |  $0$  |  $0 $  |  $1 $  |  $-2$  |  $10980  $  |  $79661    $  |
-|  $17$  |  $4$                                 |  $0 $     |  $-1$      |  $0 $     |  $10675  $  |  $-34782   $  |
+|  $17$  |  $4$  |  $0 $  |  $-1$  |  $0 $  |  $10675  $  |  $-34782   $  |
-|  $18$  |  $0$                                 |  $0 $     |  $3 $      |  $0 $     |  $10034  $  |  $-23210   $  |
+|  $18$  |  $0$  |  $0 $  |  $3 $  |  $0 $  |  $10034  $  |  $-23210   $  |
-|  $19$  |  $4$                                 |  $0 $     |  $-2$      |  $0 $     |  $8548   $  |  $-21636   $  |
+|  $19$  |  $4$  |  $0 $  |  $-2$  |  $0 $  |  $8548   $  |  $-21636   $  |
-|  $20$  |  $2$                                 |  $1 $     |  $-1$      |  $0 $     |  $-7888  $  |  $24208    $  |
+|  $20$  |  $2$  |  $1 $  |  $-1$  |  $0 $  |  $-7888  $  |  $24208    $  |
-|  $21$  |  $2$                                 |  $1 $     |  $0 $      |  $0 $     |  $-6766  $  |  $30824    $  |
+|  $21$  |  $2$  |  $1 $  |  $0 $  |  $0 $  |  $-6766  $  |  $30824    $  |
-|  $22$  |  $1$                                 |  $0 $     |  $-1$      |  $0 $     |  $-5163  $  |  $-8379    $  |
+|  $22$  |  $1$  |  $0 $  |  $-1$  |  $0 $  |  $-5163  $  |  $-8379    $  |
-|  $23$  |  $1$                                 |  $1 $     |  $0 $      |  $0 $     |  $4987   $  |  $-16675   $  |
+|  $23$  |  $1$  |  $1 $  |  $0 $  |  $0 $  |  $4987   $  |  $-16675   $  |
-|  $24$  |  $2$                                 |  $-1$     |  $1 $      |  $0 $     |  $4036   $  |  $-12831   $  |
+|  $24$  |  $2$  |  $-1$  |  $1 $  |  $0 $  |  $4036   $  |  $-12831   $  |
-|  $25$  |  $2$                                 |  $0 $     |  $2 $      |  $0 $     |  $3994   $  |  $-10445   $  |
+|  $25$  |  $2$  |  $0 $  |  $2 $  |  $0 $  |  $3994   $  |  $-10445   $  |
-|  $26$  |  $4$                                 |  $0 $     |  $0 $      |  $0 $     |  $3861   $  |  $-11650   $  |
+|  $26$  |  $4$  |  $0 $  |  $0 $  |  $0 $  |  $3861   $  |  $-11650   $  |
-|  $27$  |  $2$                                 |  $0 $     |  $-3$      |  $0 $     |  $3665   $  |  $14403    $  |
+|  $27$  |  $2$  |  $0 $  |  $-3$  |  $0 $  |  $3665   $  |  $14403    $  |
-|  $28$  |  $0$                                 |  $1 $     |  $-2$      |  $0 $     |  $-2689  $  |  $-7003    $  |
+|  $28$  |  $0$  |  $1 $  |  $-2$  |  $0 $  |  $-2689  $  |  $-7003    $  |
-|  $29$  |  $2$                                 |  $0 $     |  $-1$      |  $2 $     |  $-2602  $  |  $0        $  |
+|  $29$  |  $2$  |  $0 $  |  $-1$  |  $2 $  |  $-2602  $  |  $0        $  |
-|  $30$  |  $2$                                 |  $-1$     |  $-2$      |  $0 $     |  $2390   $  |  $10056    $  |
+|  $30$  |  $2$  |  $-1$  |  $-2$  |  $0 $  |  $2390   $  |  $10056    $  |
-|  $31$  |  $1$                                 |  $0 $     |  $1 $      |  $0 $     |  $-2348  $  |  $6322     $  |
+|  $31$  |  $1$  |  $0 $  |  $1 $  |  $0 $  |  $-2348  $  |  $6322     $  |
-|  $32$  |  $2$                                 |  $-2$     |  $0 $      |  $0 $     |  $2236   $  |  $-9884    $  |
+|  $32$  |  $2$  |  $-2$  |  $0 $  |  $0 $  |  $2236   $  |  $-9884    $  |
-|  $33$  |  $0$                                 |  $1 $     |  $2 $      |  $0 $     |  $-2120  $  |  $5751     $  |
+|  $33$  |  $0$  |  $1 $  |  $2 $  |  $0 $  |  $-2120  $  |  $5751     $  |
-|  $34$  |  $0$                                 |  $2 $     |  $0 $      |  $0 $     |  $-2069  $  |  $0        $  |
+|  $34$  |  $0$  |  $2 $  |  $0 $  |  $0 $  |  $-2069  $  |  $0        $  |
-|  $35$  |  $2$                                 |  $-2$     |  $-1$      |  $0 $     |  $2048   $  |  $-4950    $  |
+|  $35$  |  $2$  |  $-2$  |  $-1$  |  $0 $  |  $2048   $  |  $-4950    $  |
-|  $36$  |  $2$                                 |  $0 $     |  $1 $      |  $-2$     |  $-1773  $  |  $4130     $  |
+|  $36$  |  $2$  |  $0 $  |  $1 $  |  $-2$  |  $-1773  $  |  $4130     $  |
-|  $37$  |  $2$                                 |  $0 $     |  $0 $      |  $2 $     |  $-1595  $  |  $0        $  |
+|  $37$  |  $2$  |  $0 $  |  $0 $  |  $2 $  |  $-1595  $  |  $0        $  |
-|  $38$  |  $4$                                 |  $-1$     |  $-1$      |  $0 $     |  $1215   $  |  $-3958    $  |
+|  $38$  |  $4$  |  $-1$  |  $-1$  |  $0 $  |  $1215   $  |  $-3958    $  |
-|  $39$  |  $0$                                 |  $0 $     |  $2 $      |  $2 $     |  $-1110  $  |  $0        $  |
+|  $39$  |  $0$  |  $0 $  |  $2 $  |  $2 $  |  $-1110  $  |  $0        $  |
-|  $40$  |  $3$                                 |  $0 $     |  $-1$      |  $0 $     |  $-892   $  |  $3258     $  |
+|  $40$  |  $3$  |  $0 $  |  $-1$  |  $0 $  |  $-892   $  |  $3258     $  |
-|  $41$  |  $2$                                 |  $1 $     |  $1 $      |  $0 $     |  $-810   $  |  $2616     $  |
+|  $41$  |  $2$  |  $1 $  |  $1 $  |  $0 $  |  $-810   $  |  $2616     $  |
-|  $42$  |  $4$                                 |  $-1$     |  $-2$      |  $0 $     |  $759    $  |  $-1897    $  |
+|  $42$  |  $4$  |  $-1$  |  $-2$  |  $0 $  |  $759    $  |  $-1897    $  |
-|  $43$  |  $0$                                 |  $2 $     |  $-1$      |  $0 $     |  $-713   $  |  $-2117    $  |
+|  $43$  |  $0$  |  $2 $  |  $-1$  |  $0 $  |  $-713   $  |  $-2117    $  |
-|  $44$  |  $2$                                 |  $2 $     |  $-1$      |  $0 $     |  $-700   $  |  $2354     $  |
+|  $44$  |  $2$  |  $2 $  |  $-1$  |  $0 $  |  $-700   $  |  $2354     $  |
-|  $45$  |  $2$                                 |  $1 $     |  $-2$      |  $0 $     |  $691    $  |  $0        $  |
+|  $45$  |  $2$  |  $1 $  |  $-2$  |  $0 $  |  $691    $  |  $0        $  |
-|  $46$  |  $2$                                 |  $-1$     |  $0 $      |  $-2$     |  $596    $  |  $0        $  |
+|  $46$  |  $2$  |  $-1$  |  $0 $  |  $-2$  |  $596    $  |  $0        $  |
-|  $47$  |  $4$                                 |  $0 $     |  $1 $      |  $0 $     |  $549    $  |  $-1423    $  |
+|  $47$  |  $4$  |  $0 $  |  $1 $  |  $0 $  |  $549    $  |  $-1423    $  |
-|  $48$  |  $0$                                 |  $0 $     |  $4 $      |  $0 $     |  $537    $  |  $-1117    $  |
+|  $48$  |  $0$  |  $0 $  |  $4 $  |  $0 $  |  $537    $  |  $-1117    $  |
-|  $49$  |  $4$                                 |  $-1$     |  $0 $      |  $0 $     |  $520    $  |  $-1571    $  |
+|  $49$  |  $4$  |  $-1$  |  $0 $  |  $0 $  |  $520    $  |  $-1571    $  |
-|  $50$  |  $1$                                 |  $0 $     |  $-2$      |  $0 $     |  $-487   $  |  $-1739    $  |
+|  $50$  |  $1$  |  $0 $  |  $-2$  |  $0 $  |  $-487   $  |  $-1739    $  |
-|  $51$  |  $2$                                 |  $1 $     |  $0 $      |  $-2$     |  $-399   $  |  $0        $  |
+|  $51$  |  $2$  |  $1 $  |  $0 $  |  $-2$  |  $-399   $  |  $0        $  |
-|  $52$  |  $0$                                 |  $0 $     |  $2 $      |  $-2$     |  $-381   $  |  $-4421    $  |
+|  $52$  |  $0$  |  $0 $  |  $2 $  |  $-2$  |  $-381   $  |  $-4421    $  |
-|  $53$  |  $1$                                 |  $1 $     |  $1 $      |  $0 $     |  $351    $  |  $0        $  |
+|  $53$  |  $1$  |  $1 $  |  $1 $  |  $0 $  |  $351    $  |  $0        $  |
-|  $54$  |  $3$                                 |  $0 $     |  $-2$      |  $0 $     |  $-340   $  |  $0        $  |
+|  $54$  |  $3$  |  $0 $  |  $-2$  |  $0 $  |  $-340   $  |  $0        $  |
-|  $55$  |  $4$                                 |  $0 $     |  $-3$      |  $0 $     |  $330    $  |  $0        $  |
+|  $55$  |  $4$  |  $0 $  |  $-3$  |  $0 $  |  $330    $  |  $0        $  |
-|  $56$  |  $2$                                 |  $-1$     |  $2 $      |  $0 $     |  $327    $  |  $0        $  |
+|  $56$  |  $2$  |  $-1$  |  $2 $  |  $0 $  |  $327    $  |  $0        $  |
-|  $57$  |  $0$                                 |  $2 $     |  $1 $      |  $0 $     |  $-323   $  |  $1165     $  |
+|  $57$  |  $0$  |  $2 $  |  $1 $  |  $0 $  |  $-323   $  |  $1165     $  |
-|  $58$  |  $1$                                 |  $1 $     |  $-1$      |  $0 $     |  $299    $  |  $0        $  |
+|  $58$  |  $1$  |  $1 $  |  $-1$  |  $0 $  |  $299    $  |  $0        $  |
-|  $59$  |  $2$                                 |  $0 $     |  $3 $      |  $0 $     |  $294    $  |  $0        $  |
+|  $59$  |  $2$  |  $0 $  |  $3 $  |  $0 $  |  $294    $  |  $0        $  |
-|  $60$  |  $2$                                 |  $0 $     |  $-1$      |  $-2$     |  $0      $  |  $8752     $  |
+|  $60$  |  $2$  |  $0 $  |  $-1$  |  $-2$  |  $0      $  |  $8752     $  |
+++++
+Die **Tabelle 3** zeigt die periodischen Terme für die Breite $\Sigma b$ des Mondes. Die Einheiten der Koeffizienten sind $10^{-6}$ Grad.
+++++ Tabelle 3 (zum Aufklappen)  |
-Die **Tabelle B** zeigt die periodischen Terme für die Breite $\Sigma b$ des Mondes. Die Einheiten der Koeffizienten sind $10^{-6}$ Grad.
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="85px,85px,85px,85px,85px,180px"&float=center}}
-^  **Tabelle B**  ^^^^^^
+^  **Tabelle 3**  ||||||
-^    ^  Argument \\ (Vielfache des Winkels)  ^^^^  $\Sigma b$  ^
+^  ^  Argument \\ (Vielfache des Winkels)  |||^  $\Sigma b$   ^
-|  Nr.    |  $D$  |  $M$  |  $m$  |  $F$  |  Koeffizient des $\color{#cc0000}\sin$  |
+|  Nr.    |  $D$  |  $M$   |  $m$   |  $F$   |  Koeffizient des $\color{#cc0000}\sin$  |
-|  $01$  |  $0$  |  $0 $  |  $0 $  |  $1 $  |  $5128122$  |
+|  $01$   |  $0$  |  $0$   |  $0$   |  $1$   |  $5128122$  |
-|  $02$  |  $0$  |  $0 $  |  $1 $  |  $1 $  |  $280602 $  |
+|  $02$   |  $0$  |  $0$   |  $1$   |  $1$   |  $280602$   |
-|  $03$  |  $0$  |  $0 $  |  $1 $  |  $-1$  |  $277693$   |
+|  $03$   |  $0$  |  $0$   |  $1$   |  $-1$  |  $277693$   |
-|  $04$  |  $2$  |  $0 $  |  $0 $  |  $-1$  |  $173237 $  |
+|  $04$   |  $2$  |  $0$   |  $0$   |  $-1$  |  $173237$   |
-|  $05$  |  $2$  |  $0 $  |  $-1$  |  $1 $  |  $55413$   |
+|  $05$   |  $2$  |  $0$   |  $-1$  |  $1$   |  $55413$    |
-|  $06$  |  $2$  |  $0 $  |  $-1$  |  $-1$  |  $46271 $  |
+|  $06$   |  $2$  |  $0$   |  $-1$  |  $-1$  |  $46271$    |
-|  $07$  |  $2$  |  $0 $  |  $0 $  |  $1 $  |  $32573 $  |
+|  $07$   |  $2$  |  $0$   |  $0$   |  $1$   |  $32573$    |
-|  $08$  |  $0$  |  $0 $  |  $2 $  |  $1 $  |  $17198 $  |
+|  $08$   |  $0$  |  $0$   |  $2$   |  $1$   |  $17198$    |
-|  $09$  |  $2$  |  $0 $  |  $1 $  |  $-1$  |  $9266  $  |
+|  $09$   |  $2$  |  $0$   |  $1$   |  $-1$  |  $9266$     |
-|  $10$  |  $0$  |  $0 $  |  $2 $  |  $-1$  |  $8822  $  |
+|  $10$   |  $0$  |  $0$   |  $2$   |  $-1$  |  $8822$     |
-|  $11$  |  $2$  |  $-1$  |  $0 $  |  $-1$  |  $8216  $  |
+|  $11$   |  $2$  |  $-1$  |  $0$   |  $-1$  |  $8216$     |
-|  $12$  |  $2$  |  $0 $  |  $-2$  |  $-1$  |  $4324  $  |
+|  $12$   |  $2$  |  $0$   |  $-2$  |  $-1$  |  $4324$     |
-|  $13$  |  $2$  |  $0 $  |  $1 $  |  $1 $  |  $4200  $  |
+|  $13$   |  $2$  |  $0$   |  $1$   |  $1$   |  $4200$     |
-|  $14$  |  $2$  |  $1 $  |  $0 $  |  $-1$  |  $-3359 $  |
+|  $14$   |  $2$  |  $1$   |  $0$   |  $-1$  |  $-3359$    |
-|  $15$  |  $2$  |  $-1$  |  $-1$  |  $1 $  |  $2463  $  |
+|  $15$   |  $2$  |  $-1$  |  $-1$  |  $1$   |  $2463$     |
-|  $16$  |  $2$  |  $-1$  |  $0 $  |  $1 $  |  $2211  $  |
+|  $16$   |  $2$  |  $-1$  |  $0$   |  $1$   |  $2211$     |
-|  $17$  |  $2$  |  $-1$  |  $-1$  |  $-1$  |  $2065  $  |
+|  $17$   |  $2$  |  $-1$  |  $-1$  |  $-1$  |  $2065$     |
-|  $18$  |  $0$  |  $1 $  |  $-1$  |  $-1$  |  $-1870 $  |
+|  $18$   |  $0$  |  $1$   |  $-1$  |  $-1$  |  $-1870$    |
-|  $19$  |  $4$  |  $0 $  |  $-1$  |  $-1$  |  $1828  $  |
+|  $19$   |  $4$  |  $0$   |  $-1$  |  $-1$  |  $1828$     |
-|  $20$  |  $0$  |  $1 $  |  $0 $  |  $1 $  |  $-1794 $  |
+|  $20$   |  $0$  |  $1$   |  $0$   |  $1$   |  $-1794$    |
-|  $21$  |  $0$  |  $0 $  |  $0 $  |  $3 $  |  $-1749 $  |
+|  $21$   |  $0$  |  $0$   |  $0$   |  $3$   |  $-1749$    |
-|  $22$  |  $0$  |  $1 $  |  $-1$  |  $1 $  |  $-1565 $  |
+|  $22$   |  $0$  |  $1$   |  $-1$  |  $1$   |  $-1565$    |
-|  $23$  |  $1$  |  $0 $  |  $0 $  |  $1 $  |  $-1491 $  |
+|  $23$   |  $1$  |  $0$   |  $0$   |  $1$   |  $-1491$    |
-|  $24$  |  $0$  |  $1 $  |  $1 $  |  $1 $  |  $-1475 $  |
+|  $24$   |  $0$  |  $1$   |  $1$   |  $1$   |  $-1475$    |
-|  $25$  |  $0$  |  $1 $  |  $1 $  |  $-1$  |  $-1410 $  |
+|  $25$   |  $0$  |  $1$   |  $1$   |  $-1$  |  $-1410$    |
-|  $26$  |  $0$  |  $1 $  |  $0 $  |  $-1$  |  $-1344 $  |
+|  $26$   |  $0$  |  $1$   |  $0$   |  $-1$  |  $-1344$    |
-|  $27$  |  $1$  |  $0 $  |  $0 $  |  $-1$  |  $-1335 $  |
+|  $27$   |  $1$  |  $0$   |  $0$   |  $-1$  |  $-1335$    |
-|  $28$  |  $0$  |  $0 $  |  $3 $  |  $1 $  |  $1107  $  |
+|  $28$   |  $0$  |  $0$   |  $3$   |  $1$   |  $1107$     |
-|  $29$  |  $4$  |  $0 $  |  $0 $  |  $-1$  |  $1021  $  |
+|  $29$   |  $4$  |  $0$   |  $0$   |  $-1$  |  $1021$     |
-|  $30$  |  $4$  |  $0 $  |  $-1$  |  $1 $  |  $833   $  |
+|  $30$   |  $4$  |  $0$   |  $-1$  |  $1$   |  $833$      |
-|  $31$  |  $0$  |  $0 $  |  $1 $  |  $-3$  |  $777   $  |
+|  $31$   |  $0$  |  $0$   |  $1$   |  $-3$  |  $777$      |
-|  $32$  |  $4$  |  $0 $  |  $-2$  |  $1 $  |  $671   $  |
+|  $32$   |  $4$  |  $0$   |  $-2$  |  $1$   |  $671$      |
-|  $33$  |  $2$  |  $0 $  |  $0 $  |  $-3$  |  $607   $  |
+|  $33$   |  $2$  |  $0$   |  $0$   |  $-3$  |  $607$      |
-|  $34$  |  $2$  |  $0 $  |  $2 $  |  $-1$  |  $596   $  |
+|  $34$   |  $2$  |  $0$   |  $2$   |  $-1$  |  $596$      |
-|  $35$  |  $2$  |  $-1$  |  $1 $  |  $-1$  |  $491   $  |
+|  $35$   |  $2$  |  $-1$  |  $1$   |  $-1$  |  $491$      |
-|  $36$  |  $2$  |  $0 $  |  $-2$  |  $1 $  |  $-451  $  |
+|  $36$   |  $2$  |  $0$   |  $-2$  |  $1$   |  $-451$     |
-|  $37$  |  $0$  |  $0 $  |  $3 $  |  $-1$  |  $439   $  |
+|  $37$   |  $0$  |  $0$   |  $3$   |  $-1$  |  $439$      |
-|  $38$  |  $2$  |  $0 $  |  $2 $  |  $1 $  |  $422   $  |
+|  $38$   |  $2$  |  $0$   |  $2$   |  $1$   |  $422$      |
-|  $39$  |  $2$  |  $0 $  |  $-3$  |  $-1$  |  $421   $  |
+|  $39$   |  $2$  |  $0$   |  $-3$  |  $-1$  |  $421$      |
-|  $40$  |  $2$  |  $1 $  |  $-1$  |  $1 $  |  $-366  $  |
+|  $40$   |  $2$  |  $1$   |  $-1$  |  $1$   |  $-366$     |
-|  $41$  |  $2$  |  $1 $  |  $0 $  |  $1 $  |  $-351  $  |
+|  $41$   |  $2$  |  $1$   |  $0$   |  $1$   |  $-351$     |
-|  $42$  |  $4$  |  $0 $  |  $0 $  |  $1 $  |  $331   $  |
+|  $42$   |  $4$  |  $0$   |  $0$   |  $1$   |  $331$      |
-|  $43$  |  $2$  |  $-1$  |  $1 $  |  $1 $  |  $315   $  |
+|  $43$   |  $2$  |  $-1$  |  $1$   |  $1$   |  $315$      |
-|  $44$  |  $2$  |  $-2$  |  $0 $  |  $-1$  |  $302   $  |
+|  $44$   |  $2$  |  $-2$  |  $0$   |  $-1$  |  $302$      |
-|  $45$  |  $0$  |  $0 $  |  $1 $  |  $3 $  |  $-283  $  |
+|  $45$   |  $0$  |  $0$   |  $1$   |  $3$   |  $-283$     |
-|  $46$  |  $2$  |  $1 $  |  $1 $  |  $-1$  |  $-229  $  |
+|  $46$   |  $2$  |  $1$   |  $1$   |  $-1$  |  $-229$     |
-|  $47$  |  $1$  |  $1 $  |  $0 $  |  $-1$  |  $223   $  |
+|  $47$   |  $1$  |  $1$   |  $0$   |  $-1$  |  $223$      |
-|  $48$  |  $1$  |  $1 $  |  $0 $  |  $1 $  |  $223   $  |
+|  $48$   |  $1$  |  $1$   |  $0$   |  $1$   |  $223$      |
-|  $49$  |  $0$  |  $1 $  |  $-2$  |  $-1$  |  $-220  $  |
+|  $49$   |  $0$  |  $1$   |  $-2$  |  $-1$  |  $-220$     |
-|  $50$  |  $2$  |  $1 $  |  $-1$  |  $-1$  |  $-220  $  |
+|  $50$   |  $2$  |  $1$   |  $-1$  |  $-1$  |  $-220$     |
-|  $51$  |  $1$  |  $0 $  |  $1 $  |  $1 $  |  $-185  $  |
+|  $51$   |  $1$  |  $0$   |  $1$   |  $1$   |  $-185$     |
-|  $52$  |  $2$  |  $-1$  |  $-2$  |  $-1$  |  $181   $  |
+|  $52$   |  $2$  |  $-1$  |  $-2$  |  $-1$  |  $181$      |
-|  $53$  |  $0$  |  $1 $  |  $2 $  |  $1 $  |  $-177  $  |
+|  $53$   |  $0$  |  $1$   |  $2$   |  $1$   |  $-177$     |
-|  $54$  |  $4$  |  $0 $  |  $-2$  |  $-1$  |  $176   $  |
+|  $54$   |  $4$  |  $0$   |  $-2$  |  $-1$  |  $176$      |
-|  $55$  |  $4$  |  $-1$  |  $-1$  |  $-1$  |  $166   $  |
+|  $55$   |  $4$  |  $-1$  |  $-1$  |  $-1$  |  $166$      |
-|  $56$  |  $1$  |  $0 $  |  $1 $  |  $-1$  |  $-164  $  |
+|  $56$   |  $1$  |  $0$   |  $1$   |  $-1$  |  $-164$     |
-|  $57$  |  $4$  |  $0 $  |  $1 $  |  $-1$  |  $132   $  |
+|  $57$   |  $4$  |  $0$   |  $1$   |  $-1$  |  $132$      |
-|  $58$  |  $1$  |  $0 $  |  $-1$  |  $-1$  |  $-119  $  |
+|  $58$   |  $1$  |  $0$   |  $-1$  |  $-1$  |  $-119$     |
-|  $59$  |  $4$  |  $-1$  |  $0 $  |  $-1$  |  $115   $  |
+|  $59$   |  $4$  |  $-1$  |  $0$   |  $-1$  |  $115$      |
-|  $60$  |  $2$  |  $-2$  |  $0 $  |  $1 $  |  $107   $  |
+|  $60$   |  $2$  |  $-2$  |  $0$   |  $1$   |  $107$      |
+++++
 ===== Summieren der Terme =====
-Man berechnet nun die Summen $\Sigma l$ und $\Sigma r$ der in **Tabelle A** angegebenen Terme und die Summe $\Sigma b$ der in **Tabelle B** angegebenen Terme. Das Argument jedes Sinus (für $\Sigma l$ und $\Sigma b$) bzw. des Cosinus (für $\Sigma r$) ist eine Linearkombination der vier Grundargumente $D$, $M$, $m$ und $F.$
+Man berechnet nun die Summen $\Sigma l$ und $\Sigma r$ der in **Tabelle 2** angegebenen Terme und die Summe $\Sigma b$ der in **Tabelle 3** angegebenen Terme. Das Argument jedes Sinus (für $\Sigma l$ und $\Sigma b$) bzw. des Cosinus (für $\Sigma r$) ist eine Linearkombination der vier Grundargumente $D$, $M$, $m$ und $F.$
 <WRAP center round box 100%>
 **Beispiele**
-  * Das Argument in der 8. Zeile von **Tabelle A** ist $(2\cdot D - M - m)$, und die Beiträge zu $\Sigma l$ und $\Sigma r$ betragen demnach $+57066\cdot \sin (2\cdot D - M - m)$ bzw. $-152138\cdot \cos (2\cdot D - M - m).$
+  * Das Argument in der 8. Zeile von **Tabelle 2** ist $(2\cdot D - M - m)$, und die Beiträge zu $\Sigma l$ und $\Sigma r$ betragen demnach $+57066\cdot \sin(2\cdot D - M - m)$ bzw. $-152138\cdot \cos(2\cdot D - M - m).$
-  * Das Argument in der 12. Zeile von **Tabelle B** ist $(2\cdot D - 2\cdot m - F)$, und der Beitrag zu $\Sigma b$ beträgt $+4324\cdot \sin (2\cdot D - 2\cdot m - F)$
+  * Das Argument in der 12. Zeile von **Tabelle 3** ist $(2\cdot D - 2\cdot m - F)$, und der Beitrag zu $\Sigma b$ beträgt $+4324\cdot \sin(2\cdot D - 2\cdot m - F)$
 </WRAP>
 Allerdings hängen die Terme, deren Argument den Winkel $M$ enthält, von der Exzentrizität der Erdumlaufbahn um die Sonne ab, die derzeit mit der Zeit abnimmt. Aus diesem Grund ist die Amplitude dieser Terme tatsächlich variabel. Um diesen Effekt zu berücksichtigen, multipliziert man jene Terme, deren Argument $M$ oder $-M$ enthält mit $E$, und diejenigen, die $2M$ oder $-2M$ enthalten, mit $E^2$, wobei für den Wert $E$ gilt:
-$$ E = 1 - 0.002516\cdot T - 0.0000074\cdot T^2 $$
+$$E = 1 - 0.002516\cdot T - 0.0000074\cdot T^2\tag{3}$$
 <WRAP center round important 100%>
-Der Koeffizient, **nicht** das Argument des Sinus oder Cosinus, sollte mit $E$ multipliziert werden! Beispielsweise beträgt der 8. Term der **Tabelle A** in Länge tatsächlich $+57066\cdot \color{#cc0000}{E}\cdot \sin (2\cdot D – M – m)$, weil hier ein $M$ vorkommt.
+Der Koeffizient, **nicht** das Argument des Sinus oder Cosinus, sollte mit $E$ multipliziert werden! Beispielsweise beträgt der 8. Term der **Tabelle 2** in Länge tatsächlich $+57066\cdot \color{#cc0000}{E}\cdot \sin (2\cdot D – M – m)$, weil hier ein $M$ vorkommt.
 </WRAP>
-Hat man alle Terme in **Tabelle A** und **Tabelle B** summiert, dann fügt man zusätzlich die folgenden additiven Terme zu $\Sigma l$ und $\Sigma b$ hinzu:
+Hat man alle Terme in **Tabelle 2** und **Tabelle 3** summiert, dann fügt man zusätzlich die folgenden additiven Terme zu $\Sigma l$ und $\Sigma b$ aus **Tabelle 4** hinzu:
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="200px,200px"&float=center}}
+^  Tabelle 4  ||
 ^  Addieren zu $\Sigma l$  ^  Addieren zu $\Sigma b$  ^
 |  \(\begin{align}
@@ Zeile 212: / Zeile 225: @@
 Die geozentrischen ekliptikalen Mondkoordinaten $\lambda, \beta, \Delta$ sind nun gegeben durch
 \[\begin{align}
 \lambda &= l + \frac{\Sigma l}{10^6}\quad\textrm{in Grad}\\
 \beta &= \frac{\Sigma b}{10^6}\quad\textrm{in Grad}\\
 \Delta &= 385000.56 + \frac{\Sigma r}{10^3}\quad\textrm{in km}
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{4}\]
 Die Divisionen durch $10^6$ bzw. durch $10^3$ dürfen nicht vergessen werden, da die Koeffizienten für $\Sigma l$ und $\Sigma b$ in Einheiten von $10^{-6}$ Grad und die Koeffizienten für $\Sigma r$ in Einheiten von $10^{-3}$ km in den Tabellen angegeben sind.
@@ Zeile 225: / Zeile 237: @@
 {{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten des Mondes für den 15.4.2023 um 22:15 mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ)**
+<WRAP center round info 100%>
+Aus Gründen der Nachvollziehbarkeit der einzelnen Rechenschritte werden nachfolgend **alle Kommastellen** stehen gelassen. Bei einer praktischen Berechnung sollten die Werte natürlich vernünftig gerundet werden!
+</WRAP>
 ----
@@ Zeile 232: / Zeile 248: @@
 \(\begin{align}
-JDE &= 2460050.34375 + \frac{69^{s}}{86400\frac{s}{d}}\\&= 2460050.34455
+JDE &= 2460050.34375 + \frac{69^{s}}{86400\frac{s}{d}}\\
+    &= 2460050.344548611
 \end{align}\)
@@ Zeile 238: / Zeile 255: @@
 \(\begin{align}
-T &= \frac{(2460050.34455 - 2451545.0)}{36525}\\
+T &= \frac{(2460050.344548611 - 2451545.0)}{36525}\\
-&= 0.2328636550308
+&= 0.23286364267244272
 \end{align}\)
@@ Zeile 245: / Zeile 262: @@
 \( \begin{align}
-l &= 112288\overset{\circ}{.}10830587264 = 328\overset{\circ}{.}108306\\
+l &= 112288\overset{\circ}{.}10828756973 = 328\overset{\circ}{.}10828756973206\\
-D &= 103984\overset{\circ}{.}37163064205 = 304\overset{\circ}{.}371631\\
+D &= 103984\overset{\circ}{.}37161370827 = 304\overset{\circ}{.}3716137082665\\
-M &= 8740\overset{\circ}{.}39908572798 = 100\overset{\circ}{.}399086\\
+M &= 8740\overset{\circ}{.}399084358916 = 100\overset{\circ}{.}3990843589163\\
-m &= 111257\overset{\circ}{.}23045523079 = 17\overset{\circ}{.}230455\\
+m &= 111257\overset{\circ}{.}23043708263 = 17\overset{\circ}{.}230437082631397 \\
-F &= 112613\overset{\circ}{.}45386238756 = 293\overset{\circ}{.}453862
+F &= 112613\overset{\circ}{.}45384401109 = 293\overset{\circ}{.}45384401109186
 \end{align} \)
-Die Hilfwinkel $A1, A2, A3$ ergeben sich mit
+Für große Winkel wurde die [[:mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktionsfunktion]] verwendet.
+Für den Faktor $E$ bzw. $E^2$ ergibt sich
+\(\begin{align}
+E &= 0.9994137138065131\\
+E^2 &= 0.9988277713445269
+\end{align}\)
+Die Hilfwinkel $A1, A2, A3$ berechnen sich zu
 \( \begin{align}
-A_1 &= 150\overset{\circ}{.}45283842773318 = 150\overset{\circ}{.}45\\
+A_1 &= 150\overset{\circ}{.}4528384227189\\
-A_2 &= 111656\overset{\circ}{.}31839044867 = 56\overset{\circ}{.}32\\
+A_2 &= 111656\overset{\circ}{.}31837222195 = 56\overset{\circ}{.}31837222195463\\
-A_3 &= 112382\overset{\circ}{.}91657870173 = 62\overset{\circ}{.}92
+A_3 &= 112382\overset{\circ}{.}91656039887 = 62\overset{\circ}{.}91656039886584
 \end{align} \)
@@ Zeile 263: / Zeile 289: @@
 \( \begin{align}
-\Sigma l &= +275573\overset{\circ}{.}8924802309\\
+\Sigma l &= +275572\overset{\circ}{.}2162040365\\
-\Sigma r &= -17004717\overset{\circ}{.}804213602\\
+\Sigma r &= -17004717\overset{\circ}{.}5126011\\
-\Sigma b &= -4807535\overset{\circ}{.}191982148\\
+\Sigma b &= -4807535\overset{\circ}{.}946447014\\
 \end{align} \)
 Die additiven Terme mit den Hilfswinkeln müssen noch zu $\Sigma l$ und $\Sigma b$ addiert werden, nämlich
+zu $\Sigma l$
+\(\begin{align}
+&+3958\cdot \sin(150.45)\\
+&+1962\cdot \sin(328.108306 - 293.453862)\\
+&+318\cdot \sin(56.32)\\
+&=3332\overset{\circ}{.}108843107891\\
+&=92\overset{\circ}{.}10884310789106
+\end{align}\)
+zu $\Sigma b$
+\(\begin{align}
+&-2235\cdot \sin(328.108306)\\
+&+382\cdot \sin(62.92)\\
+&+175\cdot \sin(150.45 - 293.453862)\\
+&+175\cdot \sin(150.45 + 293.453862)\\
+&+127\cdot \sin(328.108306 - 17.230455)\\
+&-115\cdot \sin(328.108306 + 17.230455)\\
+&=1522\overset{\circ}{.}674361402996\\
+&=82\overset{\circ}{.}67436140299606
+\end{align}\)
 \(\begin{align}
-\Sigma l &= +275573\overset{\circ}{.}8924802309 \\
+\Sigma l =&\;275572\overset{\circ}{.}2162040365  \\
-&+ 92\overset{\circ}{.}108897\\
+& +92\overset{\circ}{.}10884310789106\\
-&= +278906\overset{\circ}{.}00 \\\\
+&= 278904\overset{\circ}{.}3250471444 \\\\
-\Sigma b &= -4807535\overset{\circ}{.}191982148\\
+\Sigma b =& -4807535\overset{\circ}{.}946447014\\
-&+ 82\overset{\circ}{.}673791\\
+&+82\overset{\circ}{.}67436140299606\\
-&= -4806012\overset{\circ}{.}52
+&= -4806013\overset{\circ}{.}272085611
 \end{align} \)
@@ Zeile 282: / Zeile 331: @@
 \( \begin{align}{\;}
-\lambda &= 328\overset{\circ}{.}108306 + \frac{278906.00}{10^6}\\
+\lambda &= 328\overset{\circ}{.}10828756973206 + \frac{278904\overset{\circ}{.}3250471444}{10^6}\\
-&= 328\overset{\circ}{.}387212 \\\\
+&= 328\overset{\circ}{.}38719189478434 \\\\
-\beta &= \frac{-4806012.52}{10^6} = -4\overset{\circ}{.}806013\\\\
+\beta &= \frac{-4806013\overset{\circ}{.}272085611}{10^6} = -4\overset{\circ}{.}806013272085611\\\\
-\Delta &= 385000.57 + \frac{-17004717.80}{10^3}\\
+\Delta &= 385000.57 + \frac{-17004717.5126011}{10^3}\\
-&= 367995.8\,\textrm{km}\\
+&= 367995.8424873989\,\textrm{km}\\
 \end{align} \)
 Schließlich erhält man die Horizontalparallaxe $\pi$ des Mondes mit
-$\pi = \arcsin\left(\frac{6378.14}{367995.8}\right) = 0\overset{\circ}{.}9931058$
+$\pi = \arcsin\left(\frac{6378.14}{367995.8424873989}\right) = 0\overset{\circ}{.}9931057906351756$
+Zum Vergleich die Daten, die von der Astronomie-Software SOLEX 12.1 angegeben werden. Die Einstellungen in SOLEX wurden ebenfalls auf $\Delta T = 69^s$ gesetzt.
-Zum Vergleich die Daten, die vom Onlinesystem [[https://ssd.jpl.nasa.gov/horizons/app.html#/|JPL Horizons]] angegeben werden:
 {{anchor:meeus_moon_bsp}}
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto}}
-^             ^  hier                           ^  JPL Horizons                     ^  Differenz              ^
+^             ^  Dieses Beispiel                ^  SOLEX 12.1                     ^  Differenz              ^
-|  $\lambda=$ |  $328\overset{\circ}{.}387212$  |  $328\overset{\circ}{.}3839182 $  |  $11\overset{''}{.}86$  |
+|  $\lambda=$ |  $328\overset{\circ}{.}387192$  |  $328\overset{\circ}{.}3869343 $  |  $0\overset{''}{.}93$  |
-|    $\beta=$ |  $-4\overset{\circ}{.}806013$   |  $-4\overset{\circ}{.}8055943  $  |  $1\overset{''}{.}51$   |
+|    $\beta=$ |  $-4\overset{\circ}{.}806013$   |  $-4\overset{\circ}{.}8055938  $  |  $1\overset{''}{.}51$   |
-|   $\Delta=$ |  $367995.8 \textsf{ km}$        |  $367965.24811 \textsf{ km}$      |  $30.55 \textsf{ km}$   |
+|   $\Delta=$ |  $367995.8 \textsf{ km}$        |  $367995.46 \textsf{ km}$      |  $0.34 \textsf{ km}$   |
+Man vergleiche diese Werte mit jenen aus [[:mondposition_nach_montenbruck#mont_moon_bsp|Mondposition nach Montenbruck]].
 </WRAP>