Unterschiede

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--- erdmond [2024/05/01 15:45] – [Knotendurchgang] hcgreier
+++ erdmond [2025/02/03 16:18] (aktuell) – [Mittlere Bahnelemente] quern
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 in niedriger, aber für die meisten Zwecke ausreichender Genauigkeit. Es gilt für $T$ die Epoche $J1900.0$.
-$$\tag{1}\label{epoch} T = \frac{JDE - 2415020.0}{36525} $$
+$$\label{epoch} T = \frac{JDE - 2415020.0}{36525}\tag{1}$$
 ==== Mittlere Bahnelemente ====
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="250px,250px"&float=center}}
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="130px,380px"&float=center}}
-^ Sonne:                                                                                                                                                                                                 ^                                                                                                                                                                                                           ^
+^  Tabelle 1                                                                                                    ||
-|  \(\begin{align} L &= 279\overset{\circ}{.}696678\\   & +36000\overset{\circ}{.}0 \cdot T\\   & +0\overset{\circ}{.}768925 \cdot T\\   & +3\overset{\circ}{.}03 \cdot 10^{-4} \cdot T^2 \end{align}\)  |  \(\begin{align} M &= 358\overset{\circ}{.}475833\\   & +35640\overset{\circ}{.}0 \cdot T\\   & +359\overset{\circ}{.}049750 \cdot T\\   & -1\overset{\circ}{.}5 \cdot 10^{-4} \cdot T^2\\ \end{align}\)  |
+^  Sonne:                                                                                                       ||
+|                  $L=$ | $279\overset{\circ}{.}696678 +36000\overset{\circ}{.}0 \cdot T$                        |
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="250px,250px,250px"&float=center}}
+|                       | $+0\overset{\circ}{.}768925 \cdot T +3\overset{\circ}{.}03 \cdot 10^{-4} \cdot T^2$    |
-^ Mond                                                                                                                                                                                                      ^                                                                                                                                                                                                           ^                                                                                                                                                                                                                 ^
+|                  $M=$ | $358\overset{\circ}{.}475833 +35640\overset{\circ}{.}0 \cdot T$                        |
-|  \(\begin{align} l &= 270\overset{\circ}{.}434164\\   & +480960\overset{\circ}{.}0 \cdot T\\   & +307\overset{\circ}{.}883142 \cdot T\\   & -1\overset{\circ}{.}133 \cdot10^{-3} \cdot T^2 \end{align}\)  |  \(\begin{align} m &= 296\overset{\circ}{.}104608\\   & +477000\overset{\circ}{.}0 \cdot T\\   & +198\overset{\circ}{.}849108 \cdot T\\   & +9\overset{\circ}{.}192 \cdot10^{-3} \cdot T^2 \end{align}\)  |  \(\begin{align} \Omega &= 259\overset{\circ}{.}183275\\   & - 1800\overset{\circ}{.}0 \cdot T\\   & - 134\overset{\circ}{.}142008 \cdot T\\   & + 2\overset{\circ}{.}078 \cdot10^{-3} \cdot T^2 \end{align}\)  |
+|                       | $+359\overset{\circ}{.}049750 \cdot T -1\overset{\circ}{.}5 \cdot 10^{-4} \cdot T^2$   |
+^  Mond:                                                                                                        ||
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="300px,300px"&float=center}}
+|                  $l=$ | $270\overset{\circ}{.}434164 +480960\overset{\circ}{.}0 \cdot T$                       |
-^ Delaunay Argumente:                                                                                                                                                                                              ^                                                                                                                                                                                                                  ^
+|                       | $+307\overset{\circ}{.}883142 \cdot T -1\overset{\circ}{.}133 \cdot10^{-3} \cdot T^2$  |
-|  \(\begin{align} F = l - \Omega &= 11\overset{\circ}{.}250889\\  & +483120\overset{\circ}{.}0 \cdot T\\  & +82\overset{\circ}{.}0251 \cdot T\\  & -3\overset{\circ}{.}211 \cdot 10^{-3} \cdot T^2 \end{align}\)  |  \(\begin{align} D = l - L &= 350\overset{\circ}{.}737486\\   & +444960\overset{\circ}{.}0 \cdot T\\   & +307\overset{\circ}{.}1142 \cdot T\\   & -1\overset{\circ}{.}436 \cdot 10^{-3} \cdot T^2 \end{align}\)  |
+|                  $m=$ | $296\overset{\circ}{.}104608 +477000\overset{\circ}{.}0 \cdot T$                       |
+|                       | $+198\overset{\circ}{.}849108 \cdot T +9\overset{\circ}{.}192 \cdot10^{-3} \cdot T^2$  |
+|             $\Omega=$ | $259\overset{\circ}{.}183275 -1800\overset{\circ}{.}0 \cdot T$                         |
+|                       | $-134\overset{\circ}{.}142008 \cdot T +2\overset{\circ}{.}078 \cdot10^{-3} \cdot T^2$  |
+^  Delaunay Argumente:                                                                                          ||
+|         $F=l-\Omega=$ | $11\overset{\circ}{.}250889 +483120\overset{\circ}{.}0 \cdot T$                        |
+|                       | $+82\overset{\circ}{.}0251 \cdot T -3\overset{\circ}{.}211 \cdot 10^{-3} \cdot T^2$    |
+|              $D=l-L=$ | $350\overset{\circ}{.}737486 +444960\overset{\circ}{.}0 \cdot T$                       |
+|                       | $+307\overset{\circ}{.}1142 \cdot T -1\overset{\circ}{.}436 \cdot 10^{-3} \cdot T^2$   |
 <WRAP center round box 100%>
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 $D$ = Argument der Länge \\
 </WRAP>
+<WRAP center round tip 100%>
+Die nachfolgende Störungsrechnung reicht völlig aus, um z.B. die Auf- und Untergangszeiten des Mondes zu berechnen. Dazu benötigt man keine hochgenauen Mondkoordinaten. Man kann eventuell auch die Berechnung von $\Delta T$ vernachlässigen und direkt mit Weltzeit $UT$ rechnen. $\Delta T$ beträgt zur Zeit (2025) etwa 70 Sekunden, der Mond bewegt sich in diesem kurzen Zeitrahmen im Mittel um etwa $35''$ weiter, welches weit unter der Genauigkeit dieses einfachen Algorithmus liegt.
+</WRAP>
 ==== Störungsterme ====
-In der Länge $\lambda$ fallen beide Theorien zusammen:
+In der Länge $\lambda$ fallen beide Theorien in den Störtermen zusammen:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="830px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-^ Störterme in der Länge ^
+\Delta\lambda = & +22640'' \cdot \sin(m)\\
-| \[\begin{align}
+&+769'' \cdot \sin(2 m) \\
-\Delta\lambda = & +22640'' \cdot \sin (m) +769'' \cdot \sin (2 m) +36'' \cdot \sin (3 m) \\
+&+36'' \cdot \sin(3 m) \\
-& +4587'' \cdot \sin (2 D - m) +2370'' \cdot \sin (2 D) -668'' \cdot \sin (M) \\
+&+4587'' \cdot \sin(2 D - m)\\
-& -412'' \cdot \sin (2 F) +212'' \cdot \sin (2 \cdot (D - m)) +206'' \cdot \sin (2 D - M - m) \\
+&+2370'' \cdot \sin(2 D) \\
-& +192'' \cdot \sin (2 D + m) +165'' \cdot \sin (2 D - M) +148'' \cdot \sin (m - M) \\
+&-668'' \cdot \sin(M) \\
-& -125'' \cdot \sin (D) -110'' \cdot \sin (m + M) +55'' \cdot \sin (2 \cdot (D - F)) \\
+&-412'' \cdot \sin(2 F) \\
-& -45'' \cdot \sin (2 F + m) -40'' \cdot \sin (2 F - m) + 8'' \cdot \sin (4 D - m)
+&+212'' \cdot \sin(2 \cdot (D - m)) \\
-\end{align}\] |
+&+206'' \cdot \sin(2 D - M - m)\\
+&+192'' \cdot \sin(2 D + m)\\ &+165'' \cdot \sin(2 D - M)\\
+&+148'' \cdot \sin(m - M) \\
+&-125'' \cdot \sin(D) \\
+&-110'' \cdot \sin(m + M)\\
+&+55'' \cdot \sin(2 \cdot (D - F))\\
+&-45'' \cdot \sin(2 F + m)\\
+&-40'' \cdot \sin(2 F - m)\\
+&+38'' \cdot \sin(4 D - m)
+\end{align}\tag{2}\]
 In der Breite $\beta$ gehört $\Delta\beta_1$ zur ILE und $\Delta\beta_2$ zur ELP2000. Die Brownsche Mondtheorie benötigt vorab noch einen Hilfsterm:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="543px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align} \Delta G = \frac{1}{3600''}\cdot \big(\Delta\lambda + 412''\cdot \sin (2\cdot F) + 541''\cdot \sin (M)\big) \end{align}\]  |
+\Delta G =&\; \frac{1}{3600''}\cdot \big[\Delta\lambda\\
+&+412''\cdot \sin(2\cdot F)\\
+&+541''\cdot \sin(M)\big]
+\end{align}\tag{3}\]
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="830px"&float=center}}
+Störterme in der Breite für die DE200:
-^ Störterme in der Breite für die ILE (Brownsche Mondtheorie) ^
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align}
+\Delta\beta_1 = & +18520'' \cdot \sin(F + \Delta G)\\
-\Delta\beta_1 = & +18520'' \cdot \sin (F + \Delta G) -526'' \cdot \sin (F - 2 D) +44'' \cdot \sin (F - 2 D + m) \\
+&-526'' \cdot \sin(F - 2 D)\\
-& -31'' \cdot \sin (F - 2 D - m) -23'' \cdot \sin (F - 2 D + M) +11'' \cdot \sin (F - 2 D - M) \\
+&+44'' \cdot \sin(F - 2 D + m)\\
-& -25'' \cdot \sin (F - 2 m) +21'' \cdot \sin (F - m) +24'' \cdot \sin (F + M) \\
+&-31'' \cdot \sin(F - 2 D - m)\\ &-23'' \cdot \sin(F - 2 D + M)\\ &+11'' \cdot \sin(F - 2 D - M)\\
-& -14'' \cdot \sin (m)
+&-25'' \cdot \sin(F - 2 m)\\
-\end{align}\] |
+&+21'' \cdot \sin(F - m)\\
+&+24'' \cdot \sin(F + M)\\
+&-14'' \cdot \sin(m)
+\end{align}\tag{4}\]
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="830px"&float=center}}
+Störterme in der Breite für die ELP2000:
-^ Störterme in der Breite für die ELP2000 ^
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align}
+\Delta\beta_2 = & +18462'' \cdot \sin(F)\\
-\Delta\beta_2 = & +18462'' \cdot \sin (F) +1010'' \cdot \sin (m + F) +1000'' \cdot \sin (m - F) \\
+&+1010'' \cdot \sin(m + F)\\
-& +624'' \cdot \sin (2 D - F) +200'' \cdot \sin (2 D + F - m) +167'' \cdot \sin (2 D - F - m) \\
+&+1000'' \cdot \sin(m - F)\\
-& +117'' \cdot \sin (2 D + F) +62'' \cdot \sin (2 m + F) +33'' \cdot \sin (2 D - F + m ) \\
+&+624'' \cdot \sin(2 D - F)\\
-& +32'' \cdot \sin (2 m - F)
+&+200'' \cdot \sin(2 D + F - m)\\
-\end{align}\] |
+&+167'' \cdot \sin(2 D - F - m)\\
+&+117'' \cdot \sin(2 D + F)\\
+&+62'' \cdot \sin(2 m + F)\\
+&+33'' \cdot \sin(2 D - F + m )\\
+&+32'' \cdot \sin(2 m - F)
+\end{align}\tag{5}\]
 {{anchor:parallaxe_mond}}
-Parallaxe:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="650px"&float=center}}
+Auch bei der Parallaxe fallen beide Theorien in dieser Größenordnung zusammen:
-^ Störterme für die Parallaxe ^
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align}
+\Delta\Pi = & +187'' \cdot \cos(m)\\
-\Delta\Pi = & +187'' \cdot \cos (m) +10'' \cdot \cos (2 m) +34'' \cdot \cos (2 D - m) \\
+&+10'' \cdot \cos(2 m)\\
-& +28'' \cdot\cos (2 D) +3'' \cdot \cos (2 D + m)
+&+34'' \cdot \cos(2 D - m)\\
-\end{align} \] |
+&+28'' \cdot\cos(2 D)\\
+&+3'' \cdot \cos(2 D + m)
+\end{align}\tag{6}\]
 {{anchor:parallaxe}}
@@ Zeile 90: / Zeile 125: @@
 Es fehlt nur noch der Störungsterm für den Radius $r$:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="830px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-^ Störterme für den Radiusvektor ^
+\Delta r = & -20905\,\mathrm{km} \cdot\cos(m\\
-| \[\begin{align}
+&-570\,\mathrm{km} \cdot \cos(2 m)\\
-\Delta r = & -20905\,\mathrm{km} \cdot\cos(m) -570\,\mathrm{km} \cdot \cos(2 m) -3699\,\mathrm{km} \cdot \cos(2 D - m) \\
+&-3699\,\mathrm{km} \cdot \cos(2 D - m)\\
-& -2956\,\mathrm{km} \cdot\cos(2 D) +246\,\mathrm{km} \cdot \cos(2 (m - D)) -205\,\mathrm{km} \cdot \cos(M - 2 D) \\
+&-2956\,\mathrm{km} \cdot\cos(2 D)\\
-& -171\,\mathrm{km} \cdot\cos(m + 2 D) -152\,\mathrm{km} \cdot \cos(m + M - 2 D)
+&+246\,\mathrm{km} \cdot \cos(2 (m - D))\\
-\end{align}\] |
+&-205\,\mathrm{km} \cdot \cos(M - 2 D)\\
+&-171\,\mathrm{km} \cdot\cos(m + 2 D)\\
+&-152\,\mathrm{km} \cdot \cos(m + M - 2 D)
+\end{align}\tag{7}\]
 Auch beim Radius $r$ fallen beide Theorien zusammen. Damit hat man die geozentrisch ekliptikalen Koordinaten des Mondes vorliegen:
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="140px,280px"&float=center}}
-|         Länge: | $\large\lambda = l + \frac{\Delta\lambda}{3600''}$                 |
+^  Tabelle 2  ||
-|        Breite: | $\large\beta_{k}=\frac{\Delta\beta_k}{3600''}$                     |
+| Länge:         | $\large\lambda = l + \frac{\Delta\lambda}{3600''}$                 |
-|  Radiusvektor: | $\large\Delta = 385000 \ km + \Delta r$                            |
+| Breite:        | $\large\beta_{k}=\frac{\Delta\beta_k}{3600''}$                     |
-|     Parallaxe: | $\large\Pi = 0\overset{\circ}{.}95333 + \frac{\Delta\Pi}{3600''}$  |
+| Radiusvektor:  | $\large\Delta = 385000 \ km + \Delta r$                            |
+| Parallaxe:     | $\large\Pi = 0\overset{\circ}{.}95333 + \frac{\Delta\Pi}{3600''}$  |
 Der Index $k = 1, 2$ bezeichnet die jeweilige Theorie.
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 Für die Hauptwinkel $L$, $M$, $l$, $m$, $\Omega$, $F$ und $D$ erhält man hier mithilfe der [[mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktions-Funktion]]:
-\( \begin{align}
+\(\begin{align}
 L &= 44663\overset{\circ}{.}736255799195 = 23\overset{\circ}{.}736256\\
 M &= 44740\overset{\circ}{.}39521390763 = 100\overset{\circ}{.}395214\\
@@ Zeile 144: / Zeile 183: @@
 F &= 595733\overset{\circ}{.}4548382952 = 293\overset{\circ}{.}454838\\
 D &= 549304\overset{\circ}{.}3716951403 = 304\overset{\circ}{.}371695
-\end{align} \)
+\end{align}\)
 Die Korrekturterme für $\Delta\lambda$ und $\Delta r$ sind für beide Theorien gleich zu berechnen, man erhält
@@ Zeile 184: / Zeile 223: @@
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="190px,190px,190px"}}
+^  Tabelle Beispiel  |||
 ^  Schnell                                  ^  Meeus                                    ^  Differenz                ^
 |  $\lambda = 328\overset{\circ}{.}355575$  |  $\lambda = 328\overset{\circ}{.}387192$  |  $-113\overset{''}{.}9$   |
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 ==== Ausführliche Mondtheorien nach J. Meeus, O. Montenbruck und T. Pfleger ====
-Die beiden ausführlichen Theorien mit deutlich höherer Genauigkeit haben aufgrund ihres großen Umfangs zwei Extraseiten erhalten. Sie sind [[mondposition_nach_meeus|hier]] und [[mondposition_nach_montenbruck|hier]] zu finden. Ferner gibt es ein [[:vergleich_der_mondpositionen|Vergleich]] der beiden Theorien.
+Die beiden ausführlichen Theorien mit deutlich höherer Genauigkeit haben aufgrund ihres großen Umfangs zwei Extraseiten erhalten. Sie sind hier zu finden:
+  * [[mondposition_nach_meeus|J. Meeus]] und
+  * [[mondposition_nach_montenbruck|Montenbruck/Pfleger]]
+Ferner gibt es einen [[:vergleich_der_mondpositionen|Vergleich]] dieser beiden Theorien.
 ===== Physische Ephemeriden =====
@@ Zeile 202: / Zeile 248: @@
 \[\begin{align}
-&\sin\left(\frac{\varnothing}{2}\right) = 0.2724934056\cdot \sin (\Pi)\\
+&\sin\left(\frac{\varnothing}{2}\right) = 0.2724934056\cdot \sin(\Pi)\\
 &\textrm{mit}\quad\dfrac{R_M}{R_E} = 0.2724934056
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{8}\]
 Und den topozentrischen Durchmesser ermittelt man mit:
-$$\tan\left(\frac{\varnothing}{2}\right) = \frac{R_M}{\Delta'}$$
+$$\tan\left(\frac{\varnothing}{2}\right) = \frac{R_M}{\Delta'}\tag{9}$$
 $\Delta'$ ist der [[koordinatentransformation#topozentrisch|topozentrische Abstand]]. Die Ausgabe ist in Grad und sollte ggf. durch Multiplikation mit $60$ in Bogenminuten umgerechnet werden.
@@ Zeile 214: / Zeile 260: @@
 Der Sonnenpositionswinkel $\theta$ und die Elongation $\eta$ werden in [[physische ephemeriden#sonnenpositionswinkel|diesem Abschnitt]] berechnet. $\alpha_0$, $\delta_0$ müssen die Koordinaten der Sonne und $\alpha$, $\delta$ die Koordinaten des Mondes sein. Ist die Elongation bekannt, so kann mit guter Genauigkeit (J. Meeus) die Relation für den Phasenwinkel $\varphi$ gelten:
-$$\cos(\varphi) = -\cos(\eta)$$
+$$\cos(\varphi) = -\cos(\eta)\tag{10}$$
 Dies ist möglich, weil $\sigma \ll 1$ gilt. Der Beleuchtungsgrad $k$ ist dann:
-$$k = \frac{1}{2} \cdot \big(1 + \cos (\varphi)\big) \cdot 100\%$$
+$$k = \frac{1}{2} \cdot \big(1 + \cos (\varphi)\big) \cdot 100\%\tag{11}$$
 <WRAP center round info 100%>
@@ Zeile 229: / Zeile 275: @@
 Man berechnet die Delauney-Argumente $D, M$ und $m$ mit
-\[ \begin{align}
+\[\begin{align}
 D &=\,297\overset{\circ}{.}8501921\\ &+445267\overset{\circ}{.}1114034\cdot T\\ &-0\overset{\circ}{.}0018819\cdot T^2
-\end{align} \]
+\end{align}\tag{12}\]
-\[ \begin{align}
+\[\begin{align}
 M &=\,357\overset{\circ}{.}5291092\\ &+35999\overset{\circ}{.}0502909\cdot T\\ &-0\overset{\circ}{.}0001536\cdot T^2
-\end{align} \]
+\end{align}\tag{13}\]
-\[ \begin{align}
+\[\begin{align}
 m &=\,134\overset{\circ}{.}9633964\\ &+477198\overset{\circ}{.}8675055\cdot T\\ &+0\overset{\circ}{.}0087414\cdot T^2
-\end{align} \]
+\end{align}\tag{14}\]
 Es genügt hier, nur Terme bis zur 2. Potenz in $T$ zu berücksichtigen. $T$ sind wieder die julianischen Jahrhunderte bezüglich der Epoche $J2000$, nämlich
-$$T = \frac{JD - 2451545.0}{36525}$$
+$$T = \frac{JD - 2451545.0}{36525}\tag{15}$$
 Daraus erhält man einen guten Näherungswert für den Phasenwinkel mit
+\[\begin{align}
-\[ \begin{align}
 \varphi &=\,180^{\circ} - D\\
 &-6\overset{\circ}{.}289\cdot\sin(m)\\
@@ Zeile 255: / Zeile 300: @@
 &-0\overset{\circ}{.}214\cdot\sin(2\cdot m)\\
 &-0\overset{\circ}{.}110\cdot\sin(D)
-\end{align} \]
+\end{align}\tag{16}\]
 <WRAP center round box 100%>
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 Mit Hilfe des [[physische_ephemeriden#phase_beleuchtungsdefekt|Phasenwinkels]] $\varphi$ ist es nun möglich, die Helligkeit $H$ des Mondes am Firmament zu berechnen:
-\[ \begin{align} H = -12\overset{m}{.}74 &+ 5\cdot \log_{10}(|a\cdot (a - 1)|) \\
+\[\begin{align} H = -12\overset{m}{.}74 &+ 5\cdot \log_{10}(R\cdot\Delta) \\
 &+ 2\overset{m}{.}825\cdot \left(\frac{\varphi}{100}\right) \\
 &-0\overset{m}{.}51\cdot \left(\frac{\varphi}{100}\right)^2 \\
 &+ 0\overset{m}{.}525\cdot \left(\frac{\varphi}{100}\right)^3 \\
 &+ 0\overset{m}{.}2\cdot \left(\frac{\varphi}{100}\right)^4 \\
-\end{align} \]
+\end{align}\tag{17}\]
-$a$ ist die große Halbachse des Mondes mit $a = 383397.7725$ km. Diese muss in $AE$ (=> [[:wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|Wichtige Konstanten]]) umgerechnet werden.
+$\Delta$ ist die geozentrische Monddistanz und $R$ der heliozentrische Erdabstand. Beide Variablen sind in AE gehalten: $a$ ist die große Halbachse des Mondes mit $a = 383397.7725$ km. Diese muss in $AE$ (=> [[:wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|Wichtige Konstanten]]) umgerechnet werden.
-$$a = \frac{383397.7725\,km}{149597870.7\tfrac{km}{AE}} = 0.002562855813\,AE$$
+$$a = \frac{383397.7725\,km}{149597870.7\tfrac{km}{AE}} = 0.002562855813\,AE\tag{18}$$
-Die Helligkeit des Erdtrabanten ist ein Mittelwert aus den Gleichungen, die im [[:literaturhinweise#paper_harris|D.L. Harris]] (Photometry and Colormetry of Planets and Satellites) und im [[:literaturhinweise#books_allen|C.W. Allen]] (Astrophysical Quantities) zu finden sind.
+Die Helligkeit des Erdtrabanten ist ein Mittelwert aus den Gleichungen, die in [[:literaturhinweise#paper_harris|D.L. Harris]] (Photometry and Colormetry of Planets and Satellites) und im [[:literaturhinweise#books_allen|C.W. Allen]] (Astrophysical Quantities) zu finden sind.
 ==== Rotation ====
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 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="65px,200px,200px,200px,200px"&float=center}}
+^  Tabelle 3  |||||
 | $\alpha_0=$  | $269\overset{\circ}{.}9949$                   | $+0\overset{\circ}{.}0031\cdot T$             | $-3\overset{\circ}{.}8787\cdot \sin(E_1)$       | $-0\overset{\circ}{.}1204\cdot \sin(E_2)$     |
 |              | $+0\overset{\circ}{.}0700\cdot \sin(E_3)$     | $-0\overset{\circ}{.}0172\cdot \sin(E_4)$     | $+0\overset{\circ}{.}0072\cdot \sin(E_6)$       | $-0\overset{\circ}{.}0052\cdot \sin(E_{10})$  |
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 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="360px,360px"&float=center}}
+^  Tabelle 4  ||
 | $E_1 = 125\overset{\circ}{.}045 - 0\overset{\circ}{.}0529921\cdot d$   | $E_8 = 276\overset{\circ}{.}617 + 0\overset{\circ}{.}3287146\cdot d$     |
 | $E_2 = 250\overset{\circ}{.}089 - 0\overset{\circ}{.}1059842\cdot d$   | $E_9 = 34\overset{\circ}{.}226 + 1\overset{\circ}{.}7484877\cdot d$      |
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 Das Mondalter $MA$ bezeichnet die Anzahl der Tage seit dem letzten Neumond.
-$$MA = \mathrm{red}(l − L,360^{\circ})$$
+$$MA = \mathrm{red}(l − L,360^{\circ})\tag{19}$$
-mit der [[mathematische grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktionsfunktion]]. Die Berechnung stammt aus [[:literaturhinweise#books_hempe|K. Hempe & J. Molt]].
+mit der [[mathematische grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktionsfunktion]] red(x;y). Die Berechnung stammt aus [[:literaturhinweise#books_hempe|K. Hempe & J. Molt]].
 ==== Perigäumspassage ====
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 &+ 2\overset{d}{.}2325\cdot 10^{-9}\cdot T^2\\
 &- 1\overset{d}{.}3985\cdot 10^{-13}\cdot T^3
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{20}\]
 ==== Knotendurchgang ====
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 &+ 2\overset{d}{.}9833\cdot 10^{-9}\cdot T^2\\
 &- 1\overset{d}{.}8809\cdot 10^{-13}\cdot T^3
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{21}\]
 $T$ ist wieder in Jahrhunderten der Epoche $J2000.0$. $\Delta JDE_{\pi,\Omega}$ muss nur noch zum aktuellen $JD$ hinzuaddiert werden. Die beiden Ausdrücke stammen von [[:literaturhinweise#web_reijs|Viktor Reijs]].
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 ==== Mondphasen ====
-Dem Thema Mondphasen ist ein eigenes [[mondphasen|Kapitel]] gewidmet. Es geht um die Berechnung der Zeitpunkte von Vollmond, Neumond etc. Dies ist auch für die Finsternisse essentiell.
+Dem Thema Mondphasen ist ein eigenes [[mondphasen|Kapitel]] gewidmet. Es geht um die Berechnung der Zeitpunkte von //Vollmond//, //Neumond// etc. Dies ist auch für die Finsternisse essentiell.