Dreieck ABD

Dreieck ABC

Zunächst kann man die Diagonalen des Vierecks einzeichnen und damit die Fläche in Dreiecke aufteilen.

Im Dreieck $\triangle ABC$ erhält man den Winkel $\gamma_1$ aus der Winkelsumme

${{\gamma }_{1}}=180{}^\circ -{{\alpha }_{2}}-{{\beta }_{1}}=180{}^\circ -35{}^\circ -80{}^\circ =65{}^\circ$

Im Dreieck $\triangle ABD$ erhält man den Winkel $\delta_1$ aus der Winkelsumme

$\delta_1 =180{}^\circ -{{\alpha }_{1}}-{{\beta }_{2}}=180{}^\circ -54{}^\circ -40{}^\circ =86{}^\circ$

Nun liefert der Sinussatz im Dreieck $\triangle ABD$

$\displaystyle \frac{d}{{\sin {{\beta }_{2}}}}=\frac{a}{{\sin {{\delta }_{1}}}}\Rightarrow d=\frac{{a\cdot \sin {{\beta }_{2}}}}{{\sin {{\delta }_{1}}}}=\frac{{120\cdot \sin (40)}}{{\sin (86)}}=77,32\,m$

Im Dreieck $\triangle ABC$ ergibt ebenfalls der Sinussatz

$\displaystyle \frac{e}{{\sin {{\beta }_{1}}}}=\frac{a}{{\sin {{\gamma }_{1}}}}\Rightarrow e=\frac{{a\cdot \sin {{\beta }_{1}}}}{{\sin {{\gamma }_{1}}}}=\frac{{120\cdot \sin (80)}}{{\sin (65)}}=130,39\,m$

Nun hat man die Seite $d$ und die Diagonale $e$ sowie deren eingeschlossenen Winkel $\displaystyle {\alpha }’={{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{2}}=54{}^\circ -35{}^\circ =19{}^\circ$, und mit dem Cosinussatz folgt daraus

$\displaystyle {{x}^{2}}={{d}^{2}}+{{e}^{2}}-2\cdot d\cdot e\cdot \cos ({{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{2}})={{77,32}^{2}}+{{130,39}^{2}}-2\cdot 77,32\cdot 130,39\cdot \cos (19)=3915,1\,{{m}^{2}}$

$\displaystyle x=\sqrt{{3915,1\,{{m}^{2}}}}=62,57\,m$

Die Länge der Strecke beträgt $x=62,57\,m$