In Vermessungsaufgaben ist es oftmals notwendig eine unbekannte Strecke aus bekannten Strecken und Winkeln zu berechnen. Beim Verfahren „Vorwärts Einschneiden“ misst man die Länge einer Standlinie, und von beiden Endpunkten dieser Standlinie misst man die Winkel zu den Endpunkten der unbekannten Strecke. Aus diesen Daten kann dann die Länge der unbekannten Strecke berechnet werden.
Bei einer Vermessung einer Baufläche konnte die Seite \(x\) nicht direkt vermessen werden (keine Sichtlinie). Es wurde eine Standlinie mit \(a=120\,m\) bestimmt. Von beiden Endpunkten der Standlinie wurden folgende Winkel zu den gegenüberliegenden Punkten \(C,D\) gemessen:
\(\alpha_1=54^{\circ}\), \(\alpha_2=35^{\circ}\), \(\beta_1=80^{\circ}\), \(\beta_2=40^{\circ}\)
Gesucht: Berechne die Länge der unbekannten Strecke \(x\).
Benögtigte Kenntnisse:
- Gleichungen umformen
- Summensatz im Dreieck:
\(\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}\) - Sinussatz und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck
Dreieck ABD
Dreieck ABC
Zunächst kann man die Diagonalen des Vierecks einzeichnen und damit die Fläche in Dreiecke aufteilen.
Im Dreieck \(\triangle ABC\) erhält man den Winkel \(\gamma_1\) aus der Winkelsumme
\({{\gamma }_{1}}=180{}^\circ -{{\alpha }_{2}}-{{\beta }_{1}}=180{}^\circ -35{}^\circ -80{}^\circ =65{}^\circ \)
Im Dreieck \(\triangle ABD\) erhält man den Winkel \(\delta_1\) aus der Winkelsumme
\(\delta_1 =180{}^\circ -{{\alpha }_{1}}-{{\beta }_{2}}=180{}^\circ -54{}^\circ -40{}^\circ =86{}^\circ \)
Nun liefert der Sinussatz im Dreieck \(\triangle ABD\)
\(\displaystyle \frac{d}{{\sin {{\beta }_{2}}}}=\frac{a}{{\sin {{\delta }_{1}}}}\Rightarrow d=\frac{{a\cdot \sin {{\beta }_{2}}}}{{\sin {{\delta }_{1}}}}=\frac{{120\cdot \sin (40)}}{{\sin (86)}}=77,32\,m\)
Im Dreieck \(\triangle ABC\) ergibt ebenfalls der Sinussatz
\(\displaystyle \frac{e}{{\sin {{\beta }_{1}}}}=\frac{a}{{\sin {{\gamma }_{1}}}}\Rightarrow e=\frac{{a\cdot \sin {{\beta }_{1}}}}{{\sin {{\gamma }_{1}}}}=\frac{{120\cdot \sin (80)}}{{\sin (65)}}=130,39\,m\)
Nun hat man die Seite \(d\) und die Diagonale \(e\) sowie deren eingeschlossenen Winkel \(\displaystyle {\alpha }’={{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{2}}=54{}^\circ -35{}^\circ =19{}^\circ \), und mit dem Cosinussatz folgt daraus
\(\displaystyle {{x}^{2}}={{d}^{2}}+{{e}^{2}}-2\cdot d\cdot e\cdot \cos ({{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{2}})={{77,32}^{2}}+{{130,39}^{2}}-2\cdot 77,32\cdot 130,39\cdot \cos (19)=3915,1\,{{m}^{2}}\)
\(\displaystyle x=\sqrt{{3915,1\,{{m}^{2}}}}=62,57\,m\)
Die Länge der Strecke beträgt \(x=62,57\,m\)