Rechtwinkelige Sonnenkoordinaten

Für die Berechnung einer Ephemeride eines Kleinplaneten oder eines Kometen werden die rechtwinkeligen, geozentrischen äquatorialen Koordinaten $X, Y, Z$ der Sonne benötigt. Der Ursprung dieser Koordinaten ist der Mittelpunkt der Erde. Die $X$-Achse ist auf die Frühlings-Tagundnachtgleiche ($\lambda = 0^{\circ}$) gerichtet; Die $Y$-Achse liegt ebenfalls in der Äquatorebene und ist auf den Längengrad $90^{\circ}$ ausgerichtet, während die $Z$-Achse auf den Himmelsnordpol gerichtet ist.

Die Werte von $X, Y, Z$ werden für jeden Tag um $0^{h} TD$ in den großen astronomischen Almanachen angegeben. Sie werden in astronomischen Einheiten $AE$ ausgedrückt. Im Allgemeinen beziehen sie sich nicht auf den mittleren Äquator und das mittlere Äquinoktium des Datums, sondern auf ein Standard-Äquinoktium, beispielsweise jenes von $J2000.0$.

Man berechnet zunächst die geometrischen Koordinaten der Sonne, jedoch ohne die Korrekturen für Nutation und Aberration. Wenn $\odot$ und $\beta$ der geometrische Längen- und Breitengrad der Sonne und $R$ ihr Radiusvektor in astronomischen Einheiten sind, dann sind die erforderlichen rechtwinkligen Koordinaten der Sonne, bezogen auf den mittleren Äquator und das Äquinoktium des Datums, gegeben durch

\[\begin{align} X &= R\cdot\cos(\beta)\cdot\cos(\odot)\\ Y &= R\cdot\big(\cos(\beta)\cdot\sin(\odot)\cdot\cos(\varepsilon)-\sin(\beta)\cdot\sin(\varepsilon)\big)\\ Z &= R\cdot\big(\cos(\beta)\cdot\sin(\odot)\cdot\sin(\varepsilon)+\sin(\beta)\cdot\cos(\varepsilon)\big) \end{align}\tag{1}\]

Da der Breitengrad der Sonne, bezogen auf die Ekliptik des Datums, niemals $1\overset{''}{.}2$ Bogensekunden überschreitet, kann man in den Formeln oft $\cos \beta \approx 1$ und $\sin \beta \approx 0$ einsetzen und erhält vereinfacht:

\[\begin{align} X &= R\cdot\cos(\odot)\\ Y &= R\cdot\sin(\odot)\cdot\cos(\varepsilon)\\ Z &= R\cdot\sin(\odot)\cdot\sin(\varepsilon) \end{align}\tag{2}\]

Die (mittlere) Ekliptikschiefe $\varepsilon_0$ ist eine Veränderliche in julianischen Jahrhunderten $T$, wobei

$$T = \frac{(JDE - 2451545.0)}{36525}\tag{3}$$

ist und damit

\[\begin{align} \varepsilon_0 &= 23\overset{\circ}{.}439291111\\ &- \big(46\overset{''}{.}8150\cdot T\\ &- 0\overset{''}{.}00059\cdot T^2\\ &+ 0\overset{''}{.}001813\cdot T^3\big)/3600\tfrac{''}{\circ} \end{align}\tag{4}\]

oder mit dem ersten Term in Bogensekunden \[\begin{align} \varepsilon_0 &= \big(84381\overset{''}{.}448\\ &- 46\overset{''}{.}8150\cdot T\\ &- 0\overset{''}{.}00059\cdot T^2\\ &+ 0\overset{''}{.}001813\cdot T^3\big)/3600\tfrac{''}{\circ} \end{align}\tag{5}\]