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Nutation mit höherer Genauigkeit
Nach J. Meeus kann die Berechnung der Nutation in Länge $\Delta\lambda$ und in Ekliptikschiefe $\Delta\varepsilon$ mit dem folgenden Algorithmus erfolgen.
Man berechnet für den gegebenen Zeitpunkt zunächst den julianischen Tag $JD$ und addiert anschließend den Wert von $\Delta T$ (ebenfalls für den gegebenen Zeitpunkt). Der Wert für $\Delta T$ kann aus einer Tabelle entnommen oder auch berechnet werden.
Damit erhält man den julianischen Ephemeridentag $JDE$ sowie die julianischen Jahrhunderte $T$ bezüglich der Epoche $J2000$ mit
$$JDE = JD + \frac{\Delta T}{86400}\tag{1}$$
$$T = \frac{JDE - 2451545.0}{36525}\tag{2}$$
Grundwinkel
Weiters benötigt man die folgenden Grundwinkel zur Berechnung der Korrekturterme. Alle Winkelgrößen sind in Grad gegeben, zur Programmierung sollten die Werte in Radiant durch Multiplikation mit $\frac{\pi}{180}$ umgewandelt werden.
| Tabelle 1 | |
|---|---|
| Mittlere Elongation des Mondes von der Sonne | \(\begin{align} D &= 297\overset{\circ}{.}85036\\ &+ 445267\overset{\circ}{.}111480\cdot T\\ &- 0\overset{\circ}{.}0019142\cdot T^2\\ &+ \frac{1^{\circ}}{189474}\cdot T^3 \end{align}\) |
| Mittlere Anomalie der Sonne | \(\begin{align} M &= 357\overset{\circ}{.}52772\\ &+ 35999\overset{\circ}{.}050340\cdot T\\ &- 0\overset{\circ}{.}0001603\cdot T^2\\ &- \frac{1^{\circ}}{300000}\cdot T^3 \end{align}\) |
| Mittlere Anomalie des Mondes | \(\begin{align} m &= 134\overset{\circ}{.}96298\\ &+ 477198\overset{\circ}{.}867398\cdot T\\ &+ 0\overset{\circ}{.}0086972\cdot T^2\\ &+ \frac{1^{\circ}}{56250}\cdot T^3 \end{align}\) |
| Argument in der Breite des Mondes | \(\begin{align} F &= 93\overset{\circ}{.}27191\\ &+ 483202\overset{\circ}{.}017538\cdot T\\ &- 0\overset{\circ}{.}0036825\cdot T^2\\ &+ \frac{1^{\circ}}{327270}\cdot T^3 \end{align}\) |
| Länge des aufsteigenden Mondknotens (bzgl. der mittleren Epoche des Datums) | \(\begin{align} \Omega &= 125\overset{\circ}{.}04452\\ &- 1934\overset{\circ}{.}136261\cdot T\\ &+ 0\overset{\circ}{.}0020708\cdot T^2\\ &+ \frac{1^{\circ}}{450000}\cdot T^3 \end{align}\) |
Die Größen von $\Delta\lambda$ und $\Delta\varepsilon$ können nun durch Summierung der Terme in der nachstehenden Tabelle ermittelt werden. Die erste Spalte ist nur die Nummerierung der Terme und dient zur Referenzierung, es sind keine Rechenwerte.
Das Argument des Sinus (für $\Delta\lambda$) bzw. des Cosinus (für $\Delta\varepsilon$) ist jeweils eine Linearkombination der Grundwinkel. Die Multiplikatoren sind Ganzzahlen in den entsprechenden Spalten von $D, M, m, F$ und $\Omega$. Die Koeffizienten $k_{\lambda}$ und $k_{\varepsilon}$ sind in Einheiten von $0\overset{''}{.}0001$ gegeben.
$$\Delta\lambda= \frac{1}{10^4}\cdot\sum_{n = 1}^{63} k_{\lambda} \cdot \sin \big(a_n\cdot D + b_n\cdot M + c_n\cdot m + d_n\cdot F + e_n\cdot \Omega\big)\tag{3}$$
Achtung: Für $\Delta\varepsilon$ endet die Tabelle bei Term Nr. 49, da alle weiteren Koeffizienten 0 sind!
$$\Delta\varepsilon = \frac{1}{10^4}\cdot\sum_{n = 1}^{\color{#cc0000}{49}} k_{\varepsilon} \cdot \cos \big(a_n\cdot D + b_n\cdot M + c_n\cdot m + d_n\cdot F + e_n\cdot \Omega\big)\tag{4}$$
Tabelle der Korrekturterme
| Tabelle 2 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| # | $D$ | $M$ | $m$ | $F$ | $Ω$ | Koeffizient $\Delta\lambda$ | Koeffizient $\Delta\varepsilon$ |
| $n$ | $a_n$ | $b_n$ | $c_n$ | $d_n$ | $e_n$ | $k_{\lambda}$ | $k_{\varepsilon}$ |
| 01 | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $1$ | $-171996 - 174.2\cdot T$ | $+92025 + 8.9\cdot T$ |
| 02 | $-2$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $-13187 - 1.6\cdot T$ | $+5736 - 3.1\cdot T$ |
| 03 | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $-2274 - 0.2\cdot T$ | $ +977 - 0.5\cdot T$ |
| 04 | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $2$ | $+2062 + 0.2\cdot T$ | $ -895 + 0.5\cdot T$ |
| 05 | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $0$ | $+1426 - 3.4\cdot T$ | $ +54 - 0.1\cdot T$ |
| 06 | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $+712 + 0.1\cdot T$ | $ -7$ |
| 07 | $-2$ | $+1$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $-517 + 1.2\cdot T$ | $ +224 - 0.6\cdot T$ |
| 08 | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $1$ | $-386 - 0.4\cdot T$ | $ +200$ |
| 09 | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $2$ | $-301$ | $ +129 - 0.1\cdot T$ |
| 10 | $-2$ | $-1$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $+217 - 0.5\cdot T$ | $ -95 + 0.3\cdot T$ |
| 11 | $-2$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $-158$ | $ +0$ |
| 12 | $-2$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $1$ | $+129 + 0.1\cdot T$ | $ -70$ |
| 13 | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+2$ | $2$ | $+123$ | $ -53$ |
| 14 | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $0$ | $+63$ | $ +0$ |
| 15 | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $1$ | $+63 + 0.1\cdot T$ | $ -33$ |
| 16 | $+2$ | $+0$ | $-1$ | $+2$ | $2$ | $-59$ | $ +26$ |
| 17 | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+0$ | $1$ | $-58 - 0.1\cdot T$ | $ +32$ |
| 18 | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $1$ | $-51$ | $ +27$ |
| 19 | $-2$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $0$ | $+48$ | $ +0$ |
| 20 | $+0$ | $+0$ | $-2$ | $+2$ | $1$ | $+46$ | $ -24$ |
| 21 | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $-38$ | $ +16$ |
| 22 | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ | $2$ | $-31$ | $ +13$ |
| 23 | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $0$ | $+29$ | $ +0$ |
| 24 | $-2$ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $2$ | $+29$ | $ -12$ |
| 25 | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $0$ | $+26$ | $ +0$ |
| 26 | $-2$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $0$ | $-22$ | $ +0$ |
| 27 | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+2$ | $1$ | $+21$ | $ -10$ |
| 28 | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $0$ | $+17 - 0.1\cdot T$ | $ +0$ |
| 29 | $+2$ | $+0$ | $-1$ | $+0$ | $1$ | $+16$ | $ -8$ |
| 30 | $-2$ | $+2$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $-16 + 0.1\cdot T$ | $ +7$ |
| 31 | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $1$ | $-15$ | $ +9$ |
| 32 | $-2$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $1$ | $-13$ | $ +7$ |
| 33 | $+0$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $1$ | $-12$ | $ +6$ |
| 34 | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-2$ | $0$ | $+11$ | $ +0$ |
| 35 | $+2$ | $+0$ | $-1$ | $+2$ | $1$ | $-10$ | $ +5$ |
| 36 | $+2$ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $2$ | $ -8$ | $ +3$ |
| 37 | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $ +7$ | $ -3$ |
| 38 | $-2$ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $ -7$ | $ +0$ |
| 39 | $+0$ | $-1$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $ -7$ | $ +3$ |
| 40 | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $1$ | $ -7$ | $ +3$ |
| 41 | $+2$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $ +6$ | $ +0$ |
| 42 | $-2$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ | $2$ | $ +6$ | $ -3$ |
| 43 | $-2$ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $1$ | $ +6$ | $ -3$ |
| 44 | $+2$ | $+0$ | $-2$ | $+0$ | $1$ | $ -6$ | $ +3$ |
| 45 | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $1$ | $ -6$ | $ +3$ |
| 46 | $+0$ | $-1$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $ +5$ | $ +0$ |
| 47 | $-2$ | $-1$ | $+0$ | $+2$ | $1$ | $ -5$ | $ +3$ |
| 48 | $-2$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $1$ | $ -5$ | $ +3$ |
| 49 | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ | $1$ | $ -5$ | $ +3$ |
| 50 | $-2$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $1$ | $ +4$ | $ +0$ |
| 51 | $-2$ | $+1$ | $+0$ | $+2$ | $1$ | $ +4$ | $ +0$ |
| 52 | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $-2$ | $0$ | $ +4$ | $ +0$ |
| 53 | $-1$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $ -4$ | $ +0$ |
| 54 | $-2$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $0$ | $ -4$ | $ +0$ |
| 55 | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $0$ | $ -4$ | $ +0$ |
| 56 | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $0$ | $ +3$ | $ +0$ |
| 57 | $+0$ | $+0$ | $-2$ | $+2$ | $2$ | $ -3$ | $ +0$ |
| 58 | $-1$ | $-1$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $ -3$ | $ +0$ |
| 59 | $+0$ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $ -3$ | $ +0$ |
| 60 | $+0$ | $-1$ | $+1$ | $+2$ | $2$ | $ -3$ | $ +0$ |
| 61 | $+2$ | $-1$ | $-1$ | $+2$ | $2$ | $ -3$ | $ +0$ |
| 62 | $+0$ | $+0$ | $+3$ | $+2$ | $2$ | $ -3$ | $ +0$ |
| 63 | $+2$ | $-1$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $ -3$ | $ +0$ |
Beispiel
Man berechne die Nutationswerte $\Delta\lambda$ und $\Delta\varepsilon$ für den 21.5.2023 um 10:15 $MESZ$
Die Umrechnung der mitteleuropäischen Sommerzeit $MESZ$ in Weltzeit $UT$ ergibt
$UT = MESZ - 2^{h} = \textrm{10:15} - 02^{h} = \textrm{08:15}$
Für den gegebenen Zeitpunkt wurde der Julianische Tag hier bereits ermittelt zu $JD = 2460085.84375$. Im Jahr 2023 war der Wert von $\Delta T = 69^{s}$, diese müssen hinzugefügt werden, um in die gleichmäßigen Skala der dynamischen Zeit $TD$ umzurechnen. Ein Tag hat 86400 Sekunden, daher folgt
\(\begin{align} JDE &= 2460085.84375 + \frac{69^{s}}{86400\frac{s}{d}}\\ &= 2460085.844548611 \end{align}\)
Daraus erhält man die julianischen Jahrhunderte zu
\(\begin{align} T &= \frac{(2460085.844548611 - 2451545.0)}{36525}\\ &= 0.23383557970187463 \end{align}\)
Damit erhält man sukzessive die Grundwinkel $D, M, m, F$ und $\Omega$ mit
\(\begin{align} D &= 104417\overset{\circ}{.}14339050584\\ &= 17\overset{\circ}{.}143391\\ M &= 8775\overset{\circ}{.}386516163191\\ &= 135\overset{\circ}{.}386516\\ m &= 111721\overset{\circ}{.}0372468715\\ &= 121\overset{\circ}{.}037247\\ F &= 113083\overset{\circ}{.}09559279698\\ &= 43\overset{\circ}{.}095593\\ \Omega &= -327\overset{\circ}{.}22524055550275\\ &= 32\overset{\circ}{.}774759 \end{align}\)
Für große bzw. negative Winkel wurde die Reduktions-Funktion verwendet, um die Winkel in das Intervall [0°-360°] zu bringen.
Die Summierung aller 63 Terme für $\Delta \lambda$ liefert dann
| \(\begin{align} \Delta\lambda=& -171996 -174.2\cdot T\cdot \sin (\Omega)\\ & -13187 - 1.6\cdot T\cdot \sin (-2\cdot D + 2\cdot F + 2\cdot \Omega)\\ & -2274 - 0.2\cdot T\cdot \sin (2\cdot F + 2\cdot \Omega)\\ & \quad \vdots \quad\quad \vdots\\ & -3\cdot \sin (2\cdot D - M + 2\cdot F + 2\cdot \Omega)\\ &= -102055.73264997278 \end{align} \) |
Da alle Koeffizienten in Einheiten von $0\overset{''}{.}0001$ gegeben sind, wird noch durch $10^{4}$ dividiert.
$\Delta\lambda = -10\overset{''}{.}206$
Für $\Delta \varepsilon$ müssen nur 49 Terme summiert werden, da alle anderen Koeffizienten $0$ sind, man erhält
| \(\begin{align} \Delta\varepsilon =& +92025 + 8.9\cdot T\cdot \cos (\Omega)\\ & +5736 - 3.1\cdot T\cdot \cos (-2\cdot D + 2\cdot F + 2\cdot \Omega)\\ & +977 - 0.5\cdot T\cdot \cos (2\cdot F + 2\cdot \Omega)\\ & \quad \vdots \quad\quad \vdots\\ & 3\cdot \cos (2\cdot m + 2\cdot F + \Omega)\\ & = 73199.36709133013 \end{align}\) |
Division durch $10^{4}$ ergibt schließlich
$\Delta\varepsilon= +7\overset{''}{.}32$
Man vergleiche die Werte mit jenen des schnelleren Algorithmus, der auf dieser Seite vorgestellt wurde:
| Größe | Schnell | Diese Berechnung | |
|---|---|---|---|
| Montenbruck | Meeus | ||
| $\Delta\lambda =$ | $-10\overset{''}{.}240$ | $-10\overset{''}{.}218$ | $-10\overset{''}{.}206$ |
| $\Delta\varepsilon =$ | $+7\overset{''}{.}334$ | $+7\overset{''}{.}359$ | $+7\overset{''}{.}32$ |