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Mondposition nach Montenbruck & Pfleger

Mondposition nach Montenbruck & Pfleger

Diese Reihenentwicklungen stammen von den Improved Lunar Ephemeris (ILE) die in den 1960ern Jahren für das Apollo Mondprogramm entwickelt wurden. O. Montenbruck & T. Pfleger geben diese Summenterme in ihrem Buch »Astronomie auf dem PC« wieder.

$$T = \frac{JDE - 2451545}{36525}\tag{1}$$

Störungen der mittleren Längen

$\begin{align} m &= 134\overset{\circ}{.}96292 + 477198\overset{\circ}{.}86753\cdot T + 33\overset{''}{.}25\cdot T^2/3600''\\ l &= 218\overset{\circ}{.}31617\ + 481267\overset{\circ}{.}88088\cdot T - 4\overset{''}{.}06\cdot T^2/3600''\\ M &= 357\overset{\circ}{.}52543\ + 35999\overset{\circ}{.}04944\cdot T - 0\overset{''}{.}58\cdot T^2/3600'' \\ L &= 280\overset{\circ}{.}4659\ + 36000\overset{\circ}{.}76953\cdot T + 1\overset{''}{.}09\cdot T^2/3600'' \\ \Omega &= 125\overset{\circ}{.}04334\ - 1934\overset{\circ}{.}13785\cdot T + 7\overset{''}{.}5\cdot T^2/3600'' \\ D = l - L &= 297\overset{\circ}{.}85027\ + 445267\overset{\circ}{.}11135\cdot T - 5\overset{''}{.}15\cdot T^2/3600'' \\ F = l - \Omega &= 93\overset{\circ}{.}27283\ + 483202\overset{\circ}{.}01873\cdot T - 11\overset{''}{.}56\cdot T^2/3600'' \end{align}\tag{2}$

Die Bedeutung der mittleren Bahnelemente sind in diesem Abschnitt beschrieben. Die oben angegebenen mittleren Längen unterliegen eigenen Störungen, die korrigiert werden müssen. Dazu werden noch weitere Hilfswerte benötigt:

\[\begin{align} Q_1 &= 71\overset{\circ}{.}399992662 + 20\overset{\circ}{.}199993462\cdot T \\ Q_2 &= 153\overset{\circ}{.}651286737 - 150\overset{\circ}{.}679479663\cdot T \\ Q_3 &= 53\overset{\circ}{.}7933283741 - 1800\overset{\circ}{.}0\cdot T - 135\overset{\circ}{.}0399484259\cdot T + 7\overset{''}{.}434536643\cdot T^2/3600'' \\ Q_4 &= 100\overset{\circ}{.}327834231 + 16\overset{\circ}{.}218247831\cdot T + 33\overset{''}{.}023174391\cdot T^2/3600'' \\ Q_5 &= 60\overset{\circ}{.}579116386 - 132\overset{\circ}{.}861235214\cdot T + 33\overset{''}{.}023174391\cdot T^2/3600'' \\ Q_6 &= 330\overset{\circ}{.}500001582 + 119\overset{\circ}{.}000001582\cdot T \\ Q_7 &= 236\overset{\circ}{.}321484183 - 720\overset{\circ}{.}0\cdot T - 170\overset{\circ}{.}433620217\cdot T \\ Q_8 &= 222\overset{\circ}{.}721236567 - 282\overset{\circ}{.}549880233\cdot T \\ Q_9 &= 281\overset{\circ}{.}854104885 - 720\overset{\circ}{.}0\cdot T -314\overset{\circ}{.}107509915\cdot T \\ N &= 272\overset{\circ}{.}75 - 2\overset{\circ}{.}3\cdot T \end{align}\tag{3}\]

Die korrigierten Mittelwerte werden dann durch Addition bestimmt: \[\begin{align} l' &= l + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta l_n}{3600''} \ G_n \\ m' &= m + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta m_n}{3600''} \ G_n \\ M' &= M + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta M_n}{3600''} \ G_n \\ D' &= D + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta D_n}{3600''} \ G_n \\ F' &= F + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta F_n}{3600''} \ G_n \end{align}\tag{4}\]

und die korrespondierenden Koeffizienten aus der Tabelle für die Störungsterme entnommen:

Tabelle 1
n	$\Delta l_n['']$	$\Delta m_n['']$	$\Delta M_n['']$	$\Delta F_n['']$	$\Delta D_n['']$	$G_n$
$01$	$+7.261$	$+9.337$	$+0.00$	$-88.699$	$+7.261$	$\sin(\Omega)$
$02$	$+0.282$	$+1.122$	$+0.00$	$-15.298$	$+0.280$	$\sin(N + \Omega)$
$03$	$+0.840$	$+2.940$	$-6.40$	$+0.210$	$+7.240$	$\sin(Q_1)$
$04$	$+0.370$	$+0.830$	$-1.89$	$+0.237$	$+2.127$	$\sin(Q_2)$
$05$	$+0.000$	$+0.000$	$+0.00$	$-1.860$	$+0.000$	$\sin(Q_3)$
$06$	$+0.310$	$+0.310$	$+0.00$	$+0.310$	$+0.310$	$\sin(Q_4)$
$07$	$+14.270$	$+14.388$	$+0.00$	$+14.100$	$+14.270$	$\sin(Q_5)$
$08$	$+0.040$	$+0.140$	$-0.27$	$+0.040$	$+0.310$	$\sin(Q_6)$
$09$	$+0.026$	$+0.091$	$+0.20$	$+0.026$	$-0.174$	$\sin(Q_7)$
$10$	$+0.108$	$+0.108$	$+0.108$	$+0.108$	$+0.108$	$\sin(Q_8)$
$11$	$+0.126$	$+0.126$	$+0.126$	$+0.126$	$+0.126$	$\sin(Q_9)$

Planetare Störungen

$\begin{align} \text{Störungsterm: } V &= 134\overset{\circ}{.}25 + 38\overset{\circ}{.}5\cdot T \\\\ \text{Venus: } M_2 &= 179\overset{\circ}{.}8849972242 + 58320\overset{\circ}{.}0\cdot T + 197\overset{\circ}{.}8158694482\cdot T\\\\ \text{Erde: } M_3 &= 98\overset{\circ}{.}3716361111 + 35640\overset{\circ}{.}0\cdot T + 359\overset{\circ}{.}3728833347\cdot T\\\\ \text{Mars: } M_4 &= 353\overset{\circ}{.}3610202404 + 19080\overset{\circ}{.}0\cdot T + 60\overset{\circ}{.}3113452404\cdot T\\\\ \text{Jupiter: } M_5 &= 32\overset{\circ}{.}2594777798 + 2880\overset{\circ}{.}0\cdot T + 154\overset{\circ}{.}9071583378\cdot T + 0\overset{\circ}{.}33 \cdot\sin(V) \\\\ \text{Saturn: } M_6 &= 47\overset{\circ}{.}9866138904 + 1080\overset{\circ}{.}0\cdot T + 142\overset{\circ}{.}1171055596\cdot T - 0\overset{\circ}{.}83\cdot \sin(V) \end{align}\tag{5}$

Die Summenterme sind: (Man achte auf die Indizes!) \[\begin{align} \Delta\gamma &= -3.33179\cdot 10^{-6}\cdot\cos(\Omega) - 5.3858\cdot 10^{-7}\cdot\cos(\Omega + N) - 6.4043\cdot 10^{-8}\cdot\sin(Q_3) \\ \Phi_2 &= \sum_{n=\color{#ff0000}{1}}^{\color{#ff0000}{12}} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_2 + \varphi) \\ \Phi_4 &= \sum_{n=\color{#ff0000}{13}}^{\color{#ff0000}{14}} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_4 + \varphi) \\ \Phi_5 &= \sum_{n=\color{#ff0000}{15}}^{\color{#ff0000}{26}} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_5 + \varphi) \end{align}\tag{6}\]

Tabelle 2 (zum Aufklappen)

Die Koeffizienten stammen aus der folgenden Tabelle:

Tabelle 2
n	$h_n['']$	$p_n$	$q_n$	$r_n$	$s_n$	$a_n$	$b_n$	$\varphi[^{\circ}]$
$01$	$+0.822$	$+0$	$+0$	$+0$	$+0$	$+1$	$-1$	$0.0 $
$02$	$+0.307$	$+0$	$+0$	$+0$	$+0$	$+2$	$-2$	$179.8$
$03$	$+0.348$	$+0$	$+0$	$+0$	$+0$	$+3$	$-2$	$272.9$
$04$	$+0.176$	$+0$	$+0$	$+0$	$+0$	$+4$	$-3$	$271.7$
$05$	$+0.129$	$+1$	$+0$	$+0$	$+0$	$-1$	$+1$	$180.0$
$06$	$+0.152$	$+1$	$+0$	$+0$	$+0$	$+1$	$-1$	$0.0 $
$07$	$+0.127$	$+1$	$+0$	$+0$	$+0$	$+3$	$-3$	$180.0$
$08$	$+0.136$	$+0$	$+0$	$+0$	$+2$	$+2$	$-2$	$179.5$
$09$	$+0.662$	$-1$	$+0$	$+0$	$+2$	$+3$	$-3$	$180.0$
$10$	$+0.137$	$-1$	$+0$	$+0$	$+2$	$-2$	$+2$	$0.0 $
$11$	$+0.133$	$-1$	$+0$	$+0$	$+2$	$+1$	$-1$	$0.0 $
$12$	$+0.157$	$-1$	$+0$	$+0$	$+2$	$+2$	$-2$	$179.6$
$13$	$+0.195$	$+0$	$+0$	$+0$	$+0$	$-2$	$+2$	$180.2$
$14$	$+0.327$	$+0$	$+0$	$+0$	$+0$	$-1$	$+2$	$224.4$
$15$	$+0.643$	$+0$	$+0$	$+0$	$+0$	$-1$	$+1$	$178.8$
$16$	$+0.187$	$+0$	$+0$	$+0$	$+0$	$-2$	$+2$	$359.6$
$17$	$+0.165$	$+0$	$+0$	$+0$	$+0$	$-1$	$+2$	$241.5$
$18$	$+0.144$	$+1$	$+0$	$+0$	$+0$	$+1$	$-1$	$1.0 $
$19$	$+0.158$	$+1$	$+0$	$+0$	$+0$	$-1$	$+1$	$179.0$
$20$	$+0.190$	$+1$	$+0$	$+0$	$+0$	$-2$	$+2$	$180.0$
$21$	$+0.167$	$+0$	$+0$	$+0$	$+2$	$-1$	$+1$	$178.5$
$22$	$+1.137$	$-1$	$+0$	$+0$	$+2$	$+2$	$-2$	$180.3$
$23$	$+0.211$	$-1$	$+0$	$+0$	$+2$	$-1$	$+1$	$178.4$
$24$	$+0.436$	$-1$	$+0$	$+0$	$+2$	$+2$	$-3$	$7.5 $
$25$	$+0.240$	$+2$	$+0$	$+0$	$-2$	$-2$	$+2$	$179.9$
$26$	$+0.284$	$+2$	$+0$	$+0$	$-2$	$-2$	$+3$	$172.5$

Hauptstörungen für den Mond

Hier werden die obigen, korrigierten Mittelwerte verwendet \[\begin{align} \Delta\lambda &= \sum_n a_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\ \Delta S &= \sum_n b_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\ \Delta\beta &= \sum_n c_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\ \gamma C &= \sum_n d_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\ \Delta\sin(\Pi) &= \sum_n e_n\cdot \cos(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \end{align}\tag{7}\]

und die korrespondierenden Koeffizienten aus der nachfolgenden Tabelle für die Länge $\lambda$ und den Radius $R$ entnommen:

Tabelle 3 (zum Aufklappen)

Tabelle 3
n	$a_n['']$	$b_n['']$	$d_n['']$	$e_n['']$	$p_n$	$q_n$	$r_n$	$s_n$
$001$	$+0.127 $	$+0.6 $	$-0.042 $	$+0.0082 $	$+0$	$+0$	$+0$	$+6$
$002$	$+13.902 $	$+14.06 $	$-0.001 $	$+0.2607 $	$+0$	$+0$	$+0$	$+4$
$003$	$+0.403 $	$-4.06 $	$+0.394 $	$+0.0023 $	$+0$	$+0$	$+0$	$+3$
$004$	$+2369.912 $	$+2373.36 $	$+0.601 $	$+28.2333 $	$+0$	$+0$	$+0$	$+2$
$005$	$-125.154 $	$-112.79 $	$-0.725 $	$-0.9781 $	$+0$	$+0$	$+0$	$+1$
$006$	$+1.979 $	$+6.98 $	$-0.445 $	$+0.0433 $	$+1$	$+0$	$+0$	$+4$
$007$	$+191.953 $	$+192.72 $	$+0.029 $	$+3.0861 $	$+1$	$+0$	$+0$	$+2$
$008$	$-8.466 $	$-13.51 $	$+0.455 $	$-0.1093 $	$+1$	$+0$	$+0$	$+1$
$009$	$+22639.500 $	$+22609.07 $	$+0.079 $	$+186.5398 $	$+1$	$+0$	$+0$	$+0$
$010$	$+18.609 $	$+3.59 $	$-0.094 $	$+0.0118 $	$+1$	$+0$	$+0$	$-1$
$011$	$-4.586.465 $	$-4.578.13 $	$-0.077 $	$+34.3117 $	$+1$	$+0$	$+0$	$-2$
$012$	$+3.215 $	$+5.44 $	$+0.192 $	$-0.0386 $	$+1$	$+0$	$+0$	$-3$
$013$	$-38.428 $	$-38.64 $	$+0.001 $	$+0.6008 $	$+1$	$+0$	$+0$	$-4$
$014$	$-0.393 $	$-1.43 $	$-0.092 $	$+0.0086 $	$+1$	$+0$	$+0$	$-6$
$015$	$-0.289 $	$-1.59 $	$+0.123 $	$-0.0053 $	$+0$	$+1$	$+0$	$+4$
$016$	$+0.150 $	$+0.53 $	$-0.0032$	$+0.0027 $	$+0$	$+1$	$+0$	$+3$
$017$	$-24.420 $	$-25.10 $	$+0.040 $	$-0.3000 $	$+0$	$+1$	$+0$	$+2$
$018$	$+18.023 $	$+17.93 $	$+0.007 $	$+0.1494 $	$+0$	$+1$	$+0$	$+1$
$019$	$-668.146 $	$-126.98 $	$-1.302 $	$-0.3997 $	$+0$	$+1$	$+0$	$+0$
$020$	$+0.560 $	$+0.32 $	$-0.001 $	$-0.0037 $	$+0$	$+1$	$+0$	$-1$
$021$	$-165.145 $	$-165.06 $	$+0.054 $	$+1.9178 $	$+0$	$+1$	$+0$	$-2$
$022$	$-1.877 $	$-6.46 $	$-0.416 $	$+0.0339 $	$+0$	$+1$	$+0$	$-4$
$023$	$+0.213 $	$+1.02 $	$-0.074 $	$+0.0054 $	$+2$	$+0$	$+0$	$+4$
$024$	$+14.387 $	$+14.78 $	$-0.017 $	$+0.2833 $	$+2$	$+0$	$+0$	$+2$
$025$	$-0.586 $	$-1.20 $	$+0.054 $	$-0.0100 $	$+2$	$+0$	$+0$	$+1$
$026$	$+769.016 $	$+767.96 $	$+0.107 $	$+10.1657 $	$+2$	$+0$	$+0$	$+0$
$027$	$+1.750 $	$+2.01 $	$-0.018 $	$+0.0155 $	$+2$	$+0$	$+0$	$-1$
$028$	$-211.656 $	$-152.53 $	$+5.679 $	$-0.3039 $	$+2$	$+0$	$+0$	$-2$
$029$	$+1.225 $	$+0.91 $	$-0.030 $	$-0.0088 $	$+2$	$+0$	$+0$	$-3$
$030$	$-30.773 $	$-34.07 $	$-0.308 $	$+0.3722 $	$+2$	$+0$	$+0$	$-4$
$031$	$-0.570 $	$-1.40 $	$-0.074 $	$+0.0109 $	$+2$	$+0$	$+0$	$-6$
$032$	$-2.921 $	$-11.75 $	$+0.787 $	$-0.0484 $	$+1$	$+1$	$+0$	$+2$
$033$	$+1.627 $	$+1.52 $	$-0.022 $	$+0.0164 $	$+1$	$+1$	$+0$	$+1$
$034$	$-109.673 $	$-115.18 $	$+0.461 $	$-0.9490 $	$+1$	$+1$	$+0$	$+0$
$035$	$+0.137 $	$-0.12 $	$+0.005 $	$+0.0000 $	$+1$	$+1$	$+0$	$-1$
$036$	$-205.962 $	$-182.36 $	$+2.056 $	$+1.4437 $	$+1$	$+1$	$+0$	$-2$
$037$	$+0.233 $	$+0.36 $	$+0.012 $	$-0.0025 $	$+1$	$+1$	$+0$	$-3$
$038$	$-4.391 $	$-9.66 $	$-0.471 $	$+0.0673 $	$+1$	$+1$	$+0$	$-4$
$039$	$+0.283 $	$+1.53 $	$-0.111 $	$+0.0060 $	$+1$	$-1$	$+0$	$+4$
$040$	$+14.577 $	$+31.70 $	$-1.540 $	$+0.2302 $	$+1$	$-1$	$+0$	$+2$
$041$	$+147.687 $	$+138.76 $	$+0.679 $	$+1.1528 $	$+1$	$-1$	$+0$	$+0$
$042$	$-1.089 $	$+0.55 $	$+0.021 $	$+0.0000 $	$+1$	$-1$	$+0$	$-1$
$043$	$+28.475 $	$+23.59 $	$-0.443 $	$-0.2257 $	$+1$	$-1$	$+0$	$-2$
$044$	$-0.276 $	$-0.38 $	$-0.006 $	$-0.0036 $	$+1$	$-1$	$+0$	$-3$
$045$	$+0.636 $	$+2.27 $	$-0.146 $	$-0.0102 $	$+1$	$-1$	$+0$	$-4$
$046$	$-0.189 $	$-1.68 $	$+0.131 $	$-0.0028 $	$+0$	$+2$	$+0$	$+2$
$047$	$-7.486 $	$-0.66 $	$-0.037 $	$-0.0086 $	$+0$	$+2$	$+0$	$+0$
$048$	$-8.096 $	$-16.35 $	$-0.740 $	$+0.0918 $	$+0$	$+2$	$+0$	$-2$
$049$	$-0.151 $	$-0.65 $	$-0.044 $	$+0.0028 $	$+0$	$+2$	$+0$	$-4$
$050$	$-5.741 $	$-0.04 $	$+0.000 $	$-0.0009 $	$+0$	$+0$	$+2$	$+2$
$051$	$+0.255 $	$+0.00 $	$+0.000 $	$+0.0000 $	$+0$	$+0$	$+2$	$+1$
$052$	$-411.608 $	$-0.20 $	$+0.000 $	$-0.0124 $	$+0$	$+0$	$+2$	$+0$
$053$	$+0.584 $	$+0.84 $	$+0.000 $	$+0.0071 $	$+0$	$+0$	$+2$	$-1$
$054$	$-55.173 $	$-52.14 $	$+0.000 $	$-0.1052 $	$+0$	$+0$	$+2$	$-2$
$055$	$+0.254 $	$+0.25 $	$+0.000 $	$-0.0017 $	$+0$	$+0$	$+2$	$-3$
$056$	$+0.025 $	$-1.67 $	$+0.000 $	$+0.0031 $	$+0$	$+0$	$+2$	$-4$
$057$	$+1.060 $	$+2.96 $	$-0.166 $	$+0.0243 $	$+3$	$+0$	$+0$	$+2$
$058$	$+36.124 $	$+50.64 $	$-1.300 $	$+0.6215 $	$+3$	$+0$	$+0$	$+0$
$059$	$+0.130 $	$+0.19 $	$-0.005 $	$+0.0017 $	$+3$	$+0$	$+0$	$-1$
$060$	$-13.193 $	$-16.40 $	$+0.258 $	$-0.1187 $	$+3$	$+0$	$+0$	$-2$
$061$	$-1.187 $	$-0.74 $	$+0.042 $	$+0.0074 $	$+3$	$+0$	$+0$	$-4$
$062$	$-0.293 $	$-0.31 $	$-0.002 $	$+0.0046 $	$+3$	$+0$	$+0$	$-6$
$063$	$-0.161 $	$-0.16 $	$+0.002 $	$+0.0020 $	$+2$	$+2$	$+0$	$-4$
$064$	$-0.290 $	$-1.45 $	$+0.116 $	$-0.0051 $	$+2$	$+1$	$+0$	$+2$
$065$	$-7.649 $	$-10.56 $	$+0.259 $	$-0.1038 $	$+2$	$+1$	$+0$	$+0$
$066$	$-8.627 $	$-7.59 $	$+0.078 $	$-0.0192 $	$+2$	$+1$	$+0$	$-2$
$067$	$-2.740 $	$-2.54 $	$+0.022 $	$+0.0324 $	$+2$	$+1$	$+0$	$-4$
$068$	$+1.181 $	$+3.32 $	$-0.212 $	$+0.0213 $	$+2$	$-1$	$+0$	$+2$
$069$	$+9.703 $	$+11.67 $	$-0.151 $	$+0.1268 $	$+2$	$-1$	$+0$	$+0$
$070$	$-0.352 $	$-0.37 $	$+0.001 $	$-0.0028 $	$+2$	$-1$	$+0$	$-1$
$071$	$-2.494 $	$-1.17 $	$-0.003 $	$-0.0017 $	$+2$	$-1$	$+0$	$-2$
$072$	$+0.360 $	$+0.20 $	$-0.012 $	$-0.0043 $	$+2$	$-1$	$+0$	$-4$
$073$	$-1.167 $	$-1.25 $	$+0.008 $	$-0.0106 $	$+1$	$+2$	$+0$	$+0$
$074$	$-7.412 $	$-6.12 $	$+0.117 $	$+0.0484 $	$+1$	$+2$	$+0$	$-2$
$075$	$-0.311 $	$-0.65 $	$-0.032 $	$+0.0044 $	$+1$	$+2$	$+0$	$-4$
$076$	$+0.757 $	$+1.82 $	$+0.105 $	$+0.0112 $	$+1$	$-2$	$+0$	$+2$
$077$	$+2.580 $	$+2.32 $	$-0.027 $	$+0.0196 $	$+1$	$-2$	$+0$	$+0$
$078$	$+2.533 $	$+2.40 $	$-0.014 $	$-0.0212 $	$+1$	$-2$	$+0$	$-2$
$079$	$-0.344 $	$-0.57 $	$-0.025 $	$+0.0036 $	$+0$	$+3$	$+0$	$-2$
$080$	$-0.992 $	$-0.02 $	$+0.000 $	$+0.0000 $	$+1$	$+0$	$+2$	$+2$
$081$	$-45.099 $	$-0.02 $	$+0.000 $	$-0.0010 $	$+1$	$+0$	$+2$	$+0$
$082$	$-0.179 $	$-9.52 $	$+0.000 $	$-0.0833 $	$+1$	$+0$	$+2$	$-2$
$083$	$-0.301 $	$-0.33 $	$+0.000 $	$+0.0014 $	$+1$	$+0$	$+2$	$-4$
$084$	$-6.382 $	$-3.37 $	$+0.000 $	$-0.0481 $	$+1$	$+0$	$-2$	$+2$
$085$	$+39.528 $	$+85.13 $	$+0.000 $	$-0.7136 $	$+1$	$+0$	$-2$	$+0$
$086$	$+9.366 $	$+0.71 $	$+0.000 $	$-0.0112 $	$+1$	$+0$	$-2$	$-2$
$087$	$+0.202 $	$+0.02 $	$+0.000 $	$+0.0000 $	$+1$	$+0$	$-2$	$-4$
$088$	$+0.415 $	$+0.10 $	$+0.000 $	$+0.0013 $	$+0$	$+1$	$+2$	$+0$
$089$	$-2.152 $	$-2.26 $	$+0.000 $	$-0.0066 $	$+0$	$+1$	$+2$	$-2$
$090$	$-1.440 $	$-1.30 $	$+0.000 $	$+0.0014 $	$+0$	$+1$	$-2$	$+2$
$091$	$+0.384 $	$-0.04 $	$+0.000 $	$+0.0000 $	$+0$	$+1$	$-2$	$-2$
$092$	$+1.938 $	$+3.60 $	$-0.145 $	$+0.0401 $	$+4$	$+0$	$+0$	$+0$
$093$	$-0.952 $	$-1.58 $	$+0.052 $	$-0.0130 $	$+4$	$+0$	$+0$	$-2$
$094$	$-0.551 $	$-0.94 $	$+0.032 $	$-0.0097 $	$+3$	$+1$	$+0$	$+0$
$095$	$-0.482 $	$-0.57 $	$+0.005 $	$-0.0045 $	$+3$	$+1$	$+0$	$-2$
$096$	$-0.100 $	$-0.08 $	$+0.003 $	$+0.0006 $	$+3$	$+1$	$+0$	$-4$
$097$	$+0.681 $	$+0.96 $	$-0.026 $	$+0.0115 $	$+3$	$-1$	$+0$	$+0$
$098$	$+0.183 $	$-0.23 $	$-0.003 $	$-0.0017 $	$+3$	$-1$	$+0$	$-2$
$099$	$+0.197 $	$-0.09 $	$+0.002 $	$-0.0009 $	$+2$	$+2$	$+0$	$+0$
$100$	$-0.297 $	$-0.27 $	$+0.002 $	$-0.0009 $	$+2$	$+2$	$+0$	$-2$
$101$	$+0.254 $	$+0.21 $	$+0.003 $	$+0.0000 $	$+2$	$-2$	$+0$	$-2$
$102$	$-0.250 $	$-0.22 $	$+0.004 $	$+0.0014 $	$+1$	$+3$	$+0$	$-2$
$103$	$-0.123 $	$+0.00 $	$+0.000 $	$+0.0004 $	$+2$	$+0$	$+2$	$+2$
$104$	$-3.996 $	$+0.00 $	$+0.000 $	$+0.0004 $	$+2$	$+0$	$+2$	$+0$
$105$	$+0.557 $	$-0.75 $	$+0.000 $	$-0.0090 $	$+2$	$+0$	$+2$	$-2$
$106$	$-0.459 $	$-0.38 $	$+0.000 $	$-0.0053 $	$+2$	$+0$	$-2$	$+2$
$107$	$-1.298 $	$+0.74 $	$+0.000 $	$+0.0004 $	$+2$	$+0$	$-2$	$+0$
$108$	$+0.538 $	$+1.14 $	$+0.000 $	$-0.0141 $	$+2$	$+0$	$-2$	$-2$
$109$	$+0.173 $	$+0.00 $	$+0.000 $	$+0.0002 $	$+2$	$+0$	$-2$	$-4$
$110$	$+0.263 $	$+0.02 $	$+0.000 $	$+0.0000 $	$+1$	$+1$	$+2$	$+0$
$111$	$+0.426 $	$+0.07 $	$+0.000 $	$-0.0006 $	$+1$	$+1$	$-2$	$-2$
$112$	$-0.304 $	$+0.03 $	$+0.000 $	$+0.0003 $	$+1$	$-1$	$+2$	$+0$
$113$	$-0.372 $	$-0.19 $	$+0.000 $	$-0.0027 $	$+1$	$-1$	$-2$	$+2$
$114$	$+0.418 $	$+0.00 $	$+0.000 $	$+0.0000 $	$+0$	$+0$	$+4$	$+0$
$115$	$-0.330 $	$-0.04 $	$+0.000 $	$+0.0000 $	$+3$	$+0$	$+2$	$+0$
$116$	$+0.113 $	$+0.00 $	$+0.000 $	$+0.0000 $	$+5$	$+0$	$+0$	$+0$

Die folgende Tabelle gilt für die Breite $\beta$:

Tabelle 4
n	$c_n['']$	$p_n$	$q_n$	$r_n$	$s_n$
$01$	$-526.069$	$+0$	$+0$	$+1$	$-2$
$02$	$+44.297 $	$+1$	$+0$	$+1$	$-2$
$03$	$+20.599 $	$-1$	$+0$	$+1$	$+0$
$04$	$-24.649 $	$-2$	$+0$	$+1$	$+0$
$05$	$-22.571 $	$+0$	$+1$	$+1$	$-2$
$06$	$-3.352 $	$+0$	$+0$	$+1$	$-4$
$07$	$-6.000 $	$+1$	$+0$	$+1$	$-4$
$08$	$-30.598 $	$-1$	$+0$	$+1$	$-2$
$09$	$-2.000 $	$-2$	$+0$	$+1$	$-2$
$10$	$+10.985 $	$+0$	$-1$	$+1$	$-2$

Die geozentrischen Koordinaten des Mondes

$$P = 1.000002208^{|p_n|}\cdot (1.0 - 0.002495388\cdot (T+1))^{|q_n|}\cdot (1.000002708 + 139.978\cdot \Delta\gamma)^{|r_n|}\tag{8}$$

Der Faktor $P$ ist aufgrund der Exponenten in $P$ mit jedem einzelnen Term in der obigen Reihenentwicklung von $\Delta\lambda$, $\Delta S$, $\gamma C$ und $\Delta \sin(\Pi)$ zu multiplizieren.

\[\begin{align} \lambda &= l' + \frac{\Delta\lambda + \Phi_2 + \Phi_4 + \Phi_5 + \Delta\lambda_N}{3600''} \\\\ \beta &= \frac{(1.000002708 + 139.978\Delta\gamma)\cdot (18519\overset{''}{.}7 + \gamma C)}{3600''}\cdot \sin(U) \\ & - \frac{6\overset{''}{.}24}{3600''}\cdot \sin\big(3 \cdot U \big) + \frac{4\overset{''}{.}0}{3600''}\cdot 10^{-3}\cdot \sin\big(5 \cdot U\big) + \frac{\Delta\beta}{3600''} \quad \text{mit} \quad U = \frac{\Delta S}{3600} + F \\\\ \Delta &= \frac{6378.14\text{ km}}{\sin(\Pi)} \quad \textsf{mit} \quad \sin(\Pi) = \left(0.999953253\cdot0\overset{\circ}{.}95075 + \frac{\Delta\sin(\Pi)}{3600''}\right) \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \end{align}\tag{9}\]

$\Delta \sin(\Pi)$ in der obigen Gleichung ist als ein einziger Wert oder einzige Variable zu verstehen. Deshalb wird hier $\sin(\Pi)$ separat berechnet und daraus dann der Abstand $\Delta$ bestimmt. Der Korrekturfaktor $0.999953253$ für die Parallaxe $\Pi$ und den Mondabstand $\Delta$ entstand durch die Überarbeitung der Brownschen Mondtheorie in der ILE und muss lt.Montenbruck/Pfleger zum konstanten Wert $3422\overset{''}{.}77 = 0\overset{\circ}{.}95075$ multipliziert werden, obwohl der Wert nahe Eins liegt. Nimmt man - wie in der ILE vorgeschlagen - den Wert $3422\overset{''}{.}54$, so entfällt der Multiplikator.

Beispiel

Man berechne die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten des Mondes für den 15.4.2023 um 22:15 mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ) mit der Methode von Montenbruck/Pfleger

Für den gegebenen Zeitpunkt wurde der Julianische Tag hier bereits ermittelt zu $JD=2460050.34375$. Im Jahr 2023 war der Wert von $\Delta T = 69^{s}$, diese müssen hinzugefügt werden, um die Position der Mondes in der gleichmäßigen Skala der dynamischen Zeit $TD$ zu erhalten. Ein Tag hat 86400 Sekunden, daher folgt

$\begin{align} JDE &= 2460050.34375 + \frac{69^{s}}{86400\frac{s}{d}}\\&= 2460050.34455 \end{align}$

Daraus erhält man die julianischen Jahrhunderte bezüglich der Epoche $J2000$ zu

$\begin{align} T &= \frac{(2460050.34455 - 2451545.0)}{36525}\\ &= 0.232863642672 \end{align}$

Für alle großen bzw. negativen Winkelwerte wird im Weiteren die Reduktions-Funktion verwendet, um die Werte auf das Intervall [0°-360°] zu bringen.

Mittels $T$ erhält die mittleren Längen $m, l, M, L, \Omega, D$ und $F$ sukzessive

$\begin{align} m &= 111257\overset{\circ}{.}22999303279\\ &= 17\overset{\circ}{.}229993\\ l &= 112288\overset{\circ}{.}10795180977\\ &= 328\overset{\circ}{.}107952\\ M &= 8740\overset{\circ}{.}395206607433\\ &= 100\overset{\circ}{.}395207\\ L &= 8663\overset{\circ}{.}736248185152\\ &= 23\overset{\circ}{.}736248\\ \Omega &= -325\overset{\circ}{.}3469322119048\\ &= 34\overset{\circ}{.}653068\\ D &= 103984\overset{\circ}{.}37170362461\\ &= 304\overset{\circ}{.}371704\\ F &= 112613\overset{\circ}{.}45488402166\\ &= 293\overset{\circ}{.}454884 \end{align}$

Für die Hilfswerte $Q_1$ bis $Q_9$ bzw. $N$ erhält man

$\begin{align} Q_1 &= 76\overset{\circ}{.}103837\\ Q_2 &= 118\overset{\circ}{.}563514\\ Q_3 &= -396\overset{\circ}{.}80701074935945\\ &= 323\overset{\circ}{.}192989\\ Q_4 &= 104\overset{\circ}{.}104972\\ Q_5 &= 29\overset{\circ}{.}641063\\ Q_6 &= 358\overset{\circ}{.}210775\\ Q_7 &= 28\overset{\circ}{.}971868\\ Q_8 &= 156\overset{\circ}{.}925642\\ Q_9 &= 41\overset{\circ}{.}048063\\ N &= 272\overset{\circ}{.}214414 \end{align}$

Die Korrekturen der mittleren Längen sind die Summe der 11 Terme der ersten Tabelle.

$\begin{align} \sum_{1}^{11} \frac{\Delta l_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = 0\overset{\circ}{.}00348276\\ \sum_{1}^{11} \frac{\Delta m_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = 0\overset{\circ}{.}00432656\\ \sum_{1}^{11} \frac{\Delta M_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = -0\overset{\circ}{.}00212285\\ \sum_{1}^{11} \frac{\Delta D_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = 0\overset{\circ}{.}00560835\\ \sum_{1}^{11} \frac{\Delta F_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = -0\overset{\circ}{.}00812755 \end{align}$

Daraus ergeben sich die korrigierten Winkel zu

$\begin{align} m' &= 17\overset{\circ}{.}234320\\ l' &= 328\overset{\circ}{.}111435\\ M' &= 100\overset{\circ}{.}393084\\ D' &= 304\overset{\circ}{.}377312\\ F' &= 293\overset{\circ}{.}446756 \end{align}$

Die planetaren Störungen $V, M_2, M_3, M_4, M_5$ und der Faktor $\Delta \gamma$ sind

$\begin{align} V &= 143\overset{\circ}{.}215250\\ M_2 &= 13806\overset{\circ}{.}556761819184\\ &= 126\overset{\circ}{.}556762\\ M_3 &= 8481\overset{\circ}{.}316739647977\\ &= 201\overset{\circ}{.}316740\\ M_4 &= 4810\overset{\circ}{.}443641977762\\ &= 130\overset{\circ}{.}443642\\ M_5 &= 739\overset{\circ}{.}1766212912058\\ &= 19\overset{\circ}{.}176621\\ Δγ &= -3.0255243\cdot 10^{-6} \end{align}$

Bei den Termen für die planetaren Störungen ist darauf zu achten, dass die Summierung über verschiedene Indizes läuft: $\Phi_2$ geht von 1-12, $\Phi_4$ von 13-14 sowie $\Phi_5$ von 15-26.

$\begin{align} \Phi_2 &= -0\overset{\circ}{.}17383184773270005\\ &= 359\overset{\circ}{.}826168\\ \Phi_4 &= -0\overset{\circ}{.}19606005774737872\\ &= 359\overset{\circ}{.}803940\\ \Phi_5 &= 0\overset{\circ}{.}108794 \end{align}$

Nun bildet man die Summen der Werte aus der großen Tabelle mit 116 Termen. Dabei wird der Faktor $P$ mit jedem Term multipliziert, man erhält

$\begin{align} \Delta\lambda &= 991\overset{''}{.}324785\\ \Delta S &= 1225\overset{''}{.}090898\\ \gamma C &= -0\overset{''}{.}727399\\ \Delta\sin \Pi &= 152\overset{''}{.}594321 \end{align}$

Das $\Delta\beta$ wird separat mithilfe der zugehörigen Tabelle (10 Terme) ermittelt.

$\Delta\beta = -365\overset{''}{.}718418$

Schließlich erhält man die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten mit den oben angegebenen Gleichungen. Der Fator $U$ wird für die Breite $\beta$ benötigt mit

$\begin{align} U &= \frac{\Delta S}{3600} + F\\ &= 293\overset{\circ}{.}795187 \end{align}$

Es ergeben sich damit

$\begin{align} \lambda &= 328\overset{\circ}{.}386730\\ \beta &= -4\overset{\circ}{.}807033\\ \Delta &= 368001.4\;\textsf{km} \end{align}$

Zum Vergleich die Daten, die von der Astronomie-Software SOLEX 12.1 angegeben werden. Die Einstellungen in SOLEX wurden ebenfalls auf $\Delta T = 69^s$ gesetzt.

	Dieses Beispiel	SOLEX 12.1	Differenz
$\lambda=$	$328\overset{\circ}{.}386730$	$328\overset{\circ}{.}3869343 $	$0\overset{''}{.}74$
$\beta=$	$-4\overset{\circ}{.}807033$	$-4\overset{\circ}{.}8055938 $	$5\overset{''}{.}18$
$\Delta=$	$368001.4 \textsf{ km}$	$367995.46 \textsf{ km}$	$-5.94 \textsf{ km}$

Man vergleiche diese Werte mit jenen aus Mondposition nach Meeus.