====== Zeiteingabe ======
Die Einteilung in Stunden $h$ wird zwischen $0^h$ und $23^h$ bestimmt, die Minute $m$ erfolgt zwischen $0^m$ und $59^m$, die Sekunde $s$ ist wiederum zwischen $0^s$ und $59^s$. Hat man die Sommerzeit vorliegen oder man befindet sich an einem anderen geographischem Ort, so ist die Zeit in $MESZ$ (mitteleuropäische Sommerzeit) statt $MEZ$ (mitteleuropäische Zeit) zu wählen, bzw. eine andere Zonenzeit zu bestimmen.
===== Geographische Koordinaten =====
Man hat die geographische Position $\lambda_0$ (geographische Länge) und $\beta_0$ (geographische Breite). Daraus wird die Zeitzone via Zonenmeridian $\lambda_1$ und damit die Zonenzeit wie $MEZ$, $MESZ$ oder $UT$ bestimmt.
\[\begin{aligned}
\lambda_1 &= + 15^h\lfloor\frac{\lambda_0 + 7\overset{\circ}{.}5}{15^h}\rfloor \quad\textrm{falls}\quad \lambda_0 > - 7\overset{\circ}{.}5 \\
\lambda_1 &= - 15^h\lfloor -\frac{\lambda_0 - 7\overset{\circ}{.}5}{15^h}\rfloor \quad\textrm{falls}\quad \lambda_0 \leq - 7\overset{\circ}{.}5
\end{aligned}\tag{1}\]
Dabei ist $\lfloor\;\rfloor$ die [[Mathematische_Grundlagen#Floor und Ceiling Funktion|Floor Funktion]].
===== Zeitzone =====
Aus dem Zonenmeridian ist wiederum die mittlere Ortszeit
$MOZ$ (= Zeit am Beobachtungsort) errechenbar:
$$MOZ = Z + \frac{\lambda_1 - \lambda_0}{15^h} = UT - \frac{\lambda_0}{15^h}\tag{2}$$
$Z$ ist die Zonenzeit wie $MEZ$ und $UT$.
==== Abkürzungen von Zeitzonen ====
{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="120px,480px,200px"&float=center}}
^ Tabelle 1 |||
^ Abkürzung ^ Bedeutung ^ $UT\pm h$ ^
| MOZ | Mittlere Orzszeit (berechnet aus der geografischen Länge des Beobachters) | [[:zeiteingabe#zeitzone|siehe hier]] |
| ACTD | Australische Central Daylight Time | $+10:30$ |
| ACST | Australische Central Standard Time | $+09:30$ |
| ADT | Atlantic Daylight Time (Nordamerika) | $-03:00$ |
| AEDT | Australische Eastern Daylight Time | $+11:00$ |
| AEST | Australische Eastern Standard Time | $+10:00$ |
| AKDT | Alaska Daylight Time | $-08:00$ |
| AKST | Alaska Standard Time | $-09:00$ |
| AST | Atlantic Standard Time (Nordamerika) | $-04:00$ |
| AWDT | Australische Western Daylight Time | $+09:00$ |
| AWST | Australische Western Standard Time | $+08:00$ |
| BST | British Summer Time | $+01:00$ |
| CDT | Central Daylight Time (Nordamerika) | $-05:00$ |
| CEST | Central European Summer Time \\ (Mitteleuropäische Sommerzeit) | $+02:00$ |
| CET | Central European Time (Mitteleuropäische Zeit) | $+01:00$ |
| CST | Central Standard Time (Nordamerika) | $-06:00$ |
| CSTA | Central Standard Time (Australien) | $+09:30$ |
| CXT | Christmas Island Time (Australien) | $+07:00$ |
| EDT | Eastern Daylight Time (Nordamerika) | $-04:00$ |
| EEDT | Eastern European Daylight Time | $+03:00$ |
| ESTA | Eastern Standard Time (Australien) | $+10:00$ |
| EST | Eastern Standard Time (Nordamerika) | $-05:00$ |
| GMT | Greenwich Mean Time (GMT) (London) | $+12:00$ |
| HADT | Hawaii-Aleutian Daylight Time | $-09:00$ |
| HAST | Hawaii-Aleutian Standard Time | $-10:00$ |
| IST | Irish Summer Time | $+01:00$ |
| MEZ | Mitteleuropäische Zeit | $+01:00$ |
| MESZ | Mitteleuropäische Sommerzeit | $+02:00$ |
| MDT | Mountain Daylight Time (Nordamerika) | $-06:00$ |
| MST | Mountain Standard Time (Nordamerika) | $-07:00$ |
| NDT | Newfoundland Daylight Time (Nordamerika) | $-02:30$ |
| NST | Newfoundland Standard Time (Nordamerika) | $-03:30$ |
| NFT | Norfolk (Island) Time (Australien) | $+11:30$ |
| PDT | Pacific Daylight Time (Nordamerika) | $-07:00$ |
| PST | Pacific Standard Time (Nordamerika) | $-08:00$ |
| WEDT | Western European Daylight Time | $+01:00$ |
| WEST | Western European Summer Time | $+01:00$ |
| WET | Western European Time | $+00:00$ |
| WST | Western Standard Time (Australien) | $+08:00$ |
| UTC | Koordinierte Weltzeit | $UT$ + Schaltsekunde |
===== Dynamische Zeit =====
Aufgrund des Umfangs wird auf das Thema **Dynamische Zeit** $\Delta T$ in einem [[dynamische_zeit_und_delta_t|eigenen Artikel]] eingegangen.
===== Sternzeit =====
Die Sternzeit ist der Stundenwinkel des Frühlingspunktes {{:fruehlingspunkt.png?nolink&20|}}. Die Sternzeit beträgt $0^h$, wenn sich der Frühlingspunkt im Mittagsmeridian befindet. Die //mittlere// Greenwich-Sternzeit ("Greenwich Mean Siderial Time") in Stunden beträgt:
\[\begin{align}
GMST =&\; 6\overset{h}{.}6563064033\\
&+ 0\overset{h}{.}06570982442\cdot (JD(0^h\,UT) - 2445700.5)\\
&+ 1\overset{h}{.}00273790931\cdot UT
\end{align}\tag{3}\]
$JD(0^h)$ = [[julianischer_tag_jd#jd_calc|Julianischer Tag]] um $\textrm{00:00}\;UT$ \\
$1\overset{h}{.}00273790931$ = Korrekturfaktor für beliebige Tageszeit in $UT$
==== Beispiel 1 ====
{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne die mittlere Sternzeit in Greenwich für den 15.4.2023 um 22:15 mitteleuropäische Sommerzeit ($MESZ$)**
----
Die Differenz der $MESZ$ zur Weltzeit $UT$ beträgt $2^h$, also ist der Zeitpunkt
$ \textrm{22:15} - 2^h = \textrm{20:15}\;UT$
Der julianische Tag für den 15.4.2023 um 20:15 $UT$ wurde bereits in [[:julianischer_tag_jd#beispiel_1|diesem Beispiel]] berechnet zu $JD = 2460050.34375$. Der Tag begann aber um 00:00 Uhr, das ist dann $JD = 2460049.5$ (Daten für Mitternacht haben in $JD$ immer die Endung $.5$). Mit der Uhrzeit
$20^h15^m = 20 + \frac{15}{60} = 20\overset{h}{.}25\,$ folgt daher
{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto}}
| \( \begin{align} GMST =&\; 6\overset{h}{.}6563064033\\ &+ 0\overset{h}{.}06570982442\cdot (2460049.5 - 2445700.5)\\ &+ 1\overset{h}{.}00273790931\cdot 20\overset{h}{.}25\\ &= 969\overset{h}{.}83201966941 \end{align} \) |
Durch Abziehen eines geeigneten Vielfachen von $24^h$ erhält man
$\textrm{trunc}\left(\frac{969.83201966941}{24} \right) = 40$\\
$969\overset{h}{.}83201966941 - 40\cdot 24^h = 9\overset{h}{.}8320197$
Die Umrechnung in Stunden/Minuten/Sekunden liefert unter Zuhilfenahme der ''trunc''- und ''frac''-[[:mathematische_grundlagen#trunc_und_frac_funktion|Funktionen]]
$\textrm{trunc}(9\overset{h}{.}8320197) = 9^h$\\
$\textrm{frac}(9\overset{h}{.}8320197) = 0\overset{h}{.}8320197$\\
$0\overset{h}{.}8320197\cdot 60\tfrac{m}{h} = 49\overset{m}{.}921182$\\
$\textrm{trunc}(49\overset{m}{.}921182) = 49^m$\\
$\textrm{frac}(49\overset{m}{.}921182) = 0\overset{m}{.}921182$\\
$ 0\overset{m}{.}921182\cdot 60\tfrac{s}{m} = 55\overset{s}{.}27092$\\
$GMST = 9^h49^m55\overset{s}{.}3$
Der Frühlingspunkt hat also in Greenwich für den gegebenen Zeitpunkt den Ortsmeridian vor $9^h49^m55\overset{s}{.}3$ durchlaufen.
==== Ortssternzeit ====
Die lokale Sternzeit ("Local Mean Siderial Time") berechnet sich mit der geographischen Länge $\lambda_0$ des Beobachters am Ort:
$$LMST = GMST - \frac{\lambda_0}{15\tfrac{\circ}{h}}\tag{4}$$
Zu beachten ist hier, dass //östliche// Längengrade **negativ** und //westliche// Längengrade **positiv** gezählt werden! Leider wird diese Festlegung in der einschlägigen Literatur nicht einheitlich verwendet.
==== Sternzeit in Grad ====
Die //mittlere// Sternzeit $\theta_0$ für Greenwich (London) kann auch direkt in **Grad** ermittelt werden:
\[\begin{align}
GMST = \theta_0 &= 280\overset{\circ}{.}46061837\\
& + 360\overset{\circ}{.}98564736629\cdot\left( JD - 2451545.0 \right)\\
&+ 0\overset{\circ}{.}000387933\cdot T^2\\
&- \frac{T^3}{38710000}
\end{align}\tag{5}\label{glg3_5}\]
$JD$ = Julianischer Tag für die gegebene Uhrzeit in $UT$, siehe [[julianischer_tag_jd#jd_calc|hier]] \\
$T$ = Julianische Jahrhunderte bezüglich Epoche $J2000$, $T=\frac{(JD - 2451545.0)}{36525}$
Diese Formel gilt für **beliebige** Tageszeiten in Weltzeit ($UT$), es muss nur der Julianische Tag $JD$ entsprechend der gegebenen Uhrzeit berechnet werden. Die Umrechnung der Sternzeit in Stunden erfolgt durch Division mit 15:
$$\theta_0^{(h)} = \frac{\theta_0}{15\tfrac{^\circ}{h}}\tag{6}$$
==== Beispiel 2 ====
{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne die mittlere lokale Sternzeit für München ($\lambda = 11\overset{\circ}{.}6$ Ost) für den 15.4.2023 um 22:15 mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ)
**
----
Wie bereits in [[:zeiteingabe#beispiel_1|Beispiel 1]] gezeigt erhält man für $\textrm{22:15} - 2^h = \textrm{20:15}\;UT$ den julianischen Tag mit $JD = 2460050.34375$. Hier nehmen wir die alternative Berechnung der mittleren Sternzeit in **Grad**. Zuerst berechnet man
\(\begin{align}
T &= \frac{JD - 2451545.0}{36525}\\
&= \frac{2460050.34375 - 2451545.0}{36525}\\
&= 0.23286362080767
\end{align}\)
und erhält dann ohne den Umweg über $UT(0^h)$ **direkt** die Sternzeit in Grad mit
{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="620px"}}
| \(\begin{align}
GMST = \theta_0 &= 280\overset{\circ}{.}46061837\\
& + 360\overset{\circ}{.}98564736629\cdot\left(2460050.34375 - 2451545.0 \right)\\
&+ 0\overset{\circ}{.}000387933\cdot (0.23286362080767)^2\\
&- \frac{(0.23286362080767)^3}{38710000}\\
&= 3070587\overset{\circ}{.}480306
\end{align}\) |
Die Reduktion auf das Intervall [0°-360°] erhält man mit der [[:mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktions-Funktion]] zu
$\textrm{trunc}\left(\frac{3070587.480306}{360} \right) = 8529$\\
$3070587\overset{\circ}{.}480306 - 8529\cdot 360^{\circ} =$\\
$= 147\overset{\circ}{.}480306$
Die Umrechnung in Stunden erfolgt mit Division durch $15\frac{\circ}{h}$ zu
$GMST = \frac{147\overset{\circ}{.}480306}{15\frac{\circ}{h}} = 9\overset{h}{.}8320204$
Dies ist nun die mittlere Sternzeit in **Greenwich** für den gegebenen Zeitpunkt. \\
Die Ortssternzeit in **München** mit einer geografischen Länge von $11\overset{\circ}{.}6$ Ost erhält man durch
\(\begin{align}
LMST &= GMST - \frac{\lambda_0}{15\frac{\circ}{h}}\\
&= 9\overset{h}{.}8320204 - \frac{-11\overset{\circ}{.}6}{15\frac{\circ}{h}}\\
&= 10\overset{h}{.}60535373
\end{align}\)
Wie man sieht werden östliche Längengrade negativ gezählt und westliche Längengrade positiv.
Die weitere Umrechnung in Stunden/Minuten/Sekunden liefert unter Zuhilfenahme der ''trunc''- und ''frac''-[[:mathematische_grundlagen#trunc_und_frac_funktion|Funktionen]]
$\textrm{trunc}(10\overset{h}{.}60535373) = 10^h$\\
$\textrm{frac}(10\overset{h}{.}60535373) = 0\overset{h}{.}60535373$\\
$0\overset{h}{.}60535373\cdot 60\tfrac{m}{h} = 36\overset{m}{.}3212238$\\
$\textrm{trunc}(36\overset{m}{.}3212238) = 36^m$\\
$\textrm{frac}(36\overset{m}{.}3212238) = 0\overset{m}{.}32122384$\\
$0\overset{m}{.}3212238\cdot 60\tfrac{s}{m} = 19\overset{s}{.}273428$\\
$LMST = 10^h36^m19\overset{s}{.}3$
Der Frühlingspunkt hat also in München für den gegebenen Zeitpunkt den Ortsmeridian vor $10^h36^m19\overset{s}{.}3$ durchlaufen. Mit anderen Worten stand der Frühlingspunkt vor $10^h36^m19\overset{s}{.}3$ im Ortsmeridian von München, also um $\textrm{22:15} - 10^h36^m19\overset{s}{.}3 = \textrm{11:38:40.7}$ Uhr.
==== Wahre Sternzeit ====
Die wahre Sternzeit oder den Greenwich-Stundenwinkel des wahren Frühlings-Äquinoktiums erhält man durch Addition der Korrektur $\Delta\lambda\cdot\cos \varepsilon$, wobei $\Delta\lambda$ die Nutation in Länge und $\varepsilon$ die wahre Schiefe der Ekliptik ist. Diese Nutationskorrektur wird auch Äquinoktialgleichung genannt. Wenn $\Delta\lambda$ in Bogensekunden ausgedrückt wird, ist die Korrektur der mittleren Sternzeit in Sekunden gegeben durch
$$\frac{\Delta\lambda\cdot\cos \varepsilon}{15}\tag{7}$$
Die wahre Ekliptikschiefe $\varepsilon$ ist die um die Nutation in Schiefe $\Delta\varepsilon$ korrigierte [[:sonnenposition#eps0_info|mittlere Ekliptikschiefe]] $\varepsilon_0$, also
$$\varepsilon = \varepsilon_0 + \frac{\Delta\varepsilon}{3600\tfrac{''}{\circ}}\tag{8}$$
Zur Berechnung der Nutationswerte in Länge und Schiefe siehe [[:nutation_hoehere_genauigkeit|hier]].
Für die praktische Berechnung hat dies in den meisten Fällen wenig Bedeutung, da die absolute Differenz von mittlerer und wahrer Sternzeit den Wert von $\approx 1\overset{s}{.}2$ nicht übersteigt.
{{ :diff_sternzeit.png?800 |}}
{{ :diff_sternzeit_2.png?800 |}}