====== Nutation mit höherer Genauigkeit ====== Nach [[:literaturhinweise#books_meeus|J. Meeus]] kann die Berechnung der Nutation in Länge $\Delta\lambda$ und in Ekliptikschiefe $\Delta\varepsilon$ mit dem folgenden Algorithmus erfolgen. Man berechnet für den gegebenen Zeitpunkt zunächst den [[:julianischer_tag_jd#berechnung_des_jd|julianischen Tag $JD$]] und addiert anschließend den Wert von $\Delta T$ (ebenfalls für den gegebenen Zeitpunkt). Der Wert für $\Delta T$ kann aus [[:dynamische_zeit_und_delta_t#werte_fuer_delta_t|einer Tabelle entnommen]] oder auch [[:dynamische_zeit_und_delta_t#berechnung_mit_polynomen|berechnet werden]]. Damit erhält man den julianischen Ephemeridentag $JDE$ sowie die julianischen Jahrhunderte $T$ bezüglich der Epoche $J2000$ mit $$JDE = JD + \frac{\Delta T}{86400}\tag{1}$$ $$T = \frac{JDE - 2451545.0}{36525}\tag{2}$$ ===== Grundwinkel ===== Weiters benötigt man die folgenden Grundwinkel zur Berechnung der Korrekturterme. Alle Winkelgrößen sind in **Grad** gegeben, zur Programmierung sollten die Werte in Radiant durch Multiplikation mit $\frac{\pi}{180}$ umgewandelt werden. {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="350px,260px"&float=center}} ^ Tabelle 1 || | Mittlere Elongation des Mondes von der Sonne | \(\begin{align} D &= 297\overset{\circ}{.}85036\\ &+ 445267\overset{\circ}{.}111480\cdot T\\ &- 0\overset{\circ}{.}0019142\cdot T^2\\ &+ \frac{1^{\circ}}{189474}\cdot T^3 \end{align}\) | | Mittlere Anomalie der Sonne | \(\begin{align} M &= 357\overset{\circ}{.}52772\\ &+ 35999\overset{\circ}{.}050340\cdot T\\ &- 0\overset{\circ}{.}0001603\cdot T^2\\ &- \frac{1^{\circ}}{300000}\cdot T^3 \end{align}\) | | Mittlere Anomalie des Mondes | \(\begin{align} m &= 134\overset{\circ}{.}96298\\ &+ 477198\overset{\circ}{.}867398\cdot T\\ &+ 0\overset{\circ}{.}0086972\cdot T^2\\ &+ \frac{1^{\circ}}{56250}\cdot T^3 \end{align}\) | | Argument in der Breite des Mondes | \(\begin{align} F &= 93\overset{\circ}{.}27191\\ &+ 483202\overset{\circ}{.}017538\cdot T\\ &- 0\overset{\circ}{.}0036825\cdot T^2\\ &+ \frac{1^{\circ}}{327270}\cdot T^3 \end{align}\) | | Länge des aufsteigenden Mondknotens \\ (bzgl. der mittleren Epoche des Datums) | \(\begin{align} \Omega &= 125\overset{\circ}{.}04452\\ &- 1934\overset{\circ}{.}136261\cdot T\\ &+ 0\overset{\circ}{.}0020708\cdot T^2\\ &+ \frac{1^{\circ}}{450000}\cdot T^3 \end{align}\) | Die Größen von $\Delta\lambda$ und $\Delta\varepsilon$ können nun durch Summierung der Terme in der nachstehenden Tabelle ermittelt werden. Die erste Spalte ist nur die Nummerierung der Terme und dient zur Referenzierung, es sind **keine Rechenwerte**. Das Argument des Sinus (für $\Delta\lambda$) bzw. des Cosinus (für $\Delta\varepsilon$) ist jeweils eine Linearkombination der Grundwinkel. Die Multiplikatoren sind Ganzzahlen in den entsprechenden Spalten von $D, M, m, F$ und $\Omega$. Die Koeffizienten $k_{\lambda}$ und $k_{\varepsilon}$ sind in Einheiten von $0\overset{''}{.}0001$ gegeben. $$\Delta\lambda= \frac{1}{10^4}\cdot\sum_{n = 1}^{63} k_{\lambda} \cdot \sin \big(a_n\cdot D + b_n\cdot M + c_n\cdot m + d_n\cdot F + e_n\cdot \Omega\big)\tag{3}$$ **Achtung**: Für $\Delta\varepsilon$ endet die Tabelle bei Term Nr. 49, da alle weiteren Koeffizienten 0 sind! $$\Delta\varepsilon = \frac{1}{10^4}\cdot\sum_{n = 1}^{\color{#cc0000}{49}} k_{\varepsilon} \cdot \cos \big(a_n\cdot D + b_n\cdot M + c_n\cdot m + d_n\cdot F + e_n\cdot \Omega\big)\tag{4}$$ ===== Tabelle der Korrekturterme ===== {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="65px,,,,,,230px,230px"&float=center}} ^ Tabelle 2 |||||||| ^ # ^ $D$ ^ $M$ ^ $m$ ^ $F$ ^ $Ω$ ^ Koeffizient $\Delta\lambda$ ^ Koeffizient $\Delta\varepsilon$ ^ | $n$ | $a_n$ | $b_n$ | $c_n$ | $d_n$ | $e_n$ | $k_{\lambda}$ | $k_{\varepsilon}$ | | 01 | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $1$ | $-171996 - 174.2\cdot T$ | $+92025 + 8.9\cdot T$ | | 02 | $-2$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $-13187 - 1.6\cdot T$ | $+5736 - 3.1\cdot T$ | | 03 | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $-2274 - 0.2\cdot T$ | $ +977 - 0.5\cdot T$ | | 04 | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $2$ | $+2062 + 0.2\cdot T$ | $ -895 + 0.5\cdot T$ | | 05 | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $0$ | $+1426 - 3.4\cdot T$ | $ +54 - 0.1\cdot T$ | | 06 | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $+712 + 0.1\cdot T$ | $ -7$ | | 07 | $-2$ | $+1$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $-517 + 1.2\cdot T$ | $ +224 - 0.6\cdot T$ | | 08 | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $1$ | $-386 - 0.4\cdot T$ | $ +200$ | | 09 | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $2$ | $-301$ | $ +129 - 0.1\cdot T$ | | 10 | $-2$ | $-1$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $+217 - 0.5\cdot T$ | $ -95 + 0.3\cdot T$ | | 11 | $-2$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $-158$ | $ +0$ | | 12 | $-2$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $1$ | $+129 + 0.1\cdot T$ | $ -70$ | | 13 | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+2$ | $2$ | $+123$ | $ -53$ | | 14 | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $0$ | $+63$ | $ +0$ | | 15 | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $1$ | $+63 + 0.1\cdot T$ | $ -33$ | | 16 | $+2$ | $+0$ | $-1$ | $+2$ | $2$ | $-59$ | $ +26$ | | 17 | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+0$ | $1$ | $-58 - 0.1\cdot T$ | $ +32$ | | 18 | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $1$ | $-51$ | $ +27$ | | 19 | $-2$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $0$ | $+48$ | $ +0$ | | 20 | $+0$ | $+0$ | $-2$ | $+2$ | $1$ | $+46$ | $ -24$ | | 21 | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $-38$ | $ +16$ | | 22 | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ | $2$ | $-31$ | $ +13$ | | 23 | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $0$ | $+29$ | $ +0$ | | 24 | $-2$ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $2$ | $+29$ | $ -12$ | | 25 | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $0$ | $+26$ | $ +0$ | | 26 | $-2$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $0$ | $-22$ | $ +0$ | | 27 | $+0$ | $+0$ | $-1$ | $+2$ | $1$ | $+21$ | $ -10$ | | 28 | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $0$ | $+17 - 0.1\cdot T$ | $ +0$ | | 29 | $+2$ | $+0$ | $-1$ | $+0$ | $1$ | $+16$ | $ -8$ | | 30 | $-2$ | $+2$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $-16 + 0.1\cdot T$ | $ +7$ | | 31 | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $1$ | $-15$ | $ +9$ | | 32 | $-2$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $1$ | $-13$ | $ +7$ | | 33 | $+0$ | $-1$ | $+0$ | $+0$ | $1$ | $-12$ | $ +6$ | | 34 | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $-2$ | $0$ | $+11$ | $ +0$ | | 35 | $+2$ | $+0$ | $-1$ | $+2$ | $1$ | $-10$ | $ +5$ | | 36 | $+2$ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $2$ | $ -8$ | $ +3$ | | 37 | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $ +7$ | $ -3$ | | 38 | $-2$ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $ -7$ | $ +0$ | | 39 | $+0$ | $-1$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $ -7$ | $ +3$ | | 40 | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $1$ | $ -7$ | $ +3$ | | 41 | $+2$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $ +6$ | $ +0$ | | 42 | $-2$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ | $2$ | $ +6$ | $ -3$ | | 43 | $-2$ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $1$ | $ +6$ | $ -3$ | | 44 | $+2$ | $+0$ | $-2$ | $+0$ | $1$ | $ -6$ | $ +3$ | | 45 | $+2$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $1$ | $ -6$ | $ +3$ | | 46 | $+0$ | $-1$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $ +5$ | $ +0$ | | 47 | $-2$ | $-1$ | $+0$ | $+2$ | $1$ | $ -5$ | $ +3$ | | 48 | $-2$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $1$ | $ -5$ | $ +3$ | | 49 | $+0$ | $+0$ | $+2$ | $+2$ | $1$ | $ -5$ | $ +3$ | | 50 | $-2$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ | $1$ | $ +4$ | $ +0$ | | 51 | $-2$ | $+1$ | $+0$ | $+2$ | $1$ | $ +4$ | $ +0$ | | 52 | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $-2$ | $0$ | $ +4$ | $ +0$ | | 53 | $-1$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $ -4$ | $ +0$ | | 54 | $-2$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $0$ | $ -4$ | $ +0$ | | 55 | $+1$ | $+0$ | $+0$ | $+0$ | $0$ | $ -4$ | $ +0$ | | 56 | $+0$ | $+0$ | $+1$ | $+2$ | $0$ | $ +3$ | $ +0$ | | 57 | $+0$ | $+0$ | $-2$ | $+2$ | $2$ | $ -3$ | $ +0$ | | 58 | $-1$ | $-1$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $ -3$ | $ +0$ | | 59 | $+0$ | $+1$ | $+1$ | $+0$ | $0$ | $ -3$ | $ +0$ | | 60 | $+0$ | $-1$ | $+1$ | $+2$ | $2$ | $ -3$ | $ +0$ | | 61 | $+2$ | $-1$ | $-1$ | $+2$ | $2$ | $ -3$ | $ +0$ | | 62 | $+0$ | $+0$ | $+3$ | $+2$ | $2$ | $ -3$ | $ +0$ | | 63 | $+2$ | $-1$ | $+0$ | $+2$ | $2$ | $ -3$ | $ +0$ | ==== Beispiel ==== {{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne die Nutationswerte $\Delta\lambda$ und $\Delta\varepsilon$ für den 21.5.2023 um 10:15 $MESZ$** ---- Die Umrechnung der [[:zeiteingabe#zeitzone|mitteleuropäischen Sommerzeit]] $MESZ$ in Weltzeit $UT$ ergibt $UT = MESZ - 2^{h} = \textrm{10:15} - 02^{h} = \textrm{08:15}$ Für den gegebenen Zeitpunkt wurde der Julianische Tag [[:sonnenposition#beispiel|hier bereits ermittelt]] zu $JD = 2460085.84375$. Im Jahr 2023 war der Wert von [[dynamische_zeit_und_delta_t#delta_t_tab5|$\Delta T = 69^{s}$]], diese müssen hinzugefügt werden, um in die gleichmäßigen Skala der dynamischen Zeit $TD$ umzurechnen. Ein Tag hat 86400 Sekunden, daher folgt \(\begin{align} JDE &= 2460085.84375 + \frac{69^{s}}{86400\frac{s}{d}}\\ &= 2460085.844548611 \end{align}\) Daraus erhält man die julianischen Jahrhunderte zu \(\begin{align} T &= \frac{(2460085.844548611 - 2451545.0)}{36525}\\ &= 0.23383557970187463 \end{align}\) Damit erhält man sukzessive die Grundwinkel $D, M, m, F$ und $\Omega$ mit \(\begin{align} D &= 104417\overset{\circ}{.}14339050584\\ &= 17\overset{\circ}{.}143391\\ M &= 8775\overset{\circ}{.}386516163191\\ &= 135\overset{\circ}{.}386516\\ m &= 111721\overset{\circ}{.}0372468715\\ &= 121\overset{\circ}{.}037247\\ F &= 113083\overset{\circ}{.}09559279698\\ &= 43\overset{\circ}{.}095593\\ \Omega &= -327\overset{\circ}{.}22524055550275\\ &= 32\overset{\circ}{.}774759 \end{align}\) Für große bzw. negative Winkel wurde die [[:mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktions-Funktion]] verwendet, um die Winkel in das Intervall [0°-360°] zu bringen. Die Summierung aller 63 Terme für $\Delta \lambda$ liefert dann {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="500px"}} | \(\begin{align} \Delta\lambda=& -171996 -174.2\cdot T\cdot \sin (\Omega)\\ & -13187 - 1.6\cdot T\cdot \sin (-2\cdot D + 2\cdot F + 2\cdot \Omega)\\ & -2274 - 0.2\cdot T\cdot \sin (2\cdot F + 2\cdot \Omega)\\ & \quad \vdots \quad\quad \vdots\\ & -3\cdot \sin (2\cdot D - M + 2\cdot F + 2\cdot \Omega)\\ &= -102055.73264997278 \end{align} \) | Da alle Koeffizienten in Einheiten von $0\overset{''}{.}0001$ gegeben sind, wird noch durch $10^{4}$ dividiert. $\Delta\lambda = -10\overset{''}{.}206$ Für $\Delta \varepsilon$ müssen nur 49 Terme summiert werden, da alle anderen Koeffizienten $0$ sind, man erhält {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="500px"}} | \(\begin{align} \Delta\varepsilon =& +92025 + 8.9\cdot T\cdot \cos (\Omega)\\ & +5736 - 3.1\cdot T\cdot \cos (-2\cdot D + 2\cdot F + 2\cdot \Omega)\\ & +977 - 0.5\cdot T\cdot \cos (2\cdot F + 2\cdot \Omega)\\ & \quad \vdots \quad\quad \vdots\\ & 3\cdot \cos (2\cdot m + 2\cdot F + \Omega)\\ & = 73199.36709133013 \end{align}\) | Division durch $10^{4}$ ergibt schließlich $\Delta\varepsilon= +7\overset{''}{.}32$ Man vergleiche die Werte mit jenen des schnelleren Algorithmus, der auf [[:koordinatenreduktion#beispiel|dieser Seite]] vorgestellt wurde: {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto}} ^ Größe ^ Schnell |^ Diese Berechnung ^ | | Montenbruck | Meeus | | | $\Delta\lambda =$ | $-10\overset{''}{.}240$ | $-10\overset{''}{.}218$ | $-10\overset{''}{.}206$ | | $\Delta\varepsilon =$ | $+7\overset{''}{.}334$ | $+7\overset{''}{.}359$ | $+7\overset{''}{.}32$ |