====== Wichtige mathematische Anwendungen ====== Hier werden die mathematischen Anwendungen beschrieben, die nicht als Funktionen in Taschenrechnern und Computerprogrammen zu finden sind. Diese Liste wird laufend ergänzt. ===== Lineare Gleichungssysteme ===== Hat man drei Gleichungen in der Form \[\begin{align} b_1 &= a_{11} \cdot x + a_{12} \cdot y + a_{13} \cdot z \\ b_2 &= a_{21} \cdot x + a_{22} \cdot y + a_{23} \cdot z \\ b_3 &= a_{31} \cdot x + a_{32} \cdot y + a_{33} \cdot z \end{align}\tag{1}\] so kann man diese leicht als Matrix und Vektor darstellen: \[\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix}\right) = \left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right)\tag{2}\] Die Multiplikation erfolgt mit der folgenden graphischen Rechenregel: {{ ::matrize_mal_vektor.png?600 |}} ===== Vektoren ===== Aus den drei Gleichungen \[\begin{align} x &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(\alpha)\\ y &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \sin(\alpha)\\ z &= r\cdot \sin(\beta)\end{align}\tag{3}\] formt man den Vektor \[\vec{r} = r \left(\begin{matrix} \cos(\beta)\cdot \cos(\alpha)\\ \cos(\beta)\cdot \sin(\alpha)\\ \sin(\beta)\end{matrix}\right) = r \vec{e}\tag{4}\] ==== Skalarprodukt (Punktprodukt) ==== $$\vec{v} \cdot \vec{u} = v_1 \cdot u_1 + v_2 \cdot u_2 + + v_3 \cdot u_3\tag{5}$$ Rechenregeln: $$\vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v}\tag{6}$$ $$\vec{u} \cdot \vec{u} = |u|^2\tag{7}$$ $$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos(\theta)\tag{8}$$ senkrecht $\theta = 90^\circ$: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\tag{9}$$ parallel $\theta = 0^\circ$: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\tag{10}$$ ==== Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ==== $$\vec{v} \times \vec{u} = \left(\begin{array} vv_2 \cdot u_3 - v_3 \cdot u_2 \\ v_3 \cdot u_1 - u_3 \cdot v_1 \\ v_1 \cdot u_2 - u_1 \cdot v_2 \end{array}\right)\tag{11}$$ Rechenregeln: $$\vec{v} \times \vec{u} = - \vec{u} \times \vec{v}\tag{12}$$ $$\vec{u} \times \vec{u} = 0\tag{13}$$ $$\vec{u} \times \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \sin(\theta)\tag{14}$$ senkrecht $\theta = 90^\circ$: $$\vec{u} \times \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\tag{15}$$ parallel $\theta = 0^\circ$: $$\vec{u} \times \vec{v} = 0\tag{16}$$ ===== Matrizen ===== ==== Drehmatrizen ==== {{ :drehung_passiv.png |}} Ein Vektor wird mit Hilfe einer Drehmatrix in eine neues Koordinatensystem (i.e. neuer Vektor) gedreht (Abb. 1). \[\begin{split} & x = \cos(\alpha) \\ & y = \sin(\alpha) \\ & z = 0 \end{split} \Rightarrow\vec{r}(\alpha,0) = \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \\ 0 \\ \end{matrix} \right) = \vec{e}(\alpha,0)\tag{17}\] Nach einer Drehung mit dem Winkel $\varphi$ um die z - Achse erhält man: \[\vec{r} = \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos(\alpha') \\ \sin(\alpha') \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos(\alpha - \varphi) \\ \sin(\alpha - \varphi) \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{array}{lll} + x \ \cos(\varphi) & + y \ \sin(\varphi) & + z \ 0 \\ - x \ \sin(\varphi) & + y \ \cos(\varphi) & + z \ 0 \\ + x \ 0 & + y \ 0 & + z \ 1 \end{array} \right)\tag{18}\] \[\Rightarrow \vec{r}'(\alpha',0) = \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \end{matrix} \right) = \left( \begin{array}{ccc} + \cos(\varphi) & + \sin(\varphi) & 0 \\ - \sin(\varphi) & + \cos(\varphi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = R_3(\varphi) \vec{r}(\alpha,0)\tag{19}\] Die Drehungen um die x (R$_1$), y (R$_2$) und die z - Achse (R$_3$): \[R_1(\varphi) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & + \cos(\varphi) & + \sin(\varphi) \\ 0 & - \sin(\varphi) & + \cos(\varphi) \end{array} \right) \tag{20}\] \[R_2(\varphi) = \left( \begin{array}{ccc} + \cos(\varphi) & 0 & - \sin(\varphi) \\ 0 & 1 & 0 \\ + \sin(\varphi) & 0 & + \cos(\varphi) \end{array} \right) \tag{21}\] \[R_3(\varphi) = \left( \begin{array}{ccc} + \cos(\varphi) & + \sin(\varphi) & 0 \\ - \sin(\varphi) & + \cos(\varphi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\tag{22}\] ==== Determinante ==== Die Determinante ist der skalare Wert einer Matrix. Die Regel von Sarrus berechnet die Determinante (Abb. 2): {{ :sarrus_regel.png |}} \[\det(\mathbf{M}) = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| = \begin{array}{c} + a_{11} \ a_{22} \ a_{33} + a_{12} a_{23} \ a_{31} + a_{13} \ a_{21} \ a_{32} \\ - a_{31} \ a_{22} \ a_{13} - a_{32} \ a_{23} \ a_{11} - a_{33} \ a_{21} \ a_{12} \end{array}\tag{23}\] ==== Invertierte Matrix ==== Die Invertierung (Umkehrung) der Matrix M erfolgt mit Hilfe der Cramerschen Regel: Die Bildung einer Unterdeterminante N$_{ik}$ durch das Herausstreichen der i - ten Spalte und k - ten Zeile. \[\det(N_{ik}) = (-1)^{i+k} \mathbf{M} \quad und \quad b_{ik} = \frac{\det(N_{ik})}{\det(M)}\tag{24}\] det($N_{ik}$) ist eine Streich- oder Unterdeterminante von M. Sie wird aus M gebildet, wenn die i - te Zeile und die k - te Spalte gestrichen wurde. Bei einer 3 $\times$ 3 Matrix sind es neun Unterdeterminanten. Die invertierte Matrix ist dann: \[M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \left(\begin{array}{ccc} b_{11} & b_{21} & b_{13} \\ b_{12} & b_{22} & b_{32} \\ b_{31} & b_{23} & b_{33} \end{array}\right)\tag{25}\] Für die oben genannten Drehmatrizen gilt $R^{-1}(\varphi) = R(-\varphi)$. ==== Transponierte Matrix ==== Hat man eine Matrix M \[\mathbf{M} = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)\tag{26}\] so ist die transponierte Matrix $M^t$: \[\mathbf{M}^t = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} \right)\tag{27}\] Es vertauschen sich alle Elemente bis auf die Diagonalelemente gegenseitig. Überträgt man die transponierte Matrix $M^t$ auf die Drehmatrix $R(\varphi)$, so zeigt sich, daß $R^t(\varphi)$ = $R(-\varphi)$ gilt. ===== Interpolation ===== ==== Taylorpolynom ==== Das Taylorpolynom (auch Taylorreihe/-entwicklung) ist die beliebteste Anwendung zur Näherung von Funktionen an der Stelle $r_0$ mit $|\vec{r} - \vec{r}_0| \ll 1$. \[f_{r_0}(\vec{r}) = f(\vec{r}_0) + f'(\vec{r}_0) \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0) + \frac{1}{2} \cdot f''(\vec{r}_0) \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0)^2 + \cdots = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \cdot \frac{d^k}{d\vec{r}_0^k} f(\vec{r}_0) \cdot(\vec{r} - \vec{r}_0)^k\tag{28}\] Ein Rechenbeispiel sind die trigonometrischen Funktionen und die e - Funktion: \[\begin{split} e^{\pm\varphi} &= 1 \pm \frac{\varphi}{1!} - \frac{\varphi^2}{2!} \mp \frac{\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^4}{4!} \pm \frac{\varphi^5}{5!} - ...= \sum_{n=0}^\infty \frac{\varphi^n}{n!} \\ \cos(\varphi) &= 1 - \frac{\varphi^2}{2!} + \frac{\varphi^4}{4!} - ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \varphi^{2n}}{(2n)!} \\ \sin(\varphi) &= \varphi - \frac{\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^5}{5!} - ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \varphi^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{split}\tag{29}\] ==== Stirling-Interpolation ==== {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="160px,180px,170px,140px,170px,100px"&float=center}} | $x_1 = x_0 - 2\cdot h$ | $y_1 = f(x_0 - 2\cdot h)$ | | | | | | | | $\nabla^{1} f\left(x_0 - \frac{3}{2}\cdot h\right)$ | | | | | $x_2 = x_0 - h$ | $y_2 = f(x_0 - h)$ | | $\nabla^{2} f(x_0 - h)$ | | | | $x = x_0 - t\cdot h$ | | $\nabla^{1} f\left(x_0 - \frac{1}{2}\cdot h\right)$ | | $\nabla^{3} f\left(x_0 - \frac{1}{2}\cdot h\right)$ | | | $x_3 = x_0$ | $y_3 = f(x_0)$ | | $\delta^{2} f(x_0)$ | | $\delta^{4} f(x_0)$ | | $x = x_0 + t\cdot h$ | | $\Delta^{1} f\left(x_0 + \frac{1}{2}\cdot h\right)$ | | $\Delta^{3} f\left(x_0 + \frac{1}{2}\cdot h\right)$ | | | $x_4 = x_0 + h$ | $y_4 = f(x_0 + h)$ | | $\Delta^{2} f(x_0 + h)$ ||| | | | $\Delta^{1} f\left(x_0 + \frac{3}{2}\cdot h\right)$ | | | | | $x_5 = x_0 + 2\cdot h$ | $y_5 = f(x_0 + 2\cdot h)$ | | | | | $\Delta f(x_0) = f(x_0 + t \ h) - f(x_0)$ bilden die Vorwärtsdifferenzen und $\nabla f(x_0) = f(x_0) - f(x_0 - t \ h)$ sind die Rückwärtsdifferenzen. Die Hochzahlen bilden die Ordnungen; es sind keine Potenzen. Das gleiche gilt auch für die Zentraldifferenzen $\delta f(x_0) = f(x_0 + t \ h) - f(x_0 - t \ h)$. Die entsprechende Interpolationsgleichung lautet $$f(x_0 \pm t h) = f(x_0) \pm t \cdot \delta^1 f(x_0) + \frac{t^2}{2} \cdot \delta^2 f(x_0) \pm \frac{(t + 1) t (t - 1)}{6} \cdot \delta^3 f(x_0) + \frac{(t + 1) t^2 (t - 1)}{24} \cdot \delta^4 f(x_0) \pm \cdots\tag{30}$$ mit \[\begin{align} \delta^1 f(x_0) &= \frac{1}{2} (\nabla^1 f(x_0 - \frac{1}{2} h) + \Delta^1 f(x_0 + \frac{1}{2} h)) \\ \delta^3 f(x_0) &= \frac{1}{2} (\nabla^3 f(x_0 - \frac{1}{2} h) + \Delta^3 f(x_0 + \frac{1}{2} h)) \end{align}\tag{31}\] Eine Anwendungsmöglichkeit ist die Bestimmung der mittleren Bahnelemente aus den oskulierenden Bahnelementen. Diese sind jedoch nur innerhalb des Interpolationszeitraums gültig. ==== weitere Interpolationsverfahren ==== Die Interpolation hat aufgrund ihres Umfangs eine [[:interpolation|eigene Seite]] erhalten. ===== Komplexe Zahlen ===== Komplexe Zahlen entstehen, wenn Quadratwurzeln negative Argumente bei der Berechnung erhalten. Diese werden dann mit $i = \sqrt{-1}$ dargestellt. Eine komplexe Zahl $z$ setzt sich aus einem imaginären Anteil $b$ und einem realen Anteil $a$ zusammen: $$z = a + i\cdot b \qquad\text{mit}\qquad i = \sqrt{-1}\tag{32}$$ Für $i$ gilt: * $i^{-1} = \frac{1}{i} = -i$, * $i^2 = -1$, * $i^3 = -i$, * $i^4 = 1$, * $i^5 = i$. Tritt die Variante $$z^{*} = a - i\cdot b\tag{33}$$ auf, so ist diese konjungiert komplex zu $z$. $$\text{real:} \qquad (a + b)(a - b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2\tag{34}$$ $$\text{komplex:} \qquad (a + ib)(a - ib) = a^2 + a ib - ib a - i^2b^2 = a^2 + b^2\tag{35}$$ Es gilt $z\cdot z^{*} = a^2 + b^2$, eine reelle Zahl. {{ :komplexe_zahlenebene.png |}} Eine anschauliche Darstellung der komplexen Zahlen im Koordinatenkreuz. $z$ kann als ein um den Ursprung kreisenden Radius vorgestellt werden. $a$, $b$ und $z$ bilden die Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks. Die konjugiert komplexe Form ist die Spiegelung an der reellen Achse.