====== Mathematische Grundlagen ====== In diesem Kapitel werden die wichtigsten Formeln - die hier im Wiki vorkommen - illustriert. ===== Grad- und Bogenmaß ===== ==== Gradmaß ==== Ein voller Kreis wird in 360° geteilt. $1^\circ$ ist dann logischerweise der $\frac{1}{360}$ Teil eines Vollkreises. {{ :gradmass.png |Gradmaß}} Mit Hilfe der Kreiszahl $\pi = 3.14159265\ldots$ wird aus dem Bogenmaß $s$ das Gradmaß $\alpha$ berechnet: $$\alpha = \frac{180^{\circ}}{\pi}\cdot s\tag{1}$$ Diese Zahl ist dimensionslos, ihr Zeichen ist °. Weitere Unterteilungen sind die Bogenminute $'$ und die Bogensekunde $''$: * $1'$ = 1 Bogenminute = $\tfrac{1}{60}$ Teil eines Grades = $\tfrac{1}{21600}$ Teil eines Vollkreises * $1''$ = 1 Bogensekunde = $\tfrac{1}{60}$ Teil einer Bogenminute = $\tfrac{1}{1296000}$ Teil eines Vollkreises ==== Bogenmaß ==== {{ bogenmass.png |Bogenmaß}} Das Bogenmaß eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis der Länge des Kreisbogens $s$ zum Radius $r$. Der Vollkreis, also der gesamte Bogen des Kreises (Umfang) lautet $2\pi r$. Das Bogenmaß für den Vollkreis lautet daher $\frac{2\pi r}{r} = 2\pi$. Die Umkehrung erfolgt mit der Gleichung: $$ s = \frac{\pi}{180^{\circ}}\cdot\alpha\tag{2}$$ Die Bezeichnung lautet //Radian// (englisch) bzw. //Radiant// und ihr Wert ist //dimensionslos//. ==== Tabelle Grad/Radiant ==== {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="140px,140px"&float=center}} ^ Tabelle 1 || ^ Grad ^ Radiant ^ | $0^{\circ}$ | $0$ | | $30^{\circ}$ | $\frac{\pi}{6}$ | | $45^{\circ}$ | $\frac{\pi}{4}$ | | $60^{\circ}$ | $\frac{\pi}{3}$ | | $90^{\circ}$ | $\frac{\pi}{2}$ | | $180^{\circ}$ | $\pi$ | | $270^{\circ}$ | $\frac{3\pi}{2}$ | | $360^{\circ}$ | $2\pi$ | ===== Betrags- und Vorzeichenfunktion ===== Diese beiden Funktionen bestimmen das Vorzeichen einer Zahl. ==== Betragsfunktion ==== Der Absolutwert einer Variablen $x$ wird durch die **Betrags**funktion $|x|$ bestimmt, die häufig auch als $abs(x)$ bezeichnet wird. \[|x| = \begin{cases} + x \\ - x \end{cases} \quad \text{falls} \quad \begin{matrix} x \geq 0 \\ x < 0 \end{matrix}\tag{3}\] ==== Vorzeichenfunktion ==== Das Vorzeichen einer Variablen $x$ wird durch die **Signums**funktion $\mathrm{sgn}(x)$ bestimmt. \[\mathrm{sgn}(x) = \begin{cases} + 1 \\ - 1 \\ 0 \end{cases} \quad \text{falls} \quad \begin{matrix} x > 0 \\ x < 0 \\ x = 0 \end{matrix}\tag{4}\] ===== Floor und Ceiling Funktion ===== ==== Floor Funktion ==== {{ :floor_funktion.png |Floor-Funktion}} Volle Punkte gehören zur Funktion, leere Punkte hingegen nicht.\\ Die ''floor''-Funktion bestimmt die nächstkleinere **ganze** Zahl (floor => englisch für "//Boden//") $$\mathrm{floor}(x)=\lfloor x\rfloor\tag{5}$$ **Beispiele:** \\ $\mathrm{floor}(1.9) = 1$ \\ $\mathrm{floor}(1.1) = 1$ \\ $\mathrm{floor}(-1.1) = -2$ \\ $\mathrm{floor}(-1.9) = -2$ Die Floor-Funktion hat noch etliche andere Bezeichnungen, z.B. Int-Funktion, Gauß- oder Entierklammer. ==== Ceiling Funktion ==== {{ :ceiling_funktion.png |Ceiling-Funktion}} Die Ceilingfunktion bestimmt die nächstgrößere **ganze** Zahl (ceiling => englisch für "//Decke//"). $$\mathrm{ceil}(x)=\lceil x\rceil\tag{6}$$ **Beispiele:** \\ $\mathrm{ceil}(1.9) = 2$ \\ $\mathrm{ceil}(1.1) = 2$ \\ $\mathrm{ceil}(-1.1) = -1$ \\ $\mathrm{ceil}(-1.9) = -1$ Die Ceiling-Funktion hat keine alternativen Bezeichnungen. ===== Trunc und Frac Funktion ===== ==== Trunc Funktion ==== {{ :trunc_funktion.png |Trunc-Funktion}} Die Trunc-Funktion gibt den ganzzahligen Wert einer Zahl wieder. Die Nachkommastellen werden **abgeschnitten**. $$\mathrm{trunc}(x) = \mathrm{fix}(x)\tag{7}$$ **Beispiele:** \\ $\mathrm{trunc}(1.2345) = 1$ \\ $\mathrm{trunc}(-1.2345) = -1$ \\ $\mathrm{trunc}(-0.6789) = 0$ Die ''trunc''-Funktion wird gelegentlich auch als ''int''-Funktion oder ''fix''-Funktion bezeichnet. Vorsicht geboten ist bei negativen Zahlen. Während für positive Zahlen die Funktionen $\operatorname{floor}(x)$ und $\operatorname{trunc}(x)$ dasselbe Ergebnis liefern, ist das bei negativen Zahlen **nicht** so: **Beispiel für JavaScript** console.log(Math.floor(298.99785)) // => 298 (nächstkleinere Ganzzahl) console.log(Math.trunc(298.99785)) // => 298 (Kommastellen abgeschnitten) console.log(Math.floor(-298.99785)) // => -299 (nächstkleinere Ganzzahl) console.log(Math.trunc(-298.99785)) // => -298 (Kommastellen abgeschnitten) ==== Frac Funktion ==== {{ :frac_funktion.png |Frac-Funktion}} Die ''frac''-Funktion gibt nur den **Nachkommawert** einer Zahl wieder. Die Vorkommastellen werden **abgeschnitten**. $$\mathrm{frac}(x) = \{x\} = x - \mathrm{trunc}(x)\tag{8}$$ **Beispiele:** \\ $\mathrm{frac}(1.2345) = 0.2345$ \\ $\mathrm{frac}(-1.2345) = -0.2345$ {{anchor:redundrund}} ===== Reduktions- und Rundungsfunktion ===== ==== Reduktionsfunktion ==== Mit Hilfe der Reduktionsfunktion kann ein Wert $x$ auf ein Intervall zwischen 0 und $y$, $-y$ und 0 oder auch auf ein Wert zwischen $-y$ und $+y$ reduziert werden. Das ist wichtig, wenn man mit Werten von $\gt 360^{\circ}$, $\gt 24^h$ oder $\lt 0^{\circ}$, bzw. $\lt 0^h$ zu tun hat. Es gilt: $$\mathrm{red}_1 = x - \lfloor \frac{x}{y} \rfloor\cdot y \qquad\forall x \geq 0\tag{9}$$ $$\mathrm{red}_1 = x - \lceil \frac{x}{y} \rceil\cdot y \qquad\forall x \leq 0\tag{10}$$ Diese beiden Gleichungen reduzieren den Wert $x$ auf ein Intervall [0,$y$] (oben) und [$-y$,0] (unten). Die nachfolgende Gleichung reduziert auf ein Intervall von [$-y$,$\,y$]. $$\mathrm{red_2}(x) = x - \mathrm{trunc}\left(\frac{x}{y}\right)\cdot y\tag{11}$$ ==== Beispielcode für JavaScript ==== function red(deg) { return (deg % 360 + 360) % 360; } Die Funktion übernimmt eine dezimale Winkelgröße ''deg'' und ermittelt mithilfe der Modulo-Funktion ''%'' das Intervall von [0°-360°]. Durch die 2-malige Verwendung der Modulo-Funktion ist der obige Ausdruck auch für negative Zahlen gültig. ==== Rundungsfunktion ==== Die Rundungsfunktion spielt im Zusammenhang mit der Genauigkeit eine Rolle. $$\mathrm{round}(x,y) = \lfloor 10^y x + 0.5 \rfloor 10^{-y} \qquad\forall x\geq 0\tag{12}$$ $$\mathrm{round}(x,y) = \lceil 10^y x + 0.5 \rceil 10^{-y} \qquad\forall x\leq 0\tag{13}$$ Diese Funktion rundet den Wert $x$ auf $y$ Stellen hinter dem Komma. Es handelt sich um die sogenannte //kaufmännische Rundung//. ==== Sexagesimalsystem ==== Das Sexagesimalsystem ist eine formatierte Ausgabe, basierend auf dem $\tfrac{1}{60}$ Teil der Zahl $W$. Die Konvertierung vom Dezimalsystem zum Sexagesimalsystem ist folgender: Man startet mit W in Umdrehungen oder Tagen. Liegt $W$ jedoch in Grad oder Stunden vor, so ist der Wert vorab entsprechend durch 360$^{\circ}$ bzw. 24$^h$ zu teilen. Ggf. überspringt man $a$ und macht mit $b$ weiter. {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="400px,400px"&float=center}} ^ Tabelle 2 || ^ $W$ als Winkelwert ^ $W$ als Zeitwert ^ | $a = \mathrm{trunc}(|W|)$ | $a = \mathrm{trunc}(|W|)$ | | $b = \mathrm{trunc}(360^{\circ}\cdot \mathrm{frac}(|W|))$ | $b = \mathrm{trunc}(24^h\cdot \mathrm{frac}(|W|)) $ | | $c = \mathrm{trunc}(60'\cdot \mathrm{frac}(360^{\circ}\cdot \mathrm{frac}(|W|)))$ | $c = \mathrm{trunc}(60^m\cdot \mathrm{frac}(24^h\cdot \mathrm{frac}(|W|)))$ | | $d = 60''\cdot \mathrm{frac}(60'\cdot \mathrm{frac}(360^{\circ}\cdot \mathrm{frac}(|W|)))$ | $d = 60^s\cdot \mathrm{frac}(60^m\cdot \mathrm{frac}(24^h\cdot \mathrm{frac}(|W|)))$ | Mit $V = \mathrm{sgn}(W)$ lautet die Ausgabe $Va^r b^{\circ} c' d''$ bzw. $Va^d b^h c^m d^s$, wobei $a^r$ die Anzahl der Umdrehungen oder Umläufe ist. Dabei wird $a$ eher selten praktisch verwendet. ===== Trigonometrische Funktionen ===== Diese Funktionen berechnen den Winkel innerhalb einer geometrischen Abbildung, z.B. einem rechtwinkeligen Dreieck. {{ :rechtwinkeliges_dreieck.png |Rechtwinkeliges Dreieck}}Adds an ImageCaption tag $c =$ Hypotenuse (immer dem rechten Winkel gegenüber liegend)\\ $a,b =$ Katheten\\ $a =$ Gegenkathete von $\alpha =$ Ankathete von $\beta$\\ $b =$ Gegenkathete von $\beta =$ Ankathete von $\alpha$ ==== Sinus und Arcussinus ==== $$\sin (\alpha) = \frac{a}{c},\quad \sin (\beta) = \frac{b}{c}\tag{14}$$ Umkehrfunktion: $$\arcsin \left(\frac{a}{c}\right) = \alpha ,\quad \arcsin \left(\frac{b}{c}\right) = \beta\tag{15}$$ $\arcsin (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{asn}(\dots)$ abgekürzt. ==== Cosinus und Arcuscosinus ==== $$\cos (\alpha) = \frac{a}{c},\quad \cos (\beta) = \frac{b}{c}\tag{16}$$ Umkehrfunktion: $$\arccos \left( \frac{a}{c} \right) = \alpha ,\quad \arccos \left( \frac{b}{c} \right) = \beta\tag{17}$$ $\arccos (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{acs} (\dots)$ abgekürzt. ==== Tangens und Arcustangens ==== $$\tan (\alpha) = \frac{a}{b}, \quad \tan (\beta) = \frac{b}{a}\tag{18}$$ Umkehrfunktion: $$\arctan \left(\frac{a}{b}\right) = \alpha ,\quad \arctan \left(\frac{b}{a}\right) = \beta\tag{19}$$ $\arctan (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{atn} (\dots)$ abgekürzt. In den gängigen Programmiersprachen werden die Argumente von trigonometrischen Funktionen ''sin'', ''cos'', ''tan'' immer in **Radiant** (Bogenmaß) verlangt. Viele Algorithmen auf diesen Seiten verwenden Winkelangaben in **Grad**. Man sollte daher nicht vergessen, diese Gradwerte mittels Multiplikation mit $\tfrac{\pi}{180}$ [[:mathematische_grundlagen#bogenmass|in Radiant umzurechnen]]! ==== Wichtige Werte und Zusammenhänge ==== Es ist $$ \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}\tag{20}$$ und der "trigonometrische Pythagoras" lautet $$\sin^2 (x) + \cos^2 (x) = 1\tag{21}$$ {{ :einheitskreis.png?800 |}} Folgende Werte für die Winkelfuntionen werden häufig benötigt: {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="130px,100px,100px,100px"&float=center}} ^ Tabelle 3 |||| ^ Winkel ^ $\sin$ ^ $\cos$ ^ $\tan$ ^ | $0^{\circ}\;\hat{=}\;0^{\textrm{rad}}$ | $0$ | $1$ | $0$ | | $30^{\circ}\;\hat{=}\;\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | | $45^{\circ}\;\hat{=}\;\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | | $60^{\circ}\;\hat{=}\;\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ | | $90^{\circ}\;\hat{=}\;\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | nicht def. | {{anchor:trig_ident}} Die wichtigsten Identitäten zwischen den trigonometrischen Funktionen sind folgende: {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="150px,180px,180px,180px"&float=center}} ^ Tabelle 4 |||| ^ Funktion ^ ausgedrückt durch ^^^ | | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ | | $\sin(x)$ | $\sin(x)$ | $\pm\sqrt{1-\cos^2(x)}$ | $\pm\frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}}$ | | $\cos(x)$ | $\pm\sqrt{1-\sin^2(x)}$ | $\cos(x)$ | $\pm\frac{1}{\sqrt{1 +\tan^2(x)}}$ | | $\tan(x)$ | $\pm\frac{\sin(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}}$ | $\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}{\cos(x)}$ | $\tan(x)$ | ==== Umkehrfunktionen - Der richtige Quadrant ==== Dem Abschnitt über die [[der richtige quadrant|quadrantentreue Darstellung]] hat eine eigene Seite bekommen, weil es es an dieser Stelle immer wieder zu Rechenfehlern kommt. ===== Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen ebenen Dreieck ===== In **Abb.9** sind $a$, $b$ und $c$ die Seiten eines ebenen Dreiecks, $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ die jeweils gegenüberliegenden Winkel und $r_{U}$ der Radius des Umkreises. {{ ::allgemeins_dreieck.png |Allgemeines ebenes Dreieck}} ==== Sinussatz ==== $$ \frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c} = \frac{1}{2\cdot r_{U}}\tag{22}$$ ==== Cosinussatz ==== \[\begin{align} a^2 &= b^2 + c^2 - 2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha)\\ \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2\cdot a\cdot c\cdot \cos(\beta)\tag{23}\\ \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\gamma) \end{align}\] ===== Hyperpolische trigonometrische Funktionen ===== Zur Darstellung der hyperbolischen Bahnen werden Hyperbelfunktionen benötigt. Sie basieren wie die Sinus- und Cosinusfunktionen auf der [[:wichtige_konstanten#mathematische_konstanten|Eulerzahl]] $\mathrm{e}$ aus der Exponentialfunktion. Auch deren Umkehrfunktionen Areasinus oder Areacosinus werden hier wiedergegeben. {{ :hyperbolische_funktionen.png?800 |Graphen des hyperbolischen Sinus, Cosinus und Tangens}} ==== Definition ==== Wie bei den normalen trigonometrischen Funktionen können die Hyperbelfunktionen mit einer Taylorreihe approximiert werden: \[\begin{align} \mathrm{e}^{\pm x} &= \sum_{n=0}^{N}\frac{(\pm x)^{k}}{k!}\tag{24}\\ &= \frac{x^0}{0!} \pm \frac{x^1}{1!} \pm \frac{x^2}{2!} \pm \frac{x^3}{3!} \pm \frac{x^4}{4!} \pm \dots\\ &= 1 \pm x \pm \frac{x^2}{2} \pm \frac{x^3}{6} \pm \frac{x^4}{24} \pm \dots \end{align}\] === Hyperbelsinus === \[\begin{align} \sinh(x) &= \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{2}\tag{25}\\ &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \dots \end{align}\] === Hyperbelcosinus === \[\begin{align} \cosh(x) &= \frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}\tag{26}\\ &= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6!} + \dots \end{align}\] === Hyperbeltangens === \[\begin{align} \tanh(x) &= \frac{\sinh (x)}{\cosh(x)} = \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}\\ &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \frac{17 x^7}{315} + \dots\tag{27} \end{align}\] ==== Umkehrfunktionen ==== Die Umkehrfunktionen werden als Areasinus, Areacosinus und Areatangens bezeichnet. Sie sind mittles dem natürlichen Logarithmus wie folgt darstellbar: \[\begin{align} \operatorname{arsinh}(x) &= \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\\ \operatorname{arcosh}(x) &= \ln(x - \sqrt{x^2 - 1})\quad x\ge 1\tag{28}\\ \operatorname{artanh}(x) &= \frac{1}{2}\cdot \ln(\frac{1+x}{1-x})\quad \forall x\ne 1 \end{align}\] ==== Zusammenhänge zwischen den Hyperbelfunktionen ==== Aus den Reihenentwicklungen der Hyperbelfunktionen ergeben sich folgende Gleichungen. Die erste Gleichung wird auch als Eulersche Identität bezeichnet. {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="300px,300px"&float=center}} | $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ | $\cosh(x) \pm \sin(x) =\mathrm{e}^{\pm x}$ | | $\cosh \big(\operatorname{arsinh}(x)\big) = \sqrt{x^2 + 1}$ | $\sinh\big(\operatorname{arcosh}(x)\big) = \sqrt{x^2 - 1}$ | | $\cosh(\mathrm{i}\cdot x) = \cos(x)$ | $\sinh(\mathrm{i}\cdot x) = \sin(x)$ | ===== Exponentialfunktion ===== Die e-Funktion oder auch natürliche Exponentialfunktion beruht auf der [[wichtige_konstanten|eulerschen Zahl]]. {{ :exp_x.png |}} \[\begin{align} \exp(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\tag{29}\\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots\\ \end{align}\] \[\begin{align} \exp(-x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot x^{n}}{n!}\\ &= 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\tag{30}\\ &= 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} - \dots\\ \end{align}\] ===== Logarithmus ===== Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur oben genannten Exponetialfunktion. {{ :ln_log_x.png |}} \[\begin{align} \ln (x) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cdot (x-1)^n}{n}\\ &= (x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}\tag{31}\\ &-\frac{(x-1)^4}{4} + \dots \quad \forall x\gt 0 \end{align}\] \[\begin{align} \log_{10} (x)&= \frac{1}{\ln(10)}\cdot \ln (x)\tag{32}\\ &= \frac{1}{\ln(10)}\cdot\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cdot (x-1)^n}{n} \quad \forall x\gt 0 \end{align}\] ==== Logarithmus Rechenregeln ==== Es gilt für jeden Logarithmus zu einer beliebigen Basis $b$: $$\log_b(x\cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\tag{33}$$ $$\log_b(\frac{x}{y}) = \log_b(x) - \log_b(y)\tag{34}$$ $$\log_b(x^y) = y\cdot \log_b(x)\tag{35}$$ ==== Basisumrechnung ==== Die Basis des Logarithmus kann gewechselt werden, indem man durch den Logarithmus der alten Basis teilt: $$\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}\tag{36}$$ Insbesondere gilt für den Wechsel zum natürlichen Logarithmus: $$\ln(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(\textrm{e})}\tag{37}$$ ===== Sphärische Trigonometrie ===== Die sphärische Trigonometrie wird unter anderem in der Transformation der Koordinaten gebraucht. Die geometrische Definition der Großkreise ist die Schnittlinie zwischen einer Kugel und einer Ebene, die durch den Mittelpunkt $M$ der Kugel verläuft. {{ :nautisches_dreieck.png?600 |Das sphärische Dreieck}} Verbindet man drei Punkte auf einer Kugeloberfläche durch Großkreisestücke, so erhält man ein sphärisches Dreieck wie in **Abb.13** dargestellt. Es wird beschrieben durch die **Winkel** $a$, $b$ und $c$, unter denen die Eckpunkte vom Kugelmittelpunkt $M$ aus erscheinen (kurz Seiten genannt) und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, unter denen sich diese Großkreisestücke in den Eckpunkten schneiden. ==== Der Cosinussatz im sphärischen Dreieck ==== Der Seiten-Cosinussatz lautet: \[\begin{align} \cos(a) &= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b)\cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha) \\ \cos(b) &= \cos(c)\cdot \cos(a) + \sin(c)\cdot \sin(a)\cdot \cos(\beta)\\ \cos(c) &= \cos(a)\cdot \cos(b) + \sin(a)\cdot \sin(b)\cdot \cos(\gamma) \end{align}\tag{38}\] Der Winkel-Cosinussatz lautet: \[\begin{align} \cos(\alpha) &= \sin(\beta)\cdot \sin(\gamma)\cdot \cos(a) - \cos(\beta)\cdot \cos(\gamma)\\ \cos(\beta) &= \sin(\gamma)\cdot \sin(\alpha)\cdot \cos(b) - \cos(\gamma)\cdot \cos(\alpha)\\ \cos(\gamma) &= \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\cdot \cos(c) - \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \end{align}\tag{39}\] ==== Der Sinussatz im sphärischen Dreieck ==== Der Sinussatz lautet: $$\frac{\sin(a)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(b)}{\sin(\beta)} = \frac{\sin(c)}{\sin(\gamma)}\tag{40}$$ ==== Der Sinus-Cosinus Satz im sphärischen Dreieck ==== Die Seiten-Winkel Gleichungen: \[\begin{align} \sin(a)\cdot \cos(\beta) &= \cos(b)\cdot \sin(c) - \sin(b)\cdot \cos(c)\cdot \cos(\alpha)\\ \sin(b)\cdot \cos(\gamma) &= \cos(c)\cdot \sin(a) - \sin(c)\cdot \cos(a)\cdot \cos(\beta)\\ \sin(c)\cdot \cos(\alpha) &= \cos(a)\cdot \sin(b) - \sin(a)\cdot \cos(b)\cdot \cos(\gamma) \end{align}\tag{41}\] Winkel-Seiten Gleichungen: \[\begin{align} \sin(\alpha)\cdot \cos(b) &= \cos(\beta)\cdot \sin(\gamma) + \sin(\beta)\cdot \cos(\gamma)\cdot \cos(a)\\ \sin(\beta)\cdot \cos(c) &= \cos(\gamma)\cdot \sin(\alpha) + \sin(\gamma)\cdot \cos(\alpha)\cdot \cos(b)\\ \sin(\gamma)\cdot \cos(a) &= \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) + \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(c) \end{align}\tag{42}\] ===== karthesisch ↔ sphärisch ===== Die Umrechnung zwischen karthesisch und sphärisch ist wichtig bei den Koordinatentransformationen. {{ :koordinaten_kartesisch_sphaerisch.png |Karthesische und sphärische Koordinaten}} ==== sphärisch → karthesisch ==== Die Umwandlung in die karthesischen Koordinaten ist einfach. Sei $\alpha$ die Länge in der $x,y$-Ebene und $\beta$ die Breite über- oder unterhalb dieser Ebene. $r$ ist der Abstand des Objekts vom Ursprung. \[\begin{align} x &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(\alpha)\\ y &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \sin(\alpha)\\ z &= r\cdot \sin(\beta)\end{align}\tag{43}\] ==== karthesisch → sphärisch ==== Die Umrechnung von karthesisch zu sphärisch ist komplexer, weil die quadrantenrichtige Darstellung berücksichtigt werden muss. Zunächst wird die Breite $\beta$ bestimmt mit $$\beta = \arcsin\left(\frac{z}{r}\right) \quad \text{mit} \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\tag{44}$$ dann erfolgt die Berechnung der Länge $\alpha$ mit Hilfe von $\varphi$. Es seien $C$ bzw. $S$ $$C=\frac{x}{r\cdot \cos(\beta)}\tag{45}$$ $$S=\frac{y}{r\cdot \cos(\beta)}\tag{46}$$ $$\varphi = \arcsin(S) \quad \text{falls} \quad |S| < 1$$ $$\varphi = \arccos(C) \quad \text{falls} \quad |S| > 1$$ Jetzt erfolgt die quadrantenrichtige Korrektur: \[\alpha =\begin{cases} 360^{\circ} - \varphi \\ 180^{\circ} - \varphi \end{cases} \quad \textsf{falls} \quad \begin{matrix} C \gt 0 \;\textsf{und}\;S \lt 0 \\ C \lt 0 \end{matrix}\tag{47}\] Sonst gilt: $$\alpha = \varphi$$ ==== Additionstheoreme ==== Um zwei Winkel $\alpha$ und $\beta$ zu addieren oder zu subtrahieren werden die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen benötigt. $$\sin(\alpha\pm\beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)\tag{48}$$ $$\cos(\alpha\pm\beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\tag{49}$$ $$\tan (\alpha\pm \beta) = \frac{\tan(\alpha)\pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}\tag{50}$$ Gilt $\alpha$ = $\beta$ = $\varphi$, so wird zum nachfolgenden Ausdruck abgekürzt: $$\sin(2\cdot\varphi) = 2\cdot \sin(\varphi)\cdot \cos(\varphi)\tag{51}$$ $$\cos(2\cdot\varphi) = \cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi)\tag{52}$$ $$\tan(2\cdot\varphi) = \frac{2\cdot\tan \varphi}{1 - \tan^2(\varphi)}\tag{53}$$ ===== Interpolation ===== Die Interpolation hat aufgrund ihres Umfangs eine [[:interpolation|eigene Seite erhalten]]. ===== Iteration ===== Auch die Iteration (also das Prinzip des rekursiven Einsetzens unter Einhaltung der Konvergenz) wird in einer [[:iteration|eigenen Seite dokumentiert]].