====== Koordinatentransformation ====== ===== Bahnebene ===== Der Bezug ist der Schnittpunkt Ekliptik/Bahnebene. Vorher war es mit der wahren Anomalie $\nu$ das Perihel. Man bewegt sich in der Bahnebene des Himmelsobjekts. Es gilt: $$\begin{align} x &= r \cdot \cos(u) \\ y &= r \cdot \sin(u) \\ z &= 0\end{align}\tag{1}$$ $u$ ist das Argument der Breite mit $u = \nu + \omega $. aus dem Abschnitt über die [[kegelschnitte#argument_u|Kegelschnitte]]. $i$ = Inklination, Bahnneigung der Bahnebene zur Ekliptik \\ $\Omega$ = Knotenlänge, Länge des Schnittpunkts Bahnebene/Ekliptik vom Frühlingspunkt {{:fruehlingspunkt.png?nolink&20|}} gemessen. Der Winkel liegt in der Ekliptik. \\ $\omega$ = Länge vom aufsteigenden Knoten zum Perihel, dieser Winkel liegt in der Bahnebene. \\ $\varpi = \Omega + \omega$ = Perihellänge, gemessen vom Frühlingspunkt {{:fruehlingspunkt.png?nolink&20|}} zum Perihel. Der Winkel liegt in **zwei verschiedenen Ebenen** und ist deshalb ein unechter oder gebrochener Winkel. \\ Zu den genannten Winkeln siehe [[bahnelemente#bahnelemente|Bahnelemente]]. ===== Heliozentrische Koordinaten ===== Die Bahnebene wird über die Inklination $i$ in die Ekliptik gekippt und dann um die Knotenlänge $\Omega$ zum Frühlingspunkt {{fruehlingspunkt.png?nolink&20|}} gedreht. Das ist der neue Bezugspunkt im System. {{ ::heliozentrische_ekliptikale_koordinaten.png |Heliozentrische ekliptikale Koordinaten}} \[\begin{align} \cos(l)\cdot\cos(b) &=\, x = \cos(u)\cdot\cos(\Omega) - \sin(u)\cdot\cos(i)\cdot\sin(\Omega) \\ \sin(l)\cdot\cos(b) &=\, y = \cos(u)\cdot\sin(\Omega) + \sin(u)\cdot\cos(i)\cdot\cos(\Omega) \\ \sin(b) &=\, z = \sin(u)\cdot\sin(i) \end{align}\tag{2}\] Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#karthesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]]. Man erhält die heliozentrisch ekliptikalen Koordinaten $l$ (Länge) und $b$ (Breite). ===== Geozentrische Koordinaten ===== ==== ekliptikal ==== An dieser Stelle wird die Sichtlinie von der Sonne aus zur Erde verschoben. Man bleibt in der Ekliptik. $L$, $B$ und $R$ sind die heliozentrisch ekliptikalen Koordinaten der Erde. Der Frühlingspunkt {{fruehlingspunkt.png?nolink&20|}} bleibt Bezugspunkt. {{ :geozentrische_ekliptikale_koordinaten.png |Geozentrische ekliptikale Koordinaten}} \[\begin{align} \Delta\cdot\cos(\lambda)\cdot\cos(\beta) &=\, x = r\cdot\cos(l)\cdot\cos(b) - R\cdot\cos(L)\cdot\cos(B) \\ \Delta\cdot\sin(\lambda)\cdot\cos(\beta) &=\, y = r\cdot\sin(l)\cdot\cos(b) - R\cdot\sin(L)\cdot\cos(B) \\ \Delta\cdot\sin(\beta) &=\, z = r\cdot\sin(b) - R\cdot\sin(B) \end{align}\tag{3}\] Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#karthesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]]. Man erhält die geozentrisch ekliptikalen Koordinaten $\lambda$ (Länge), $\beta$ (Breite) und die geozentrische Distanz $\Delta$ des Himmelsobjekts zur Erde. ==== äquatorial ==== Mit dem äquatorialen Koordinaten wechselt man in ein rotierendes System. Dazu muss die Ekliptikschiefe $\varepsilon$ eingeführt werden, denn um die wird die Eklipitikebene in das äquatoriale System gekippt. Der Frühlingspunkt {{:fruehlingspunkt.png?nolink&20|}} bleibt Bezugspunkt. Für die Epoche $J2000$ gilt: $\varepsilon = 23^\circ 26'21\overset{''}{.}448 = 23\overset{\circ}{.}43929111$. Mehr dazu [[:koordinatentransformation#mittlere_schiefe_der_ekliptik|hier]]. {{ :geozentrische_aequatoriale_koordinaten.png |Geozentrische äquatoriale Koordinaten}} \[\begin{align} \cos(\delta)\cdot \cos (\alpha) &=\, x = \cos(\beta)\cdot\cos(\lambda) \\ \cos(\delta)\cdot\sin(\alpha) &=\, y = \cos(\beta)\cdot\sin(\lambda)\cdot\cos(\varepsilon) - \sin(\beta)\cdot\sin(\varepsilon) \\ \sin(\delta) &=\, z = \cos(\beta)\cdot\sin(\lambda)\cdot\sin(\varepsilon) + \sin(\beta)\cdot\cos(\varepsilon) \end{align}\tag{4}\] Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#karthesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]]. Man erhält die geozentrisch äquatorialen Koordinaten $\alpha$ (Länge, Rektaszension) und $\delta$ (Breite, Deklination) des Himmelsobjekts zur Erde. Für die parktische Berechnung der Rektaszension $\alpha$ kann man die 2. Gleichung durch die 1. Gleichung dividieren und erhält dann \(\begin{align} \frac{\cos(\delta)\cdot\sin(\alpha)}{\cos(\delta)\cdot\cos(\alpha)} &= \frac{\cos(\beta)\cdot\sin(\lambda)\cdot\cos(\varepsilon) - \sin(\beta)\cdot\sin(\varepsilon)}{\cos(\beta)\cdot \cos(\lambda)}\\ \tan(\alpha) &= \frac{\sin(\lambda)\cdot\cos(\varepsilon) - \tan(\beta)\cdot\sin(\varepsilon)}{\cos(\lambda)} \end{align}\tag{5}\) Bei der Berechnung von $\alpha$ kann dann die ''arctan2''-Funktion verwendet werden, um $\alpha$ im [[:der_richtige_quadrant|korrekten Quadranten]] zu erhalten. Die Rektaszension wird in Stunden (z.B. $17^h\;58^m\;33\overset{s}{.}423$) angegeben. $\alpha$ muss anschließend für die Ausgabe durch $15\frac{\circ}{h}$ geteilt werden. Für die Berechnung verbleibt $\alpha$ in Grad. ==== topozentrisch ==== Hier wird wieder die Sichtlinie von dem Erdmittelpunkt an die Erdoberfläche verschoben. Der geozentrische Abstand $\rho$ berücksichtigt die Abplattung des Erdkörpers. {{ :parallaxe_topozentrisch.png |Topozentrische Koordinaten}} \[\begin{align} \Delta'\cdot\cos(\alpha')\cdot\cos(\delta') &= x = \Delta\cdot\cos(\alpha)\cdot\cos(\delta) - \rho\cdot\cos(\theta)\cdot\cos(\beta_0) \\ \Delta'\cdot\sin(\alpha')\cdot\cos(\delta') &= y = \Delta\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos(\delta) - \rho\cdot\sin(\theta)\cdot\cos(\beta_0) \\ \Delta'\cdot\sin(\delta') &= z = \Delta\cdot\sin(\delta) - \rho\cdot\sin(\beta_0) \end{align}\tag{6}\] Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#karthesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]]. Man erhält die topozentrische äquatoriale Länge $\alpha'$ und Breite $\delta'$, sowie die topozentrische Distanz $\Delta'$ des Himmelsobjekts zum Beobachter. ===== Horizontale/Azimutale Koordinaten ===== In diesem Abschnitt wechselt man endgültig ist das bürgerliche System, das man als Beobachter kennt. {{ :horizontsystem_winkel.png |Topozentrische Horizontalkoordinaten}} \[\begin{align} \cos(h)\cdot\cos(A) &= x =\cos(\delta')\cdot\cos(\theta - \alpha')\cdot\sin(\beta_0) - \sin(\delta')\cdot\cos(\beta_0) \\ \cos(h)\cdot\sin(A) &= y = \cos(\delta')\cdot\sin(\theta - \alpha') \\ \sin(h) &= z = \cos(\delta')\cdot\cos(\theta - \alpha')\cdot\cos(\beta_0) + \sin(\delta')\cdot\sin(\beta_0) \end{align}\tag{7}\] Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#karthesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]]. Man erhält die azimutalen oder horizontalen Koordinaten $A$ (Azimut) und $h$ (Höhe). {{anchor:azimut}} **Von welchem Punkt an wird der Azimut gerechnet?** William Chauvenet schrieb in seinem //Manual of Spherical and Practical Astronomy//: "Der Ursprung, von dem aus Azimute berechnet werden, ist willkürlich; ebenso ist die Richtung, in der sie berechnet werden; aber Astronomen nehmen normalerweise den Südpunkt des Horizonts als Ursprung an, [...] Navigatoren rechnen jedoch normalerweise mit dem Azimut vom Nord- oder Südpunkt, je nachdem, ob sie sich auf nördlicher oder südlicher Breite befinden. Simon Newcomb schrieb in seinem //Kompendium der sphärischen Astronomie//: "In der Praxis wird der Azimut entweder vom Nord- oder vom Südpunkt aus und in beide Richtungen, Ost oder West, gemessen." – dieser große kanadische Astronom hatte also keine bestimmte Präferenz. Es wird darauf hingewiesen, dass **auf diesen Seiten** der Azimut vom Südpunkt des Meridians in Richtung West gerechnet wird. In den verschiedenen Astronomie-Programmen ist es nicht immer einheitlich, von welchem Punkt an der Azimut gerechnet wird. Meistens gibt es eine Einstellmöglichkeit, mit der man den Ausgangspunkt festlegen kann. ===== Baryzentrum ===== Das Baryzentrum ist nichts anderes als der Schwerpunkt eines Systems. Dieser fällt in der Regel nicht mit dem Massenmittelpunkt zusammen. Dies ist für das Erde - Mond System, das Pluto - Charon System und dem Sonnensystem selbst wichtig. Tatsächlich rotiert man um den Schwerpunkt, nicht um den Mittelpunkt. {{ :baryzentrum.png?800 |Baryzentrum Erde/Mond und Pluto/Charon}} \[\begin{align} r_B \cdot \cos(b_B) \cdot \cos(l_B) &= x = r \cdot \cos(b) \cdot \cos(l) - G \cdot \cos(B) \cdot \cos(L) \\ r_B \cdot \cos(b_B) \cdot \sin(l_B) &= y = r \cdot \cos(b) \cdot \sin(l) - G \cdot \cos(B) \cdot \sin(L) \\ r_B \cdot \sin(b_B) &= z = r \cdot \sin(b) - G \cdot \sin(B) \end{align}\tag{8}\] ===== Mittlere Schiefe der Ekliptik ===== Nach Jacques Laskar erhält man die mittlere Schiefe der Ekliptik $\varepsilon_{0}$ über einen Zeitraum von $J2000 \pm 10000$ Jahren mit dem folgenden Polynom. Dabei ist der Parameter $u = \frac{T}{100}$ oder $$u = \frac{JD - 2451545.0}{3652500}\tag{9}$$ \[\begin{align} \varepsilon_{0} =&+ 84381\overset{''}{.}448 - 4680\overset{''}{.}93\cdot u\\ &- 1\overset{''}{.}55\cdot u^2 + 1999\overset{''}{.}25\cdot u^3\\ &- 51\overset{''}{.}38\cdot u^4 - 249\overset{''}{.}67\cdot u^5\\ &- 39\overset{''}{.}05\cdot u^6 + 7\overset{''}{.}12\cdot u^7\\ &+ 27\overset{''}{.}87\cdot u^8 + 5\overset{''}{.}79\cdot u^9\\ &+ 2\overset{''}{.}45\cdot u^{10} \end{align}\tag{10}\] Man beachte hier die Angabe von $\varepsilon_{0}$ in Bogensekunden, man muss noch durch $3600$ teilen, um Grad zu erhalten. Die Genauigkeit dieses Ausdrucks wird vom Autor mit $0\overset{''}{.}01$ für $J2000 \pm 1000$ Jahren (d. h. zwischen 1000 und 3000 n.Chr.) und auf einige Bogensekunden nach $J2000 \pm 10000$ Jahren angegeben. {{ :laskar_epsilon0.png |}} Die **Abb.7** zeigt die Variation von $\varepsilon_0$ von 10.000 Jahren zu beiden Seiten des Jahres 2000 n.Chr. Nach Laskars Formel war die Neigung der Erdachse im Laufe des Jahres $-7530$ maximal ($24^{\circ}14'0''$), um etwa $+12030$ wird ein Minimum ($22^{\circ}36'4''$) erreicht. Durch reinen Zufall befinden wir uns derzeit etwa auf halbem Weg zwischen diesen Extremwerten, etwa in der Mitte der Kurve in der Abbildung. Hier ist der Graph nahezu linear; aus diesem Grund ist in der Formel der Koeffizient von $u^2$ sehr klein. ===== Legende ===== $l,b,r$ = heliozentrisch - ekliptikale Koordinaten des Planeten \\ $l_B,b_B,r_B$ = baryzentrisch - ekliptikale Koordinaten des Planeten \\ $L,B,R$ = heliozentrisch - ekliptikale Koordinaten des Baryzentrums oder der Sonne \\ $\tau$ = Stundenwinkel des Objekts = Winkel seit dem Meridiandurchgang \\ $\theta$ = lokale Sternzeit des Beobachter in Grad, siehe Abschnitt [[zeiteingabe#sternzeit|Sternzeit]]. Es gilt: $\tau = \theta - \alpha'$ \\ $\alpha,\delta$ = geozentrische äquatoriale Koordinaten des Himmelsobjekts \\ $\alpha',\delta',r'$ = topozentrische äquatoriale Koordinaten des Himmelsobjekts \\ $\lambda_0,\beta_0$ = geographische Länge und Breite \\ $R_E$ = Erdradius, siehe das Kapitel über die [[wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|Wichtige Konstanten]]. \\ $\rho$ = geozentrischer Abstand des Beobachters ($\neq R_E$) \\ $\Delta$ = geozentrischer Abstand des Planeten \\ $M$ = Erdmittelpunkt \\ $\varepsilon,\varepsilon_0$ = Schiefe der Ekliptik