====== Konstellationen des Erdmondes ======
Die gesamte Darstellung der Konstellationen des Mondes beruhen auf der Mondtheorie von J. Meeus. Eine ähnliche Illustration der Reihenentwicklungen basierend auf der Brownschen Mondtheorie existiert nicht, was auch nicht sinnvoll ist. Mit den beiden Theorien kommt man auf die gleichen und genauen Ergebnisse. J. Meeus äußert sich in seinen Büchern jedoch nicht darüber, wie er denn auf diese Reihenentwicklungen gekommen ist.
===== Perigäum und Apogäum =====
Hier wird eine Methode vorgestellt, die mit genäherten Zeiten den minimalen Mondabstand (Perigäum) und den maximalen Mondabstand
(Apogäum) zur Erde berechnet.
Mit der [[:datumseingabe#jahr_in_dezimaler_darstellung|dezimalen Jahreszahl]] $J$ sind $k$ und $T$:
$$k = 13\overset{\circ}{.}2555241 \cdot (J - 1999.975342465)\tag{1}$$
$$T = \frac{k}{1325.55241}\tag{2}$$
Das //mittlere// Perigäum bzw. Apogäum in julianischen Tagen erhält man zunächst mittels
\[\begin{align}
JDE_{\pi} =&\; 2451534\overset{d}{.}6698 \\
&+ 27.55454989 \cdot k \\
&- 6\overset{d}{.}691 \cdot 10^{-4} \cdot T^2 \\
&- 1\overset{d}{.}098 \cdot 10^{-6} \cdot T^3 \\
&+ 5\overset{d}{.}2 \cdot 10^{-9} \cdot T^4
\end{align}\tag{3}\]
$k$ ist eine **Ganzzahl** (Integer) für das Perigäum, sowie ein Integer vermehrt um $0.5$ für das Apogäum. Andere $k$-Werte liefern sinnlose Werte! Jetzt werden die modifizierten Bahnelemente gebraucht:
{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="300px,250px"&float=center}}
^ Tabelle 1 ||
^ Größe ^ Wert ^
| Die Anomalie der Sonne: | \(\begin{align} M =&\; 347\overset{\circ}{.}3477 \\ &+ 27.1577721 \cdot k \\ &- 8\overset{\circ}{.}13 \cdot 10^{-4} \cdot T^2 \\ &- 1\overset{\circ}{.}0 \cdot 10^{-6} \cdot T^3 \end{align}\) |
| Die Elongation des Mondes: | \(\begin{align} D =&\; 171\overset{\circ}{.}9179 \\ &+ 335.9106046 \cdot k \\ &- 0\overset{\circ}{.}0100383 \cdot T^2 \\ &- 1\overset{\circ}{.}156 \cdot 10^{-5} \cdot T^3 \\ &+ 5\overset{\circ}{.}5 \cdot 10^{-8} \cdot T^4 \end{align}\) |
| Das Argument der Breite des Mondes: | \(\begin{align} F =&\; 316\overset{\circ}{.}6109 \\ &+ 364.5287911 \cdot k \\ &- 0\overset{\circ}{.}0125053 \cdot T^2 \\ &- 1\overset{\circ}{.}48 \cdot 10^{-5} \cdot T^3 \end{align}\) |
==== Tabelle der Korrekturterme für Perigäum und Apogäum ====
{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="50px,150px,150px,150px,150px"&float=center}}
^ Tabelle 2 ||||||||
^ **i** ^ $JD_p[^d]$ ^ $JD_a[^d]$ ^ $\Delta\Pi_p['']$ ^ $\Delta\Pi_a['']$ ^ $a_i$ ^ $b_i$ ^ $c_i$ ^
| 1 | $-1.6769$ | $+0.4392$ | $+63.224$ | $-9.147$ | $+2$ | $+0$ | $+0$ |
| 2 | $+0.4589$ | $+0.0684$ | $-6.990$ | $+0.355$ | $+4$ | $+0$ | $+0$ |
| 3 | $-0.1856$ | $+0.0144$ | $+1.927$ | $+0.052$ | $+6$ | $+0$ | $+0$ |
| 4 | $+0.0883$ | $+0.0035$ | $-0.702$ | $+0.010$ | $+8$ | $+0$ | $+0$ |
| 5 | $-0.0773$ | $+0.0426$ | $+2.834$ | $+0.159$ | $+2$ | $+0$ | $-1$ |
| | $+0.00019\cdot T$ | $-0.00011\cdot T$ | $-0.0071\cdot T$ | $+0.000\cdot T$ | | | |
| 6 | $+0.0502$ | $+0.0456$ | $+0.696$ | $-0.656$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ |
| | $-0.00013\cdot T$ | $-0.00011\cdot T$ | $-0.0017\cdot T$ | $+0.0016\cdot T$ | | | |
| 7 | $-0.046$ | $+0.0009$ | $+0.297$ | $+0.000$ | $+10$ | $+0$ | $+0$ |
| 8 | $+0.0422$ | $+0.0113$ | $-0.629$ | $+0.065$ | $+4$ | $+0$ | $-1$ |
| | $-0.00011\cdot T$ | $+0.0000\cdot T$ | $+0.0016\cdot T$ | $+0.000\cdot T$ | | | |
| 9 | $-0.0256$ | $+0.0034$ | $+0.260$ | $+0.014$ | $+6$ | $+0$ | $-1$ |
| 10 | $+0.0253$ | $+0.0003$ | $-0.138$ | $+0.000$ | $+12$ | $+0$ | $+0$ |
| 11 | $+0.0237$ | $-0.0189$ | $-1.263$ | $-0.841$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ |
| 12 | $+0.0162$ | $+0.0011$ | $-0.127$ | $+0.000$ | $+8$ | $+0$ | $-1$ |
| 13 | $-0.0145$ | $+0.0000$ | $+0.068$ | $+0.000$ | $+14$ | $+0$ | $+0$ |
| 14 | $+0.0129$ | $+0.0212$ | $-0.690$ | $+0.697$ | $+0$ | $+2$ | $+0$ |
| 15 | $-0.0112$ | $-0.0017$ | $+0.201$ | $+0.000$ | $+3$ | $+0$ | $+0$ |
| 16 | $-0.0104$ | $+0.0004$ | $+0.067$ | $+0.000$ | $+10$ | $+0$ | $-1$ |
| 17 | $+0.0086$ | $+0.0000$ | $-0.035$ | $+0.000$ | $+16$ | $+0$ | $+0$ |
| 18 | $+0.0069$ | $+0.0000$ | $-0.038$ | $+0.000$ | $+12$ | $+0$ | $-1$ |
| 19 | $+0.0066$ | $-0.0004$ | $-0.079$ | $+0.000$ | $+5$ | $+0$ | $+0$ |
| 20 | $-0.0053$ | $+0.0047$ | $+0.104$ | $+0.031$ | $+2$ | $+2$ | $+0$ |
| 21 | $-0.0052$ | $+0.0000$ | $+0.019$ | $+0.000$ | $+18$ | $+0$ | $+0$ |
| 22 | $-0.0046$ | $+0.0000$ | $+0.023$ | $+0.000$ | $+14$ | $+0$ | $-1$ |
| 23 | $-0.0041$ | $+0.0000$ | $+0.037$ | $+0.000$ | $+7$ | $+0$ | $+0$ |
| 24 | $+0.0040$ | $+0.0005$ | $-0.161$ | $+0.043$ | $+2$ | $+0$ | $+1$ |
| 25 | $+0.0032$ | $+0.0000$ | $-0.010$ | $+0.000$ | $+20$ | $+0$ | $+0$ |
| 26 | $-0.0032$ | $+0.0036$ | $+0.157$ | $+0.127$ | $+1$ | $+0$ | $+1$ |
| 27 | $+0.0031$ | $+0.0000$ | $-0.014$ | $+0.000$ | $+16$ | $+0$ | $-1$ |
| 28 | $-0.0029$ | $+0.0000$ | $+0.054$ | $+0.000$ | $+4$ | $+0$ | $+1$ |
| 29 | $+0.0027$ | $+0.0000$ | $-0.020$ | $+0.000$ | $+9$ | $+0$ | $+0$ |
| 30 | $+0.0027$ | $+0.0013$ | $-0.037$ | $+0.000$ | $+4$ | $+2$ | $+0$ |
| 31 | $-0.0027$ | $+0.0022$ | $+0.104$ | $+0.022$ | $+2$ | $+0$ | $-2$ |
| 32 | $+0.0024$ | $+0.0010$ | $-0.038$ | $+0.000$ | $+4$ | $+0$ | $-2$ |
| 33 | $-0.0021$ | $+0.0004$ | $+0.022$ | $+0.000$ | $+6$ | $+0$ | $-2$ |
| 34 | $-0.0021$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+22$ | $+0$ | $+0$ |
| 35 | $-0.0021$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+18$ | $+0$ | $-1$ |
| 36 | $+0.0019$ | $+0.0000$ | $-0.025$ | $+0.000$ | $+6$ | $+0$ | $+1$ |
| 37 | $-0.0018$ | $+0.0000$ | $+0.011$ | $+0.000$ | $+11$ | $+0$ | $+0$ |
| 38 | $-0.0014$ | $+0.0000$ | $+0.012$ | $+0.000$ | $+8$ | $+0$ | $+1$ |
| 39 | $-0.0014$ | $-0.0004$ | $+0.013$ | $+0.000$ | $+4$ | $-2$ | $+0$ |
| 40 | $-0.0014$ | $+0.0004$ | $+0.017$ | $+0.000$ | $+6$ | $+2$ | $+0$ |
| 41 | $+0.0014$ | $+0.0007$ | $-0.030$ | $+0.000$ | $+3$ | $+0$ | $+1$ |
| 42 | $-0.0014$ | $+0.0000$ | $+0.010$ | $+0.000$ | $+5$ | $+0$ | $+1$ |
| 43 | $+0.0013$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+13$ | $+0$ | $+0$ |
| 44 | $+0.0013$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+20$ | $+0$ | $-1$ |
| 45 | $+0.0011$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+3$ | $+0$ | $+2$ |
| 46 | $-0.0011$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+4$ | $+2$ | $-2$ |
| 47 | $-0.0010$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+1$ | $+0$ | $+2$ |
| 48 | $-0.0009$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+22$ | $+0$ | $-1$ |
| 49 | $-0.0008$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+0$ | $+4$ | $+0$ |
| 50 | $+0.0008$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+6$ | $-2$ | $+0$ |
| 51 | $+0.0008$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+2$ | $-2$ | $+1$ |
| 52 | $+0.0007$ | $+0.0006$ | $+0.023$ | $-0.016$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ |
| 53 | $+0.0007$ | $+0.0000$ | $+0.014$ | $+0.000$ | $+0$ | $+2$ | $-1$ |
| 54 | $+0.0007$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+2$ | $+4$ | $+0$ |
| 55 | $-0.0006$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+0$ | $+2$ | $-2$ |
| 56 | $-0.0006$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+2$ | $-2$ | $+2$ |
| 57 | $+0.0006$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+24$ | $+0$ | $+0$ |
| 58 | $+0.0005$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+4$ | $-4$ | $+0$ |
| 59 | $+0.0005$ | $+0.0000$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+2$ | $+0$ | $+2$ |
| 60 | $-0.0004$ | $-0.0003$ | $+0.029$ | $+0.000$ | $+1$ | $+0$ | $-1$ |
| 61 | $+0.0000$ | $-0.0034$ | $-0.392$ | $-0.023$ | $+2$ | $-2$ | $+0$ |
| 62 | $+0.0000$ | $+0.0003$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+0$ | $+2$ | $+1$ |
| 63 | $+0.0000$ | $+0.0003$ | $+0.000$ | $+0.000$ | $+2$ | $+2$ | $-1$ |
| 64 | $+0.0000$ | $+0.0000$ | $-0.021$ | $+0.000$ | $+2$ | $-2$ | $-1$ |
| 65 | $+0.0000$ | $+0.0000$ | $+0.023$ | $+0.019$ | $+2$ | $+0$ | $+2$ |
Als nächstes benötigt man die Summenterme aus der obigen Tabelle, die wie folgt berechnet werden:
{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="300px,460px"&float=center}}
^ Tabelle 3 ||
^ Summenterm für ^ Wert ^
| Zeitpunkt des Perigäums | $\Delta JDE_p = \displaystyle\sum_{i=1}^{65} JD_p\cdot\sin(a_i \cdot D + b_i \cdot F + c_i \cdot M)$ |
| Zeitpunkt des Apogäums | $\Delta JDE_a = \displaystyle\sum_{i=1}^{65} JD_a\cdot\sin(a_i \cdot D + b_i \cdot F + c_i \cdot M)$ |
| Parallaxe des Perigäums | $\Delta\pi_p = \displaystyle\sum_{i=1}^{65} \Delta\Pi_p\cdot\cos(a_i \cdot D + b_i \cdot F + c_i \cdot M)$ |
| Parallaxe des Apogäums | $\Delta\pi_a = \displaystyle\sum_{i=1}^{65} \Delta\Pi_a\cdot\cos(a_i \cdot D + b_i \cdot F + c_i \cdot M)$ |
Die wahre Perigäums- und Apogäumszeit und Parallaxe lautet:
$$JDE_p = JDE_{\pi} + \Delta JDE_p\tag{4}$$
$$JDE_a = JDE_{\pi} + \Delta JDE_a\tag{5}$$
$$\Pi_p = 3629\overset{''}{.}215 + \Delta\pi_p\tag{6}$$
$$\Pi_a = 3245\overset{''}{.}251 + \Delta\pi_a\tag{7}$$
Die Umrechnung der Parallaxen $\Pi_p$ und $\Pi_a$ in den geozentrischen Abstand erfolgt mit Gleichung:
$$\Delta = \frac{R_E}{\sin(\Pi_u)}\tag{8}$$
$u$ steht wahlweise für den Index $p$ oder $a$. Das $JDE_{p/a}$ kann [[:julianischer_tag_jd#umrechnung_von_jd_in_ein_kalenderdatum|hier in das entsprechende Kalenderdatum]] umgerechnet werden, das Resultat ist dann in [[dynamische_zeit_und_delta_t|dynamischer Zeit]].
$JDE_p$ = Julianischer Tag für die Perigäumspassage \\
$JDE_a$ = Julianischer Tag für die Apogäumspassage \\
$\Delta$ = geozentrischer Abstand des Erdmondes \\
$\Pi_{p,a}$ = Parallaxe im Perigäum bzw. Apogäum \\
$\nu$ = Apsidendrehung der Mondbahn \\
$\omega$ = Perihellänge der Mondbahn \\
===== Knotendurchgänge =====
Die hier dokumentierten Knotendurchgänge sind deshalb auch zur Finsternisberechnung relevant. Mit der [[:datumseingabe#jahr_in_dezimaler_darstellung|dezimalen Jahreszahl]] $J$ sind $k$ und $T$:
$$k = 13\overset{\circ}{.}42227827 \cdot (J - 2000.05)\tag{9}$$
$$T = \frac{k}{1342227827}\tag{10}$$
Den //mittleren// Zeitpunkt des Knotendurchgangs in julianischen Tagen erhält man zunächst mittels
\[\begin{align}
JDE_{\Omega} =&\; 2451565\overset{d}{.}1619 \\
&+ 27.212220817 \cdot k \\
&+ 2\overset{d}{.}762 \cdot 10^{-4} \cdot T^2 \\
&+ 2\overset{d}{.}1 \cdot 10^{-8} \cdot T^3 \\
&-8\overset{d}{.}8 \cdot 10^{-11} \cdot T^4
\end{align}\tag{11}\]
$k$ ist eine **Ganzzahl** (Integer) für den aufsteigenden Knoten, sowie ein Integer vermehrt um $0.5$ für den absteigenden Knoten. Andere $k$ liefern sinnlose Werte!
Jetzt werden die modifizierten Bahnelemente gebraucht:
{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="320px,330px"&float=center}}
^ Tabelle 4 ||
^ Größe ^ Wert ^
| Die numerische Exzentrizität: | \(\begin{align} E =&\; 1 - 0.002515887461 \cdot T \\ &- 7.397380645 \cdot 10^{-6} \cdot T^2 \\ &+ 2.393974319 \cdot 10^{-9} \cdot T^3 \end{align}\) |
| Die mittlere Anomalie der Sonne: | \(\begin{align} M =&\; 17\overset{\circ}{.}4006 \\ &+ 26.82037250 \cdot k \\ &+ 1\overset{\circ}{.}186 \cdot 10^{-5} \cdot T^2 \\ &+ 6\overset{\circ}{.}0 \cdot 10^{-8} \cdot T^3 \end{align}\) |
| Die mittlere Anomalie des Mondes: | \(\begin{align} m =&\; 38\overset{\circ}{.}3776 \\ &+ 355.52747313 \cdot k \\ &+ 0\overset{\circ}{.}0123499 \cdot T^2 \\ &+ 1\overset{\circ}{.}4627 \cdot 10^{-5} \cdot T^3 \\ &- 6\overset{\circ}{.}9 \cdot 10^{-8} \cdot T^4 \end{align}\) |
| Die Elongation des Mondes: | \(\begin{align} D =&\; 183\overset{\circ}{.}6380 \\ &+ 331.73735682 \cdot k \\ &+ 0\overset{\circ}{.}0014852 \cdot T^2 \\ &+ 2\overset{\circ}{.}09 \cdot 10^{-6} \cdot T^3 \\ &- 1\overset{\circ}{.}0 \cdot 10^{-8} \cdot T^4 \end{align}\) |
| Die Länge des aufsteigenden \\ Knotens: | \(\begin{align} \Omega =&\; 123\overset{\circ}{.}9767 \\ &- 1.44098956 \cdot k \\ &+ 0\overset{\circ}{.}0020608 \cdot T^2 \\ &+ 2\overset{\circ}{.}14 \cdot 10^{-6} \cdot T^3 \\ &- 1\overset{\circ}{.}6 \cdot 10^{-8} \cdot T^4 \end{align}\) |
==== Tabelle der Korrekturterme für die Knotendurchgänge ====
{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="50px,180px,60px,60px,60px"&float=center}}
^ Tabelle 5 |||||
^ i ^ $\Delta\Omega[^d]$ ^ $a_i$ ^ $b_i$ ^ $c_i$ ^
| 01 | $-0.4721$ | $+0$ | $+0$ | $+1$ |
| 02 | $-0.1649$ | $+2$ | $+0$ | $+0$ |
| 03 | $-0.0868$ | $+2$ | $+0$ | $-1$ |
| 04 | $+0.0084$ | $+2$ | $+0$ | $+1$ |
| 05 | $-0.0083 \cdot E$ | $+2$ | $-1$ | $+0$ |
| 06 | $-0.0039 \cdot E$ | $+2$ | $-1$ | $-1$ |
| 07 | $+0.0034$ | $+0$ | $+0$ | $+2$ |
| 08 | $-0.0031$ | $+2$ | $+0$ | $-2$ |
| 09 | $+0.0030 \cdot E$ | $+2$ | $+1$ | $+0$ |
| 10 | $+0.0028 \cdot E$ | $+0$ | $+1$ | $-1$ |
| 11 | $+0.0026 \cdot E$ | $+0$ | $+1$ | $+0$ |
| 12 | $+0.0025$ | $+4$ | $+0$ | $+0$ |
| 13 | $+0.0024$ | $+1$ | $+0$ | $+0$ |
| 14 | $+0.0022 \cdot E$ | $+0$ | $+1$ | $+1$ |
| 15 | $+0.0014$ | $+4$ | $+0$ | $-1$ |
| 16 | $+0.0005 \cdot E$ | $+2$ | $+1$ | $-1$ |
| 17 | $+0.0004 \cdot E$ | $+2$ | $-1$ | $+1$ |
| 18 | $-0.0003 \cdot E^2$ | $+2$ | $-2$ | $+0$ |
| 19 | $+0.0003 \cdot E$ | $+4$ | $-1$ | $+0$ |
$$\Delta JD_{\Omega} = \displaystyle\sum_{i=1}^{19}\Delta\Omega_i\cdot \sin(a_i \cdot D + b_i \cdot M + c_i \cdot m)\tag{12}$$
Der wahre Zeitpunkt der Knotenpassage:
\[\begin{align}
JDE_{\Omega}' =&\; JDE_{\Omega} \\
&+ \Delta JD_{\Omega} \\
&+ 0\overset{d}{.}0017 \sin(\Omega) \\
&+ 0\overset{d}{.}0003 \sin(V) \\
&+ 0\overset{d}{.}0003 \sin(N + \Omega)
\end{align}\tag{13}\]
mit
$$V = 299\overset{\circ}{.}75 + 132\overset{\circ}{.}85 \cdot T - 0\overset{\circ}{.}0091731 \cdot T^2\tag{14}$$
$$N = 272\overset{\circ}{.}75 - 2\overset{\circ}{.}3 \cdot T\tag{15}$$
Das $JDE_{\Omega}'$ kann [[:julianischer_tag_jd#umrechnung_von_jd_in_ein_kalenderdatum|hier in das entsprechende Kalenderdatum umgerechnet]] werden, das Resultat ist dann in [[dynamische_zeit_und_delta_t|dynamischer Zeit]].
$\nu$ = Wanderung des Mondknotens \\
$\Omega$ = Länge des Mondknotens \\
$JDE_{\Omega}$ = mittlerer Zeitpunkt der Knotenpassage \\
$JDE_{\Omega}'$ = wahrer Zeitpunkt der Knotenpassage \\
$V, N$ = Hilfswerte
===== Maximale und minimale Deklinationen =====
Mit der [[:datumseingabe#jahr_in_dezimaler_darstellung|dezimalen Jahreszahl]] $J$ sind $k$ und $T$:
$$k = 13\overset{\circ}{.}36855226 \cdot (J - 2000.03)\tag{16}$$
$$T = \frac{k}{1336.855226}\tag{17}$$
\[\begin{matrix}
\textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:}
\end{matrix}\quad
JDE_0 = \left(\begin{matrix}
2451562\overset{d}{.}5897 \\ 2451548\overset{d}{.}9289
\end{matrix}\right) + 27.321582247 \cdot k + 1\overset{d}{.}19804 \cdot 10^{-4} \cdot T^2 - 1\overset{d}{.}41 \cdot 10^{-7} \cdot T^3\tag{18}\]
\[\left(\begin{matrix}
\delta_{Nord} = + \delta \\
\delta_{Süd} = - \delta
\end{matrix}\right) \quad\text{mit}\quad
\delta = + 23\overset{\circ}{.}6961 - 0\overset{\circ}{.}013004 \cdot T +
\left(\begin{matrix}
\Delta\delta_n \\
\Delta\delta_s
\end{matrix}\right)\tag{19}\]
$k$ ist eine **Ganzzahl** (Integer) abwechselnd erst für die größten nördlichen und dann die größten südlichen Deklinationen. Andere $k$ liefern sinnlose Werte!
Jetzt werden die modifizierten Bahnelemente gebraucht:
Die mittlere Anomalie des Mondes:
\[\begin{matrix}
\textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:}
\end{matrix}\quad
m = \left(
\begin{matrix}
4\overset{\circ}{.}6881 \\
186\overset{\circ}{.}2100
\end{matrix}
\right)
+ 356.9562794 \cdot k + 0\overset{\circ}{.}0103066 \cdot T^2 + 1\overset{\circ}{.}251 \cdot 10^{-5} \cdot T^3\tag{20}\]
Die mittlere Anomalie der Sonne:
\[\begin{matrix}
\textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:}
\end{matrix}\quad
M = \left(
\begin{matrix}
14\overset{\circ}{.}8591 \\
1\overset{\circ}{.}3951
\end{matrix}
\right)
+ 26.9281592 \cdot k - 3\overset{\circ}{.}55 \cdot 10^{-5}
\cdot T^2 - 1\overset{\circ}{.}0 \cdot 10^{-7} \cdot T^3\tag{21}\]
Die Elongation des Mondes:
\[\begin{matrix}
\textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:}
\end{matrix}\quad
D = \left(
\begin{matrix}
152\overset{\circ}{.}2029 \\
345\overset{\circ}{.}6676
\end{matrix}
\right)
+ 333.0705546 \cdot k - 4\overset{\circ}{.}214 \cdot 10^{-4}
\cdot T^2 + 1\overset{\circ}{.}1 \cdot 10^{-7} \cdot T^3\tag{22}\]
Das Argument der Breite:
\[\begin{matrix}
\textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:}
\end{matrix}\quad
F = \left(
\begin{matrix}
325\overset{\circ}{.}8867 \\
145\overset{\circ}{.}1633
\end{matrix}
\right)
+ 1.4467807 \cdot k - 2\overset{\circ}{.}0690 \cdot 10^{-3}
\cdot T^2 - 2\overset{\circ}{.}15 \cdot 10^{-6} \cdot T^3\tag{23}\]
{{ :deklination_mond_min_max.png?800 |}}
==== Tabelle für den Zeitpunkt der maximalen und minmalen Deklination ====
{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="50px,140px,140px,250px"&float=center}}
^ Tabelle 6 ||||
^ **i** ^ $\Delta JDE_n\;[^{d}]$ ^ $\Delta JDE_s\;[^{d}]$ ^ $\cdot\sin(\dots) / \cdot\cos(\dots)$ ^
| 01 | $+0.8975$ | $-0.8975$ | $\cos(F) $ |
| 02 | $-0.4726$ | $-0.4726$ | $\sin(m) $ |
| 03 | $-0.1030$ | $-0.1030$ | $\sin(2\cdot F) $ |
| 04 | $-0.0976$ | $-0.0976$ | $\sin(2\cdot D - m) $ |
| 05 | $-0.0462$ | $-0.0541$ | $\cos(m - F) $ |
| 06 | $-0.0461$ | $+0.0516$ | $\cos(m + F) $ |
| 07 | $-0.0438$ | $-0.0438$ | $\sin(2\cdot D) $ |
| 08 | $+0.0162\cdot E$ | $-0.0112\cdot E$ | $\sin(M) $ |
| 09 | $-0.0157$ | $+0.0157$ | $\cos(3\cdot F) $ |
| 10 | $+0.0145$ | $+0.0023$ | $\sin(m + 2\cdot F) $ |
| 11 | $+0.0136$ | $-0.0136$ | $\cos(2\cdot D - F) $ |
| 12 | $-0.0095$ | $+0.0110$ | $\cos(2\cdot D - m - F) $ |
| 13 | $-0.0091$ | $+0.0091$ | $\cos(2\cdot D - m + F) $ |
| 14 | $-0.0089$ | $+0.0089$ | $\cos(2\cdot D + F) $ |
| 15 | $+0.0075$ | $+0.0075$ | $\sin(2\cdot m) $ |
| 16 | $-0.0068$ | $-0.0030$ | $\sin(m - 2\cdot F) $ |
| 17 | $+0.0061$ | $-0.0061$ | $\cos(2\cdot m - F) $ |
| 18 | $-0.0047$ | $-0.0047$ | $\sin(m + 3\cdot F) $ |
| 19 | $-0.0043\cdot E$ | $-0.0043\cdot E$ | $\sin(2\cdot D - M - m) $ |
| 20 | $-0.0040$ | $+0.0040$ | $\cos(m - 2\cdot F) $ |
| 21 | $-0.0037$ | $-0.0037$ | $\sin(2\cdot D - 2\cdot m) $ |
| 22 | $+0.0031$ | $-0.0031$ | $\sin(F) $ |
| 23 | $+0.0030$ | $+0.0030$ | $\sin(2\cdot D + m) $ |
| 24 | $-0.0029$ | $+0.0029$ | $\cos(m + 2\cdot F) $ |
| 25 | $-0.0029\cdot E$ | $-0.0029\cdot E$ | $\sin(2\cdot D - M) $ |
| 26 | $-0.0027$ | $-0.0027$ | $\sin(m + F) $ |
| 27 | $+0.0024\cdot E$ | $+0.0024\cdot E$ | $\sin(M - m) $ |
| 28 | $-0.0021$ | $-0.0021$ | $\sin(m - 3\cdot F) $ |
| 29 | $+0.0019$ | $-0.0019$ | $\sin(2\cdot m + F) $ |
| 30 | $+0.0018$ | $-0.0006$ | $\cos(2\cdot D - 2\cdot m - F)$ |
| 31 | $+0.0018$ | $-0.0018$ | $\sin(3\cdot F) $ |
| 33 | $+0.0017$ | $-0.0017$ | $\cos(m + 3\cdot F) $ |
| 32 | $+0.0017$ | $+0.0017$ | $\cos(2\cdot m) $ |
| 34 | $-0.0014$ | $+0.0014$ | $\cos(2\cdot D - m) $ |
| 35 | $+0.0013$ | $-0.0013$ | $\cos(2\cdot D + m + F) $ |
| 36 | $+0.0013$ | $-0.0013$ | $\cos(m) $ |
| 37 | $+0.0012$ | $+0.0012$ | $\sin(3\cdot m + F) $ |
| 38 | $+0.0011$ | $+0.0011$ | $\sin(2\cdot D - m + F) $ |
| 39 | $-0.0011$ | $+0.0011$ | $\cos(2\cdot D - 2\cdot m) $ |
| 40 | $+0.0010$ | $+0.0010$ | $\cos(D + F) $ |
| 41 | $+0.0010\cdot E$ | $+0.0010\cdot E$ | $\cos(M + m) $ |
| 42 | $-0.0009$ | $-0.0009$ | $\sin(2\cdot D - 2\cdot F) $ |
| 43 | $+0.0007$ | $-0.0007$ | $\cos(2\cdot m + F) $ |
| 44 | $-0.0007$ | $-0.0007$ | $\cos(3\cdot m + F) $ |
==== Tabelle für den Betrag der maximalen und minmalen Deklination ====
{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="50px,140px,140px,250px"&float=center}}
^ Tabelle 7 ||||
^ **i** ^ $\Delta \delta_n\;[^{\circ}]$ ^ $\Delta \delta_s\;[^{\circ}]$ ^ $\cdot\sin(\dots) / \cdot\cos(\dots)$ ^
| 01 | $+5.1093$ | $-5.1093$ | $\sin(F)$ |
| 02 | $+0.2658$ | $+0.2658$ | $\cos(2\cdot F)$ |
| 03 | $+0.1448$ | $-0.1448$ | $\sin(2\cdot D - F)$ |
| 04 | $-0.0322$ | $+0.0322$ | $\sin(3\cdot F)$ |
| 05 | $+0.0133$ | $+0.0133$ | $\cos(2\cdot D - 2\cdot F)$ |
| 06 | $+0.0125$ | $+0.0125$ | $\cos(2\cdot D)$ |
| 07 | $-0.0124$ | $-0.0015$ | $\sin(m - F)$ |
| 08 | $-0.0101$ | $+0.0101$ | $\sin(m + 2\cdot F)$ |
| 09 | $+0.0097$ | $-0.0097$ | $\cos(F)$ |
| 10 | $-0.0087\cdot E$ | $+0.0087\cdot E$ | $\sin(2\cdot D + M - F) $ |
| 11 | $+0.0074$ | $+0.0074$ | $\sin(m + 3\cdot F)$ |
| 12 | $+0.0067$ | $+0.0067$ | $\sin(D + F)$ |
| 13 | $+0.0063$ | $-0.0063$ | $\sin(m - 2\cdot F)$ |
| 14 | $+0.0060\cdot E$ | $-0.0060\cdot E$ | $\sin(2\cdot D - M - F) $ |
| 15 | $-0.0057$ | $+0.0057$ | $\sin(2\cdot D - m - F)$ |
| 16 | $-0.0056$ | $-0.0056$ | $\cos(m + F)$ |
| 17 | $+0.0052$ | $-0.0052$ | $\cos(m + 2\cdot F)$ |
| 18 | $+0.0041$ | $-0.0041$ | $\cos(2\cdot m + F)$ |
| 19 | $-0.0040$ | $-0.0040$ | $\cos(m - 3\cdot F)$ |
| 20 | $+0.0038$ | $-0.0038$ | $\cos(2\cdot m - F)$ |
| 21 | $-0.0034$ | $+0.0034$ | $\cos(m - 2\cdot F)$ |
| 22 | $-0.0029$ | $-0.0029$ | $\sin(2\cdot m)$ |
| 23 | $+0.0029$ | $+0.0029$ | $\sin(3\cdot m + F)$ |
| 24 | $-0.0028\cdot E$ | $+0.0028\cdot E$ | $\cos(2\cdot D + M - F) $ |
| 25 | $-0.0028$ | $-0.0028$ | $\cos(m - F)$ |
| 26 | $-0.0023$ | $+0.0023$ | $\cos(3\cdot F)$ |
| 27 | $-0.0021$ | $+0.0021$ | $\sin(2\cdot D + F)$ |
| 28 | $+0.0019$ | $+0.0019$ | $\cos(m + 3\cdot F)$ |
| 29 | $+0.0018$ | $+0.0018$ | $\cos(D + F)$ |
| 30 | $+0.0017$ | $-0.0017$ | $\sin(2\cdot m - F)$ |
| 31 | $+0.0015$ | $+0.0015$ | $\cos(3\cdot m + F)$ |
| 32 | $+0.0014$ | $+0.0014$ | $\cos(2\cdot D + 2\cdot m + F)$ |
| 33 | $-0.0012$ | $+0.0012$ | $\sin(2\cdot D - 2\cdot m - F)$ |
| 34 | $-0.0012$ | $-0.0012$ | $\cos(2\cdot m)$ |
| 35 | $-0.0010$ | $+0.0010$ | $\cos(m)$ |
| 36 | $-0.0010$ | $-0.0010$ | $\sin(2\cdot F)$ |
| 37 | $+0.0006$ | $+0.0037$ | $\sin(m + F)$ |
mit E aus der Knotenpassage. Der wahre Zeitpunkt der größten Deklinationen ist nun:
\[\begin{align}
JDE_{Nord} &= JDE_{0Nord} + \Delta JDE_n \\\\
JDE_{Süd} &= JDE_{0Süd} + \Delta JDE_s
\end{align}\tag{24}\]
Das $JDE_{Nord/Süd}$ kann [[:julianischer_tag_jd#umrechnung_von_jd_in_ein_kalenderdatum|hier in das entsprechende Kalenderdatum umgerechnet]] werden, das Resultat ist dann in [[:dynamische_zeit_und_delta_t|dynamischer Zeit]].
* Die hier gegebene Methode zur Berechnung der maximalen und minimalen Deklinationen gilt für den Mittelpunkt der Mondscheibe. Die Deklinationen sind hier auf den Erdmittelpunkt bezogen. Man kann sie anschließend in [[:koordinatentransformation#topozentrisch|topozentrisch-äquatoriale Deklinationen]] transformieren.
* In einem Zeitraum zwischen $-1000$ und $+5000$ übersteigt der Fehler einen Wert von $30^m$ nicht. Und in einem Zeitraum zwischen August 1977 und Juni 2022 ist der Fehler sogar kleiner als $10^m$ in der Zeit und $26''$ in der Deklination.
==== Beispiel ====
{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne den Zeitpunkt sowie den Wert der maximalen //nördlichen// Deklination des Mondes für März 2025!**
----
Aus Gründen der Nachvollziehbarkeit der einzelnen Rechenschritte werden nachfolgend **alle Kommastellen** stehen gelassen. Bei einer praktischen Berechnung sollten die Werte natürlich vernünftig gerundet werden!
Für den gegebenen Zeitpunkt kann man die dezimale Jahreszahl $J$ für den 1.3.2025 ansetzen, das ist der
$31 + 28 + 1 = 60$-ste Tag des Jahres 2025.
Das Jahr 2025 ist ein Gemeinjahr mit 365 Tagen, daher erhält man
$J = 2025 + \frac{60}{365} = 2025.1643835616$
Damit erhält man die Ganzzahl $k$ sowie die julianischen Jahrhunderte $T$ mit
\(\begin{align}
k &= \textrm{round}(J - 2000.03)\cdot 13.36855226\\
&= \textrm{round}(2025.1643835616 - 2000.03)\cdot 13.36855226\\
&= 336\\\\
T &= \frac{k}{1336.855226}\\
&= \frac{336}{1336.855226}\\
&= 0.25133611588245386
\end{align}\)
Mittels $k$ und $T$ berechnet man nun sukzessive die Winkel $m, M, D$ und $F$ sowie den Exzentrizitätsfaktor $E$ und erhält
\(\begin{align}
m &= 119941\overset{\circ}{.}99862966493\\
&= 61\overset{\circ}{.}99862966492947\\\\
M &= 9062\overset{\circ}{.}72058895588\\
&= 62\overset{\circ}{.}720588955880885\\\\
D &= 112063\overset{\circ}{.}90921898196\\
&= 103\overset{\circ}{.}90921898196393\\\\
F &= 812\overset{\circ}{.}0048844674593\\
&= 92\overset{\circ}{.}0048844674593\\\\
E &= 0.9993671708756006
\end{align}\)
Für große Winkel wurde die [[:mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktionsfunktion]] verwendet.
Der mittlere Zeitpunkt $JDE_0$ für die nördliche Deklination berechnet sich mit dem //oberen// Term in der Gleichung zu
\(\begin{align}
JDE_0 =&\; 2451562.5897 + 27.321582247\cdot k \\
&+1.19804\cdot 10^{-4}\cdot T^2\\
&-1.41\cdot 10^{-7}\cdot T^3\\
&= 2460742.6413425575
\end{align}\)
Nun müssen die 44 Terme in **Tabelle 6** summiert werden, für die Spalte von $\Delta JDE_n$:
\(\begin{align}
\Delta JDE_n =& +0.8975\cdot \cos(F)\\
&-0.4726\cdot \sin(M)\\
&-0.1030\cdot \sin(2\cdot F)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\vdots\\
&-0.0007\cdot \cos(3\cdot m + F)\\
& = -0.4765026759552957
\end{align}\)
Damit ergibt sich der Zeitpunkt der größten Deklination des Mondes um
\(\begin{align}
JDE =&\; JDE_0 + \Delta JDE_n\\
&= 2460742.6413425575 + (-0.4765026759552957)\\
&= 2460742.1648398815
\end{align}\)
Die Umrechnung dieses julianischen Ephemeridentages [[:julianischer_tag_jd#umrechnung_von_jd_in_ein_kalenderdatum|in ein Kalenderdatum]] liefert den $7.3.2025, \textrm{15:57}\;TD$ in [[:dynamische_zeit_und_delta_t|dynamischer Zeit]]. Der Wert von $\Delta T$ beträgt für Anfang 2025 voraussichtlich $69^{s} = 1^{m}9^{s}$, daher ist der Zeitpunkt dann in Weltzeit (gerundet auf ganze Minuten)
\(\begin{align}
UT &=TD - \Delta T\\
&= 7.3.2025, \textrm{15:57}\;TD - 1^{m}9^{s}\\
&= 7.3.2025, \textrm{15:56}\;UT
\end{align}\)
Für den Wert der größten Deklination muss die Summe der 37 Terme in **Tabelle 7**, Spalte für $\Delta \delta_n$, ermittelt werden.
\(\begin{align}
\Delta \delta_n =&+5\overset{\circ}{.}1093\cdot \sin(F)\\
&+0\overset{\circ}{.}2658\cdot \cos(2\cdot F)\\
&+0\overset{\circ}{.}1448\cdot \sin(2\cdot D - F)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\vdots\\
&+0\overset{\circ}{.}0006\cdot \sin(m + F)\\
& = +5\overset{\circ}{.}016704354744329
\end{align}\)
Die maximale Deklination erhält man nun wieder mit dem //oberen// Wert (Nord) der Gleichung
\(\begin{align}
\delta_{Nord} =& +23\overset{\circ}{.}6961 \\
&-0.013004\cdot T +\Delta \delta_n\\
&=+28\overset{\circ}{.}709535979893396
\end{align}\)
Eine Umrechnung des Dezimalwerts in Grad/Bogenminuten/Bogensekunden mit den Funktionen [[:mathematische_grundlagen#trunc_und_frac_funktion|trunc bzw. frac]] ergibt
\(\begin{align}
&\textrm{trunc}(28\overset{\circ}{.}709535979893396) = 28^{\circ}\\
&\textrm{frac}(28\overset{\circ}{.}709535979893396)\cdot 60\tfrac{'}{\circ} \\
&= 42\overset{'}{.}57215879358\\
&\textrm{trunc}(42\overset{'}{.}57215879358) = 42'\\
&\textrm{frac}(42\overset{'}{.}57215879358)\cdot 60\tfrac{''}{'}\\
&= 34\overset{''}{.}3
\end{align}\)
$\delta_{Nord} = +28^{\circ}42'34.3''$
Man vergleiche die erhaltenen Werte mit den Daten der Astronomiesoftware GUIDE bzw. Alcyone.
{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="150px,190px,190px,190px"}}
^ Größe ^ Dieses Beispiel ^ GUIDE ^ Alcyone ^
| Zeitpunkt | $7.3.2025,\; \textrm{15:57}\;TD$ | $7.3.2025,\; \textrm{15:44}\;TD$ | $7.3.2025,\; \textrm{15:44}\;TD$ |
| Deklination | $+28^{\circ}42'34.3''$ | $+28^{\circ}42'48.69''$ | $+28^{\circ}42'51.0''$ |