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--- monde_der_planeten [2024/04/04 14:53] – quern
+++ monde_der_planeten [2025/01/06 00:24] (aktuell) – hcgreier
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 ====== Die Monde der Planeten ======
-Dieses Kapitel ist ein Novum im Internet. Es ist der erste Abschnitt über die Berechnung der hellsten Planetenmonde. Herangezogen werden die Ephemeriden von [[:literaturhinweise#books_meeus|J. Meeus]] für die Jupitermonde Io, Europa, Ganymed und Kallisto; und Dan Bruton für die Saturnmonde Tethys, Dione, Rhea, Titan und Japetus. Siehe auch die [[:literaturhinweise#web_bruton|Literaturhinweise]]. Alle Monde haben synodische Umlaufszeiten.
+Dieses Kapitel ist ein Novum im Internet. Es ist der erste Abschnitt über die Berechnung der hellsten Planetenmonde. Herangezogen werden die Ephemeriden von [[:literaturhinweise#books_hempe|Hempe & Molt]] (Jupiter I), [[:literaturhinweise#books_meeus|J. Meeus]] (Jupiter II) für die Jupitermonde Io, Europa, Ganymed und Kallisto und [[:literaturhinweise#web_bruton|Dan Bruton]] (Saturn I) und [[:literaturhinweise#web_buecke|K.H. Bücke]] (Saturn II) für die Saturnmonde Tethys, Dione, Rhea, Titan und Japetus. Alle Monde haben synodische Umlaufszeiten. Nur Saturn II verwendet siderische Umlaufszeiten.
 ===== Jupiter =====
-Diese Theorie setzt voraus, dass die Mondbahnen kreisförmig sind und mit dem Jupiteräquator zusammenfallen. Die Epoche ist 1900 Januar 0.5 und das Äquinoktium ist $J1900.0$.
+==== Jupiter I ====
+Diese Theorie setzt voraus, dass die Mondbahnen kreisförmig sind und mit dem Jupiteräquator zusammenfallen. Die Epoche ist 1900 Januar 0.5 und das Äquinoktium ist $J1900.0$. Die Umlaufszeiten sind [[:astronomische_begriffe#siderische/synodische_perioden|synodisch]].
+$$\color{#cc0000}{d = JDE − 2415020.0}\tag{1}$$
-<wrap em>$$d = JDE − 2415020.0$$</wrap>
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="130px,130px,470px"&float=center}}
-^ Mond: ^ Radius ^ mittlere Länge ^
+^  Tabelle 1  |||
-|Io: |$r_1 = 5.906$ | $l_1 = 84\overset{\circ}{.}55061 + 203\overset{\circ}{.}405863 \cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+^  Mond:  ^  Radius:  ^  mittlere Länge:  ^
-|Europa: |$r_2 = 9.397$ | $l_2 = 41\overset{\circ}{.}50155 + 101\overset{\circ}{.}291632 \cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+| Io: |$r_1 = 5.906$ | $l_1 = 84\overset{\circ}{.}55061 + 203\overset{\circ}{.}405863 \cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
-|Ganymed: |$r_3 = 14.989$ | $l_3 = 109\overset{\circ}{.}97702 + 50\overset{\circ}{.}2345169 \cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+| Europa: |$r_2 = 9.397$ | $l_2 = 41\overset{\circ}{.}50155 + 101\overset{\circ}{.}291632 \cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
-|Kallisto: |$r_4 = 26.364$ | $l_4 = 176\overset{\circ}{.}35864 + 21\overset{\circ}{.}4879802 \cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+| Ganymed: |$r_3 = 14.989$ | $l_3 = 109\overset{\circ}{.}97702 + 50\overset{\circ}{.}2345169 \cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+| Kallisto: |$r_4 = 26.364$ | $l_4 = 176\overset{\circ}{.}35864 + 21\overset{\circ}{.}4879802 \cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+==== Jupiter II ====
+Es gilt wieder für die mittlere tägliche Bewegung die synodische Umlaufszeit. Die Längen $l_k$ der Jupitermonde Io (1), Europa (2), Ganymed (3) und Kallisto (4) sind dann:
+$$\color{#cc0000}{d = JDE − 2451545.0}\tag{2}$$
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="130px,450px"&float=center}}
+^  Tabelle 2  ||
+^  Mond:  ^  mittlere Länge:  ^
+| Io: | $l_1 = 163\overset{\circ}{.}8069 + 203\overset{\circ}{.}4058646 \cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+| Europa: | $l_2 = 358\overset{\circ}{.}4140 + 101\overset{\circ}{.}2916335 \cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+| Ganymed: | $l_3 = 5\overset{\circ}{.}7176 + 50\overset{\circ}{.}2345180 \cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+| Kallisteo: | $l_4 = 224\overset{\circ}{.}8092 + 21\overset{\circ}{.}4879800 \cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+$$G = 331\overset{\circ}{.}18 + 50\overset{\circ}{.}310482 \cdot (d - \tau)\tag{3}$$
+$$H = 87\overset{\circ}{.}45 + 21\overset{\circ}{.}569231 \cdot (d - \tau)\tag{4}$$
+Zu $l_k$ werden dann die Korrekturen $G$ und $H$ hinzuaddiert. Die Radiusvektoren $r_k$ und die korrigierten Längen $l_k'$ der einzelnen Satelliten sind:
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="130px,350px,310px"&float=center}}
+^  Tabelle 3  |||
+^  Mond:  ^  Radius:  ^  mittlere Länge:  ^
+| Io: | $r_1 = 5.9057 - 0.0244 \cdot \cos(2 (l_1 - l_2))$ | $l_1' = l_1 + 0\overset{\circ}{.}473 \cdot \sin(2 (l_1 - l_2))$ |
+| Europa: | $r_2 = 9.3966 - 0.0882 \cdot \cos(2 (l_2 - l_3))$ | $l_2' = l_2 + 1\overset{\circ}{.}065 \cdot \sin(2 (l_2 - l_3))$ |
+| Ganymed: | $r_3 = 14.9833 - 0.0216 \cdot \cos(G)$ | $l_3' = l_3 + 0\overset{\circ}{.}165 \cdot \sin(G)$ |
+| Kallisto: | $r_4 = 26.3627 - 0.1939 \cdot \cos(H)$ | $l_4' = l_4 + 0\overset{\circ}{.}843 \cdot \sin(H)$ |
+Es werden weiter [[#darstellung_der_monde_am_himmel|unten]] dann $l_k'$ statt $l_k$ eingesetzt.
 ===== Saturn =====
-Es wird ein Zusammenfallen aller kreisförmigen Mondbahnen (bis auf Japetus) mit dem Saturnäquator postuliert. Die Epoche ist 1980 Januar 0.5 und das Äquinoktium ist $J1980.0$.
+==== Saturn I ====
+Es wird ein Zusammenfallen aller kreisförmigen Mondbahnen (bis auf Japetus) mit dem Saturnäquator postuliert. Die Epoche ist 1980 Januar 0.5 und das Äquinoktium ist $J1980.0$. Die Umlaufszeiten sind [[:astronomische_begriffe#siderische/synodische_perioden|synodisch]].
+$$\color{#cc0000}{d = JDE − 2444238.5}\tag{5}$$
-<wrap em>$$d = JDE − 2444238.5$$</wrap>
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="100px,140px,480px"&float=center}}
-^ Mond: ^ Radius ^ mittlere Länge ^
+^  Tabelle 4  |||
-|Tethys: | $r_1 = 4.8898$ | $l_1 = 172\overset{\circ}{.}8546 + 190\overset{\circ}{.}668614452\cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+^  Mond:  ^  Radius:  ^  mittlere Länge:  ^
-|Dione: | $r_2 = 6.2637$ | $l_2 = 76\overset{\circ}{.}8438 + 131\overset{\circ}{.}505802072\cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+| Tethys: | $r_1 = 4.8898$ | $l_1 = 172\overset{\circ}{.}8546 + 190\overset{\circ}{.}668614452\cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
-|Rhea: | $r_3 = 8.7476$ | $l_3 = 37\overset{\circ}{.}2555 + 79\overset{\circ}{.}6607672779\cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+| Dione: | $r_2 = 6.2637$ | $l_2 = 76\overset{\circ}{.}8438 + 131\overset{\circ}{.}505802072\cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
-|Titan: | $r_4 = 20.2695$ | $l_4 = 57\overset{\circ}{.}7005 + 22\overset{\circ}{.}54663941461\cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+| Rhea: | $r_3 = 8.7476$ | $l_3 = 37\overset{\circ}{.}2555 + 79\overset{\circ}{.}6607672779\cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
-|Japetus: | $r_5 = 59.0712$ | $l_5 = 195\overset{\circ}{.}3513 + 4\overset{\circ}{.}5045597067\cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+| Titan: | $r_4 = 20.2695$ | $l_4 = 57\overset{\circ}{.}7005 + 22\overset{\circ}{.}54663941461\cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
+| Japetus: | $r_5 = 59.0712$ | $l_5 = 195\overset{\circ}{.}3513 + 4\overset{\circ}{.}5045597067\cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
 **Spezialfall Japetus:**
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 Die Neigung $\gamma$ der Japetusbahn zum Saturnäquator (Ringebene) ist gegeben mit:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="620px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-|  \[ \begin{align} \sin(\gamma) = &+\cos(\delta) \cdot \Big[\cos(83\overset{\circ}{.}51) \cdot \sin(40\overset{\circ}{.}27- \alpha) \cdot\\
+\sin(\gamma) = &+\cos(\delta) \cdot \Big[\cos(83\overset{\circ}{.}51) \cdot \sin(40\overset{\circ}{.}27- \alpha) \cdot\\
-&\cdot\sin(75\overset{\circ}{.}6)\sin(\alpha - 320\overset{\circ}{.}1) \cdot \cos(75\overset{\circ}{.}6) \cdot \sin(83\overset{\circ}{.}51)\Big]\\ &+\sin(\delta) \cdot \cos(83\overset{\circ}{.}51) \cdot \cos(75\overset{\circ}{.}6) \cdot \sin(320\overset{\circ}{.}1 - 40\overset{\circ}{.}27) \end{align} \]  |
+&\cdot\sin(75\overset{\circ}{.}6)\sin(\alpha - 320\overset{\circ}{.}1) \cdot \cos(75\overset{\circ}{.}6) \cdot \sin(83\overset{\circ}{.}51)\Big]\\
+&+\sin(\delta) \cdot \cos(83\overset{\circ}{.}51) \cdot \cos(75\overset{\circ}{.}6) \cdot \sin(320\overset{\circ}{.}1 - 40\overset{\circ}{.}27)
+\end{align}\tag{6}\]
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="480px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-|  \[\begin{align} \sin(V) =& - \cos(75\overset{\circ}{.}6)\cdot \cos(320\overset{\circ}{.}1- \alpha)\cdot \cos(\delta)\\
+\sin(V) =& - \cos(75\overset{\circ}{.}6)\cdot \cos(320\overset{\circ}{.}1- \alpha)\cdot \cos(\delta)\\
-&- \sin(75\overset{\circ}{.}6)\cdot \sin(\delta) \end{align}\]  |
+&- \sin(75\overset{\circ}{.}6)\cdot \sin(\delta)
+\end{align}\tag{7}\]
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="480px"&float=center}}
+\[\tan(U) = \dfrac{\sin(\delta_0)\cdot \cos(\alpha_0 - \alpha) - \cos(\delta_0)\cdot \tan(\delta)} {\sin(\alpha_0 - \alpha)}\tag{8}\]
-|  \[\tan(U) = \dfrac{\sin(\delta_0)\cdot \cos(\alpha_0 - \alpha) - \cos(\delta_0)\cdot \tan(\delta)} {\sin(\alpha_0 - \alpha)}\]  |
 mit den planetozentrisch planetoäquatorialen Koordinaten der Japetusbahn:
-$$\alpha_0 = 318\overset{\circ}{.}16 − 3\overset{\circ}{.}949\cdot T$$
+$$\alpha_0 = 318\overset{\circ}{.}16 − 3\overset{\circ}{.}949\cdot T\tag{9}$$
-$$\delta_0 = 75\overset{\circ}{.}03 − 1\overset{\circ}{.}143\cdot T$$
+$$\delta_0 = 75\overset{\circ}{.}03 − 1\overset{\circ}{.}143\cdot T\tag{10}$$
 und
-$$T = \frac{JDE - 2451545}{36525}$$
+$$T = \frac{JDE - 2451545}{36525}\tag{11}$$
 Bei $U$ ist auf die [[Mathematische_Grundlagen#sphärisch|quadrantentreue Wiedergabe]] zu achten.
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 $\alpha$, $\delta$ = geozentrisch äquatoriale Koordinaten des Saturn.
 </WRAP>
+==== Saturn II ====
+Es gilt allein in diesem Abschnitt für die mittlere tägliche Bewegung die [[:astronomische_begriffe#siderische/synodische_perioden|siderische]] Umlaufszeit. Zuerst braucht man die mittleren Anomalien und die Radien von Titan und Japetus.
+$$\color{#cc0000}{d = JD - 2451545.0}\tag{12}$$
+\[\begin{align}
+dl_1 &= 2\overset{\circ}{.}065 \cdot \sin(0\overset{\circ}{.}013926 (d - 2857.2))\\
+M_4 &= 163\overset{\circ}{.}7 + 22\overset{\circ}{.}575585 \cdot (d - \tau)\\
+M_5 &= 207\overset{\circ}{.}7 + 4\overset{\circ}{.}537626 \cdot (d - \tau)\\
+\nu_4 - M_4 &= 3\overset{\circ}{.}33 \cdot \sin(M_4) + 0\overset{\circ}{.}06 \cdot \sin(2 \ M_4)\\
+\nu_5 - M_5 &= 3\overset{\circ}{.}24 \cdot \sin(M_5) + 0\overset{\circ}{.}06 \cdot \sin(2 \ M_5)\\
+\Delta r_4 &= 20.38 - 0.593 \cdot \cos(M_4)\\
+\Delta r_5 &= 59.39 - 1.679 \cdot \cos(M_5) - 0.024 \cdot \cos(2 \ M_5)
+\end{align}\tag{13}\]
+$dl_1$ ist die Bahnstörung von Tethys. $\nu_k - M_k$ sind die Mittelpunktsgleichungen von Titan und Japetus (nicht zu verwechseln mit den Mittelpunktsgleichungen von Saturn C). $M_4$ und $M_5$ sind die mittleren Anomalien von Titan und Japetus. $\Delta r_k$ sind die korrespondierenden Korrekturen des Abstands vom Planeten. Die planetozentrische Länge K  der Erde wird für die Saturnsatelliten gebraucht und muss als nächstes berechnet werden. Es gilt
+$$\tan(K) = \left(\frac{\sin(\delta_0) \cdot \cos(\alpha_0 - \alpha) - \cos(\delta_0) \cdot \tan(\delta)}{\sin(\alpha_0 - \alpha)}\right)\tag{14}$$
+mit $\alpha_0$, $\delta_0$ für [[:physische_ephemeriden#rotation|Saturn, Tethys, Dione und Rhea]]. $\alpha$, $\delta$ sind die geozentrisch - äquatorialen Koordinaten Saturns. Für Titan und Japetus benötigt man separate Werte:
+$$T = \frac{d}{36525}\tag{15}$$
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="100px,410px"&float=center}}
+^  Tabelle 5  ||
+| Titan: | $\alpha_0 = 36\overset{\circ}{.}41 - 0\overset{\circ}{.}036 \cdot T + 2\overset{\circ}{.}66 \cdot \sin(G)$ |
+|        | $\delta_0 = 83\overset{\circ}{.}94 - 0\overset{\circ}{.}004 \cdot T - 0\overset{\circ}{.}30 \cdot \cos(G)$ |
+| Japetus: | $\alpha_0 = 318\overset{\circ}{.}16 - 3\overset{\circ}{.}949 \cdot T$ |
+|          | $\delta_0 = 75\overset{\circ}{.}03 - 1\overset{\circ}{.}143 \cdot T$ |
+mit $G$ für Titan:
+$$G = 29\overset{\circ}{.}80 - 52\overset{\circ}{.}1 \cdot T\tag{16}$$
+Setzt man in die Gleichung für K ein, so bekommt man $K_4$ bzw. $K_5$. Die Radiusvektoren $r_k$ und die Längen $l_k$ der Saturnmonde Tethys (1), Dione (2), Rhea (3), Titan (4) und Japetus (5) sind dann mit der [[:physische_ephemeriden#rotation|planetozentrischen Länge]] K, $K_4$ und $K_5$:
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="100px,120px,500px"&float=center}}
+^  Tabelle 6  |||
+^  Monde:  ^  Radius:  ^  mittlere Länge:  ^
+| Tethys:   | $r_1 = 4.91$        | $l_1 = 188\overset{\circ}{.}10 + 190\overset{\circ}{.}697813 \cdot (d - \tau) + dl_1 - K$           |
+| Dione:    | $r_2 = 6.29$        | $l_2 = 177\overset{\circ}{.}70 + 131\overset{\circ}{.}534888 \cdot (d - \tau) - K$                  |
+| Rhea:     | $r_3 = 8.78$        | $l_3 = 52\overset{\circ}{.}23 + 79\overset{\circ}{.}689963 \cdot (d - \tau) - K$                    |
+| Titan:    | $r_4 = \Delta r_4$  | $l_4 = 9\overset{\circ}{.}.62 + 22\overset{\circ}{.}576895 \cdot (d - \tau) + (\nu_4 - M_4) - K_4$  |
+| Japetus:  | $r_5 = \Delta r_5$  | $l_5 = 171\overset{\circ}{.}22 + 4\overset{\circ}{.}538088 \cdot (d - \tau) + (\nu_5 - M_5) - K_5$  |
+Die Neigungen $D_4$ und $D_5$ der Titan- und Japetusbahnen zum Beobachter auf der Erde sind:
+\[\begin{align}
+\sin(D_4) &= - \cos(83\overset{\circ}{.}69) \cdot \cos(37\overset{\circ}{.}77 - \alpha) \cdot \cos(\delta) - \sin(83\overset{\circ}{.}69) \cdot \sin(\delta)\\
+\sin(D_5) &= - \cos(75\overset{\circ}{.}49) \cdot \cos(318\overset{\circ}{.}56 - \alpha) \cdot \cos(\delta) - \sin(75\overset{\circ}{.}49) \cdot \sin(\delta)
+\end{align}\tag{17}\]
+\[\begin{align}
+\sin(\gamma_4) =& + \cos(\delta) \cdot \big[\cos(83\overset{\circ}{.}52 \cdot \sin(40\overset{\circ}{.}66 - \alpha) \cdot \sin(83\overset{\circ}{.}69^{\circ}) \\
+&+ \sin(\alpha - 37\overset{\circ}{.}77) \cdot \cos(83\overset{\circ}{.}69) \cdot \sin(83\overset{\circ}{.}52)\big] \\
+&+ \sin(\delta) \cdot \cos(83\overset{\circ}{.}52) \cdot \cos(75\overset{\circ}{.}49) \cdot \sin(37\overset{\circ}{.}77 - 40\overset{\circ}{.}66)\\
+\sin(\gamma_5) =& + \cos(\delta) \cdot \big[\cos(83\overset{\circ}{.}52) \cdot \sin(40\overset{\circ}{.}66 - \alpha) \cdot \sin(75\overset{\circ}{.}49) \\
+&+ \sin(\alpha - 318\overset{\circ}{.}56) \cdot \cos(75\overset{\circ}{.}49) \cdot \sin(83\overset{\circ}{.}52)\big] \\
+& + \sin(\delta) \cdot \cos(83\overset{\circ}{.}52) \cdot \cos(75\overset{\circ}{.}49) \cdot \sin(318\overset{\circ}{.}56 - 40\overset{\circ}{.}66)
+\end{align}\tag{18}\]
 ===== Uranus =====
 Das Postulat ist die Kreisförmigkeit der Mondbahnen und das die Monde in der Ringebene des Uranus liegen. Die Epoche ist 2000 Januar 1.5 und das Äquinoktium ist $J2000.0$.
-<wrap em>
-$$d = JDE − 2451545.0$$</wrap>
+$$\color{#cc0000}{d = JDE − 2451545.0}\tag{19}$$
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="100px,130px,560px"&float=center}}
-^ Mond: ^ Radius ^ mittlere Länge ^
+^  Tabelle 6  |||
+^  Mond:  ^  Radius: ^  mittlere Länge:  ^
 | Ariel: | $r_1 = 7.470$ | $l_1 = 203\overset{\circ}{.}08553309448 + 142\overset{\circ}{.}8356475830\cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
 | Umbriel: | $r_2 = 10.407$ | $l_2 = 251\overset{\circ}{.}20712282177 + 86\overset{\circ}{.}8688659668\cdot (d - \tau) + \varphi - C$ |
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 ===== Neptun =====
-Die Bahn von Triton wird als kreisförmig angenommen. Die Epoche ist 1950 Januar 1.0 und das Äquinoktium ist J1950,0.
+Die Bahn von Triton wird als kreisförmig angenommen. Die Epoche ist 1950 Januar 1.0 und das Äquinoktium ist $J1950.0$.
-<wrap em>$$d = JD − 2433282.5$$</wrap>
+$$\color{#cc0000}{d = JD − 2433282.5}\tag{20}$$
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="100px,200px,272px"&float=center}}
-^ Mond:    ^ Radius               ^ mittlere Länge                                                                                                                      ^
+^  Tabelle 7  |||
-| Triton:  | $r = 14.3196575674$  | \(\begin{align} l &= 49\overset{\circ}{.}85334766\\ &+ 61\overset{\circ}{.}25726751\cdot (d - \tau)\\ &+ \varphi - C \end{align}\)  |
+^  Mond:  ^  Radius:  ^  mittlere Länge:  ^
+| Triton:  | $r = 14.3196575674$ | \(\begin{align} l &= 49\overset{\circ}{.}85334766\\ &+ 61\overset{\circ}{.}25726751\cdot (d - \tau)\\ &+ \varphi - C \end{align}\) |
 Bahnneigung Tritons (retrograde Bewegung): $\gamma = 157\overset{\circ}{.}6852321$
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 $\varphi$ = Phasenwinkel des Hauptplaneten (siehe Abschnitt [[physische_ephemeriden#phase_beleuchtungsdefekt|Phasenwinkel]]) \\
 $r$ = Bahnradien der Monde in Planetenradien \\
-$l$ = Länge des Mondes mit Bezug auf die Sichtlinie Planet - Erde \\
+$l$ = mittlere Länge der Monde mit Bezug auf die Sichtlinie Planet - Erde \\
+$l'$ = korrigierte Länge der Monde mit Bezug auf die Sichtlinie Planet - Erde \\
 $\tau$ = Lichtlaufzeit (siehe Abschnitt über die [[koordinatenreduktion#lichtlaufzeit|Lichlaufzeit]]) \\
 </WRAP>
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 Man berechne für **alle** Planetenmonde
-\[ \begin{align}
+\[\begin{align}
 X_k &= + r_k \cdot \sin(l_k)\\
-&= s \cdot \cos(p - 90^{\circ}) \\\\
+&= s \cdot \cos(p - 90^{\circ}) \\
 Y_k &= - r_k \cdot \cos(l_k) \cdot \sin(D_E)\\
 &= s \cdot \sin(p - 90^{\circ})
-\end{align} \]
+\end{align}\tag{21}\]
-und zusätzlich für Japetus und Triton:
+und zusätzlich für Titan (Saturn II), Japetus und Triton:
-\[ \begin{align}
+\[\begin{align}
 X_j &= X_k \cdot \cos(\gamma) + Y_k \cdot \sin(\gamma)\\
-&= s \cdot \cos(p - 90^{\circ}) \\\\
+&= s \cdot \cos(p - 90^{\circ}) \\
 Y_j &= Y_k \cdot \cos(\gamma) - X_k \cdot \sin(\gamma)\\
 &= s \cdot \sin(p - 90^{\circ})
-\end{align} \]
+\end{align}\tag{22}\]
-Den Abstand $s$ und den Positionswinkel $p - 90^{\circ}$ erhält man im Abschnitt über die [[mathematische grundlagen#sphaerisch|sphärische Darstellung]].
+Den Abstand $s$ und den Positionswinkel $p - 90^{\circ}$ erhält man im Abschnitt über die [[mathematische grundlagen#karthesisch_sphaerisch|sphärische Darstellung]].
 $D_E$ = planetozentrische Deklination der Erde über der Äquatorebene des Planeten.
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 ===== Helligkeit =====
-Die absolute Helligkeit der natürlichen Satelliten aus $1\,AE$ Entfernung sind in der Tabelle angegeben.
+Die absolute Helligkeit der natürlichen Satelliten aus $1\,AE$ Entfernung sind in der nachstehenden Tabelle angegeben.
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-^ Planet    ^ Name      ^ Magnitude                    ^
+^  Tabelle 8  |||
-| Jupiter:  | Io        | $m_1 = - 1\overset{m}{.}68 + 4\overset{m}{.}60 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}}) - 10\overset{m}{.}0 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})^2$ |
+^  Planet:  ^  Name:  ^  Magnitude:  ^
-|           | Europa    | $m_2 = - 1\overset{m}{.}41 + 3\overset{m}{.}12 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}}) - 12\overset{m}{.}5 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})^2$ |
+| Jupiter:    | Io:        | $m_1 = - 1\overset{m}{.}68 + 4\overset{m}{.}60 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}}) - 10\overset{m}{.}0 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})^2$  |
-|           | Ganymed   | $m_3 = - 2\overset{m}{.}09 + 3\overset{m}{.}23 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}}) -  6\overset{m}{.}6 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})^2$ |
+|             | Europa:    | $m_2 = - 1\overset{m}{.}41 + 3\overset{m}{.}12 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}}) - 12\overset{m}{.}5 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})^2$  |
-|           | Kallisto  | $m_4 = - 1\overset{m}{.}05 - 7\overset{m}{.}80 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}}) - 27\overset{m}{.}4 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})^2$ |
+|             | Ganymed:   | $m_3 = - 2\overset{m}{.}09 + 3\overset{m}{.}23 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}}) -  6\overset{m}{.}6 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})^2$  |
-| Saturn:   | Tethys    | $m_1 = + 0\overset{m}{.}60 + 2\overset{m}{.}00 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})$ |
+|             | Kallisto:  | $m_4 = - 1\overset{m}{.}05 - 7\overset{m}{.}80 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}}) - 27\overset{m}{.}4 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})^2$  |
-|           | Dione     | $m_2 = + 0\overset{m}{.}80 + 2\overset{m}{.}29 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})$ |
+| Saturn:     | Tethys:    | $m_1 = + 0\overset{m}{.}60 + 2\overset{m}{.}00 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})$                                                        |
-|           | Rhea      | $m_3 = + 0\overset{m}{.}10 + 2\overset{m}{.}40 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})$ |
+|             | Dione:     | $m_2 = + 0\overset{m}{.}80 + 2\overset{m}{.}29 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})$                                                        |
-|           | Titan     | $m_4 = - 1\overset{m}{.}28 + 0\overset{m}{.}92 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}}) -  5\overset{m}{.}0 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})^2$ |
+|             | Rhea:      | $m_3 = + 0\overset{m}{.}10 + 2\overset{m}{.}40 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})$                                                        |
-|           | Japetus:  | $m_5 = + 1\overset{m}{.}48 - 2\overset{m}{.}5 \ \log_{10}(H)$ |
+|             | Titan:     | $m_4 = - 1\overset{m}{.}28 + 0\overset{m}{.}92 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}}) -  5\overset{m}{.}0 \ (\frac{\varphi}{100^{\circ}})^2$  |
-| Uranus:   | Ariel     | $m_1 = + 1\overset{m}{.}45$ |
+|             | Japetus:   | $m_5 = + 1\overset{m}{.}48 - 2\overset{m}{.}5 \ \log_{10}(\color{#ff00ff}{H})$                                                         |
-|           | Umbriel   | $m_2 = + 2\overset{m}{.}10$ |
+| Uranus:     | Ariel:     | $m_1 = + 1\overset{m}{.}45$  |
-|           | Titania   | $m_3 = + 1\overset{m}{.}02$ |
+|             | Umbriel:   | $m_2 = + 2\overset{m}{.}10$  |
-|           | Oberon    | $m_4 = + 1\overset{m}{.}23$ |
+|             | Titania:   | $m_3 = + 1\overset{m}{.}02$  |
-| Neptun:   | Triton    | $m_5 = - 1\overset{m}{.}24$ |
+|             | Oberon:    | $m_4 = + 1\overset{m}{.}23$  |
+| Neptun:     | Triton:    | $m_5 = - 1\overset{m}{.}24$  |
 mit
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+$$\color{#ff00ff}{H} = 0\overset{m}{.}571 - 0\overset{m}{.}429 \cdot \cos(V) \cdot \cos(l_5 - U)\tag{23}$$
-| $$H = 0\overset{m}{.}571 - 0\overset{m}{.}429\cdot\sin\big[\arcsin\big(\cos(V)\cdot\cos(l_5 - U)\big)\big]$$  |
 Die scheinbare Helligkeit der Planetenmonde berechnet sich mit der Formel aus dem Abschnitt über die [[physische ephemeriden#scheinbarehell|Helligkeit]] der Planeten. Die Gleichungen stammen aus dem [[:literaturhinweise#books_seidelmann|Explanatory Supplement]].
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+===== weiterführende Literatur =====
+J.H. Lieske: Theory of Motion of Jupiter's Satellites, A & A 56 (1977), 333 - 352
+J.H. Lieske: Galilean satellite ephemerides E5, A & A SS, 129 (1998), 205 - 217
+V. Lainey, L. Duriez, A. Vienne: Synthetic representation of the Galilean satellites orbital motions from L1 ephemerides, A & A 456, (2006), 783 - 788
+G. Dourneau: Orbital elements of the eight major satellites of Saturn determined from a fit of their theories of motion to observations from 1886 to 1985, A & A, 267 (1992), 292 - 299
+D. Harper, D.B. Taylor: Orbits of the major satellites of Saturn, A & A, 268 (1993), 326 - 349
+D. Harper, D.B. Taylor: Analysis of ground - based observations of the satellites of Saturn 1874 - 1988, A & A, 284 (1994), 619 - 628
+A. Vienne, L. Duriez: TASS 1.6: Ephemerides of the major Saturnian satellites, A & A, 297 (1995), 588 - 605
+R.A. Jacobson: The Orbits of the Main Saturnian Satellites, the Saturnian System Gravity Field, and the Orientation of Saturns Pole, AJ 164 (2022), 199 - 217
+R.A. Jacobson: The Orbits of the Uranian Satellites and Rings, the Gravity Field of the Uranian System, and the Orientation of the Pole of Uranus, AJ 148 (2014), 76 - 88
+J. Laskar, R.A. Jacobson: An analytical Ephemeris of the Uranian Satellites, A & A, 188 (1987), 212 - 244
+A.W. Harris: Physical Properties of Neptun and Triton inferred from the Orbit of Triton, NASA CP-2330, 357 - 373, 1984
+J.A. Jacobson: The orbits of the satellites of Neptune, A & A, 231, 241 - 250, 1990
+J.A. Jacobson: The Orbits of the Neptunian Satellites and the Orientation of the Pole of Neptune, AJ 137 (May 2009), 4322 - 4329
+D.J. Tholen: The Orbit of Plutos Satellite, ApJ, 90 (1985), 11, 2353 - 2359
+N.V. Emel'yanov, J.E. Arlot: The natural satellites ephemerides facility MULTI-SAT, A & A, 487 (2008),
+- 765
+N.V. Emel'yanov, D.V. Nikonchuk: Ephemerides of the main Uranian satellites, MNRAS 436 (2013), 3668 - 3679
+Zu den weiteren [[:literaturhinweise|Literaturhinweisen]].